多元函數(shù)的極限與連續(xù)

多元函數(shù)的極限與連續(xù)第1頁，共22頁，2023年，2月20日，星期一n維空間中兩點(diǎn)（向量又稱為點(diǎn)）之間的距離定義為向量x的長度定義為：與第2頁，共22頁，2023年，2月20日，星期一為以a為中心，為半徑的開球或點(diǎn)a的鄰域。稱：為點(diǎn)a去心鄰域?？煞謩e簡記為N(a),

(a)設(shè)a

Rn,

0,稱第3頁，共22頁，2023年，2月20日，星期一設(shè)ARn,aRn.（3）若A中的點(diǎn)全是A的內(nèi)點(diǎn)，則稱A為開集.第4頁，共22頁，2023年，2月20日，星期一(5)若M>0,使得xA,都有||x||M,則稱集合A為的有界集.否則,稱之為無界集.第5頁，共22頁，2023年，2月20日，星期一A為區(qū)域:A為連通開集.如A為閉區(qū)域:區(qū)域連同它的邊界.如A為連通集:對任意的都可用一條包含在A內(nèi)的折線把x,y連起來.區(qū)域A

的直徑：第6頁，共22頁，2023年，2月20日，星期一2多元函數(shù)的概念定義2.1設(shè)A

Rn是一個(gè)點(diǎn)集，稱映射f:A→R是定義在A上的n元數(shù)量值函數(shù)。簡稱為n元函數(shù)。記為y=f(x)=f(x1,…,xn),其中x=(x1,…,xn)A稱為自變量,y稱為因變量。D(f)=A稱為f的定義域，R(f)={y|y=f(x),xD(f)}稱為f的值域。第7頁，共22頁，2023年，2月20日，星期一除非特別說明,或有實(shí)際意義,凡用算式表達(dá)的多元函數(shù),其定義域都是指自然定義域,即全體使得算式有意義的自變量所成的點(diǎn)集.{(x,y)R2||x|1,|y|1};例如:的定義域?yàn)槎鴝=ln(x+y)的定義域?yàn)閧(x,y)R2|x+y>0}.第8頁，共22頁，2023年，2月20日，星期一定義2.2設(shè)A

Rn是一個(gè)點(diǎn)集，稱映射

f:A→Rm(m2)是定義在A上的n元向量值函數(shù)。也可記為y=f(x)=f(x1,…,xn),其中x=(x1,…,xn)A稱為自變量,y=(y1,…,ym)Rm

稱為因變量。f=(f1,…,fn)其中x=(x1,…,xn)A為自變量,y=(y1,…,xm)B為因變量.一個(gè)n元m維向量值函數(shù)y=f(x)對應(yīng)于m個(gè)n元數(shù)量值函數(shù)第9頁，共22頁，2023年，2月20日，星期一若用列向量表示,即例1空間R3中曲線的參數(shù)方程為：x=x(t),y=y(t),z=z(t)t[,]R,為一元向量值函數(shù)，可寫成：r=r(t)第10頁，共22頁，2023年，2月20日，星期一第二節(jié)多元函數(shù)的極限與連續(xù)性

定義2.3(二重極限）設(shè)函數(shù)z=f(x,y)=f(M)在點(diǎn)集E上有定義,點(diǎn)

M0(x0,y0)是E的聚點(diǎn),aR是一個(gè)常數(shù).若

>0,

>0,使得恒有|f(M)a|<,則稱(x,y)(x0,y0)時(shí)，f(x,y)有極限，且稱a為當(dāng)(x,y)(x0,y0)時(shí)f(x,y)的極限，記作：或這個(gè)極限常稱為二重極限.以二元函數(shù)為例.第11頁，共22頁，2023年，2月20日，星期一否則，稱(x,y)(x0,y0)時(shí)，f(x,y)沒有極限。

二重極限的定義與一元函數(shù)極限的定義無多大差別，因此一元函數(shù)極限的許多性質(zhì)（如：唯一性，局部有界性，局部保號性，夾逼準(zhǔn)則，heine定理，有理運(yùn)算法則等）可推廣到二重極限上來。第12頁，共22頁，2023年，2月20日，星期一證明:的定義域E=R2\{(0,0)},|f(x,y)0||y|故

>0,取

=,則當(dāng)時(shí),恒有|f(x,y)0|<.故例2.證明:第13頁，共22頁，2023年，2月20日，星期一第14頁，共22頁，2023年，2月20日，星期一但二重極限遠(yuǎn)比一元函數(shù)的極限復(fù)雜.二重極限存在,指點(diǎn)(x,y)以任何方式趨于點(diǎn)(x0,y0)時(shí),函數(shù)f(x,y)都無限接近于a.若(x,y)按兩種不同的方式趨于(x0,y0)時(shí),f(x,y)趨于兩個(gè)不同的值,則可斷定函數(shù)極限不存在.第15頁，共22頁，2023年，2月20日，星期一例4

設(shè)問極限是否存在?解:當(dāng)點(diǎn)(x,y)沿直線y=x趨向于(0,0)時(shí),有當(dāng)點(diǎn)(x,y)沿直線y=2x趨向于(0,0)時(shí),有不存在.故極限第16頁，共22頁，2023年，2月20日，星期一第17頁，共22頁，2023年，2月20日，星期一定義2.4(二元函數(shù)連續(xù)性）設(shè)有點(diǎn)集ER2,f:ER是一個(gè)二元數(shù)量值函數(shù)。點(diǎn)

M0(x0,y0)是E的聚點(diǎn),并且M0(x0,y0)

A,如果則稱函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)M0(x0,y0)處連續(xù),并稱M0(x0,y0)為f的連續(xù)點(diǎn),否則稱f在(x0,y0)處間斷。

若f在點(diǎn)集E中每一點(diǎn)處都連續(xù),則稱f在集合E上連續(xù)，稱f為E上的連續(xù)函數(shù).第18頁，共22頁，2023年，2月20日，星期一注:1.一元函數(shù)中關(guān)于連續(xù)函數(shù)的有關(guān)結(jié)論可推廣到多元函數(shù)中,如四則運(yùn)算及復(fù)合等:多元連續(xù)函數(shù)的和,差,積,復(fù)合均為連續(xù)函數(shù),連續(xù)函數(shù)的商在分母不為零處仍連續(xù).注:2.若函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)

(x0,y0)處連續(xù),則一元函數(shù)

(x)=f(x,y0)和

(y)=f(x0,y)分別在x0和y0處連續(xù),但反之未必,如在

(0,0)處.第19頁，共22頁，2023年，2月20日，星期一二元函數(shù)的極限和連續(xù)性很容易推廣到n(n>2)元數(shù)量值函數(shù)與向量值函數(shù)。第20頁，共22頁，2023年，2月20日，星期一定理2.1設(shè)f(x,y)是有界閉集E上的連續(xù)函數(shù)，則

(1)（有界性）f在E上有界，即存在M>0,使得xE,有|f(x)|M.(2)（最值）:f在E上必能取到最大值與最小值。（介值性）若函數(shù)f(x)在有界連通閉集E上連續(xù),

m與M分別是

f在E上的最小值與最大值，則對,m<<M,必x0