2023屆安徽省安徽師大附中高二數學第二學期期末綜合測試模擬試題含解析

2022-2023高二下數學模擬試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．對于實數，，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．的展開式中，的系數為（）A． B． C．30 D．3．拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性質，如：若拋物線的弦過焦點，則過弦的端點的兩條切線的交點在其準線上.設拋物線，弦過焦點，為阿基米德三角形，則的面積的最小值為（）A． B． C． D．4．已知向量，，若與垂直，則（）A．2 B．3 C． D．5．用反證法證明某命題時，對結論：“自然數中恰有一個偶數”正確的反設為（）A．中至少有兩個偶數 B．中至少有兩個偶數或都是奇數C．都是奇數 D．都是偶數6．在空間中，“直線平面”是“直線與平面內無窮多條直線都垂直”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．非充分非必要條件7．若函數，則（）A． B． C． D．8．已知拋物線，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于兩點，若線段的中點的縱坐標為2，則該拋物線的準線方程為A． B．C． D．9．對于實數和，定義運算“*”：設，且關于的方程為恰有三個互不相等的實數根、、，則的取值范圍是（）A.B.C.D.10．已知函數，與的圖象上存在關于軸對稱的點，則實數的取值范圍是()A． B． C． D．11．為客觀了解上海市民家庭存書量，上海市統(tǒng)計局社情民意調查中心通過電話調查系統(tǒng)開展專項調查，成功訪問了位市民，在這項調查中，總體、樣本及樣本的容量分別是（）A．總體是上海市民家庭總數量，樣本是位市民家庭的存書量，樣本的容量是B．總體是上海市民家庭的存書量，樣本是位市民家庭的存書量，樣本的容量是C．總體是上海市民家庭的存書量，樣本是位市民，樣本的容量是D．總體是上海市民家庭總數量，樣本是位市民，樣本的容量是12．用反證法證明命題“若，則全為”，其反設正確的是（）A．至少有一個不為 B．至少有一個為C．全不為 D．中只有一個為二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設是兩條不同的直線，是三個不同的平面，給出下列四個命題：①若，則；②若，則；③若，，則；④若，則，其中正確命題的序號是______.14．隨機變量，變量，是__________．15．若點的柱坐標為，則點的直角坐標為______；16．已知命題：，為真命題，則實數的取值范圍為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）使用支付寶和微信支付已經成為廣大消費者最主要的消費支付方式，某超市通過統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)一周內超市每天的凈利潤(萬元)與每天使用支付寶和微信支付的人數(千人)具有相關關系，并得到最近一周的7組數據如下表，并依此作為決策依據.周一周二周三周四周五周六周日131626222529307111522242734(Ⅰ)作出散點圖，判斷與哪一個適合作為每天凈利潤的回歸方程類型？并求出回歸方程(，，，精確到)；(Ⅱ)超市為了刺激周一消費，擬在周一開展使用支付寶和微信支付隨機抽獎活動，總獎金7萬元.根據市場調查，抽獎活動能使使用支付寶和微信支付消費人數增加6千人，7千人，8千人，9千人的概率依次為，，，.試決策超市是否有必要開展抽獎活動？參考數據:，，，.參考公式：，，.18．（12分）已知分別為橢圓的左右焦點，上頂點為，且的周長為，且長軸長為4.（1）求橢圓的方程；（2）已知，若直線與橢圓交于兩點，求.19．（12分）學校某社團參加某項比賽，需用木料制作如圖所示框架，框架下部是邊長分別為的矩形，上部是一個半圓，要求框架圍成總面積為.（1）試寫出用料（即周長）關于寬的函數解析式，并求出的取值范圍；（2）求用料（即周長）的最小值，并求出相應的的值.20．（12分）在一次考試中某班級50名學生的成績統(tǒng)計如表，規(guī)定75分以下為一般，大于等于75分小于85分為良好，85分及以上為優(yōu)秀.經計算樣本的平均值，標準差.為評判該份試卷質量的好壞，從其中任取一人，記其成績?yōu)?，并根據以下不等式進行評判①；②；③評判規(guī)則：若同時滿足上述三個不等式，則被評為優(yōu)秀試卷；若僅滿足其中兩個不等式，則被評為合格試卷；其他情況，則被評為不合格試卷.（1）試判斷該份試卷被評為哪種等級；（2）按分層抽樣的方式從3個層次的學生中抽出10名學生，再從抽出的10名學生中隨機抽出4人進行學習方法交流，用隨機變量表示4人中成績優(yōu)秀的人數，求隨機變量的分布列和數學期望.21．（12分）某中學對高二甲、乙兩個同類班級進行“加強‘語文閱讀理解’訓練對提高‘數學應用題’得分率有幫助”的試驗，其中甲班為試驗班（加強語文閱讀理解訓練），乙班為對比班（常規(guī)教學，無額外訓練），在試驗前的測試中，甲、乙兩班學生在數學應用題上的得分率基本一致，試驗結束后，統(tǒng)計幾次數學應用題測試的平均成績（均取整數）如下表所示：60分及以下61～70分71～80分81～90分91～100分甲班（人數）3612159乙班（人數）4716126現(xiàn)規(guī)定平均成績在80分以上（不含80分）的為優(yōu)秀.（1）由以上統(tǒng)計數據填寫列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為“加強‘語文閱讀理解’訓練對提高‘數學應用題’得分率”有幫助；（2）對甲乙兩班60分及以下的同學進行定期輔導，一個月后從中抽取3人課堂檢測，表示抽取到的甲班學生人數，求及至少抽到甲班1名同學的概率.22．（10分）A、B、C是球O表面上三點，AB=6㎝，∠ACB=30°，點O到△ABC所在截面的距離為5㎝，求球O的表面積．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

