常微分方程 線性方程

常微分方程線性方程1第1頁，共33頁，2023年，2月20日，星期一2.1線性方程2.2變量可分離方程2.3全微分方程2.4變量替換法2.5一階隱式方程2.6近似解法2.7一階微分方程的應(yīng)用2.8習(xí)題課本章的主要內(nèi)容2第2頁，共33頁，2023年，2月20日，星期一一、線性齊次方程線性齊次方程:若中時(shí)，求解思想：§2.1線性方程一階線性微分方程將進(jìn)行變形，將方程左端

整理成某一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再進(jìn)行積分求解。3第3頁，共33頁，2023年，2月20日，星期一例2.1.1求線性齊次方程的通解。解：對(duì)于方程兩端乘以

得由于

故方程的通解為故

其中為任意常數(shù)。4第4頁，共33頁，2023年，2月20日，星期一一般地，對(duì)方程即整理得通解為后得兩端同乘以5第5頁，共33頁，2023年，2月20日，星期一二、線性非齊次方程1.積分因子法給方程兩邊乘以函數(shù)兩種解法變成一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，使左邊整理得：積分得通解：稱為方程的積分因子。6第6頁，共33頁，2023年，2月20日，星期一2.常數(shù)變易法思想：將一個(gè)對(duì)應(yīng)齊次方程的通解中的常數(shù)變?yōu)楹瘮?shù)，代入原方程后確定出該方程的通解。再把通解表達(dá)式中的常數(shù)c換成一個(gè)待定函數(shù)。即令先求對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為：7第7頁，共33頁，2023年，2月20日，星期一線性非齊次方程設(shè)想待定函數(shù)8第8頁，共33頁，2023年，2月20日，星期一一階線性非齊次微分方程的通解：常數(shù)變易法：齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)。9第9頁，共33頁，2023年，2月20日，星期一非齊次方程的一個(gè)特解對(duì)應(yīng)齊次方程通解一階線性方程解的結(jié)構(gòu)注高階線性方程解的結(jié)構(gòu)，高階非齊次線性方程的常數(shù)變易法.10第10頁，共33頁，2023年，2月20日，星期一線性微分方程解的性質(zhì):1.齊次方程的解或者恒為零，或恒不為零。2.齊次方程任何解的線性組合仍是它的解。3.齊次方程的任一解與非齊次方程的任一解之和仍為非齊次方程的解。4.非齊次方程的兩解之差為對(duì)應(yīng)齊次方程的解。5.非齊次方程的任一解與對(duì)應(yīng)齊次方程的齊次方程的通解之和是非齊次方程的通解。11第11頁，共33頁，2023年，2月20日，星期一解練習(xí)12第12頁，共33頁，2023年，2月20日，星期一練習(xí)解初值問題:解改寫方程：特解:13第13頁，共33頁，2023年，2月20日，星期一解

典型的一階非齊次線性方程.分析練習(xí)14第14頁，共33頁，2023年，2月20日，星期一既不是線性方程,也不能分離變量.改寫方程：以x為未知函數(shù),

的一階非齊次線性方程.分析y為自變量解方程練習(xí)15第15頁，共33頁，2023年，2月20日，星期一此外,y=1也是原方程的解.解解方程練習(xí)16第16頁，共33頁，2023年，2月20日，星期一解微分方程解原方程變形一階線性方程原方程通解:練習(xí)17第17頁，共33頁，2023年，2月20日，星期一分析這不是典型類型，解線性方程練習(xí)18第18頁，共33頁，2023年，2月20日，星期一解積分方程平行于y軸的動(dòng)直線被曲線y=f(x)陰影部分的面積,截下的線段PQ之長數(shù)值上等于求曲線y=f(x).所求曲線方程練習(xí)19第19頁，共33頁，2023年，2月20日，星期一求微分方程的一個(gè)解所圍平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)體體積最小.解練習(xí)改寫微分方程20第20頁，共33頁，2023年，2月20日，星期一數(shù)，求微分方程

的

周期解。

解：齊次方程

的通解為方程的通解為

例：2.1.3為了使以

為周期，須滿足

是以

為周期的周期函數(shù)，是正常設(shè)

21第21頁，共33頁，2023年，2月20日，星期一整理得為周期

以

（令

）

將c的表達(dá)式代入通解,再一次利用f(x)的周期性得:22第22頁，共33頁，2023年，2月20日，星期一線性非齊次方程初值解公式在理論上的意義:我們可以利用它來研究解的性質(zhì)，對(duì)解進(jìn)行“估值”。證：設(shè)為方程的任一解，它滿足某初始條件我們只證上有界。于是試證方程的所有解均在上有界。設(shè)函數(shù)在上連續(xù)且有界,練習(xí)23第23頁，共33頁，2023年，2月20日，星期一設(shè)于是，對(duì)有原題得證。24第24頁，共33頁，2023年，2月20日，星期一三、Bernoulli方程伯努利方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:求出此方程通解后,換回原變量即得伯努利方程的通解.除方程兩邊,得解法:(線性方程)25第25頁，共33頁，2023年，2月20日，星期一例2.1.4求初值問題的解。解：方程兩邊同乘以2y

后得令

代入得通解為將

代入得

代入初值條件得26第26頁，共33頁，2023年，2月20日，星期一解伯努利方程作變換原方程的通解:練習(xí)27第27頁，共33頁，2023年，2月20日，星期一解方程解y視為自變量,兩邊除以的伯努利方程.練習(xí)28第28頁，共33頁，2023年，2月20日，星期一例2湖泊的污染設(shè)一個(gè)化工廠每立方米的廢水中含有3.08kg鹽酸，這些廢水流入一個(gè)湖泊中，廢水流入的速率20立方米每小時(shí).開始湖中有水400000立方米.河水中流入不含鹽酸的水是1000立方米每小時(shí),湖泊中混合均勻的水的流出的速率是1000立方米每小時(shí),求該廠排污1年時(shí),湖泊水中鹽酸的含量.解:設(shè)t時(shí)刻湖泊中所含鹽酸的數(shù)量為考慮內(nèi)湖泊中鹽酸的變化.四、線性微分方程的應(yīng)用舉例29第29頁，共33頁，2023年，2月20日，星期一因此有該方程有積分因子兩邊同乘以后,整理得積分得?30第30頁，共33頁，2023年，2月20日，星期一利用初始條件得故31第31頁，共33頁，2023年，2月20日，星期一(雅各布第一·伯努利)

書中給出的伯努利數(shù)在很多地方有用,而伯努利定理Bernoulli(1654–1705)瑞士數(shù)學(xué)家,數(shù)學(xué)家.和極坐標(biāo)下的曲率半徑公式,1695年《猜度術(shù)》,則是大數(shù)定律的最早形式.提出了著名的伯努利方程,他家祖孫三代出過十多位1694年他首次給出了直角坐標(biāo)1713年出版了他的巨著這是組合數(shù)學(xué)與概率