先判斷和成立的條件，然后根據充分性和必要性的定義可以選出正確答案.【詳解】成立時，需要；成立時，需要，顯然由能推出，但由不一定能推出，故“”是“”的充分不必要條件，故本題選A.【點睛】本題考查了充分不必要條件的判斷，掌握對數的真數大于零這個知識點是解題的關鍵.2、B【解析】

將二項式表示為，利用二項展開式通項，可得出，再利用完全平方公式計算出展開式中的系數，乘以可得出結果.【詳解】，其展開式通項為，由題意可得，此時所求項為，因此，的展開式中，的系數為，故選B.【點睛】本題考查三項展開式中指定項的系數，解題時要將三項視為兩項相加，借助二項展開式通項求解，考查運算求解能力，屬于中等題.3、B【解析】

利用導數的知識，可得，即三角形為直角三角形，利用基本不等式，可得當直線垂直軸時，面積取得最小值.【詳解】設，過A，B的切線交于Q，直線的方程為：，把直線的方程代入得：，所以，則，由導數的知識得：，所以，所以，所以，因為，當時，可得的最大值為，故選B.【點睛】本題是一道與數學文化有關的試題，如果能靈活運用阿基米德三角形的結論，即當直線過拋物線的焦點，則切線與切線互相垂直，能使運算量變得更小.4、B【解析】分析：先求出的坐標，然后根據向量垂直的結論列出等式求出x，再求即可.詳解：由題可得：故選B.點睛：考查向量的坐標運算，向量垂直關系和模長計算，正確求解x是解題關鍵，屬于基礎題.5、B【解析】

用反證法證明某命題時,應先假設命題的反面成立，求出要證的命題的否定，即為所求.【詳解】解：用反證法證明某命題時,應先假設命題的反面成立，及要證的命題的否定成立，而命題：“自然數中恰有一個偶數”的否定為“中至少有兩個偶數或都是奇數”，故選：B.【點睛】本題主要考查用反證法證明數學命題，求一個命題的否定，屬于中檔題.6、A【解析】若“直線平面”則“直線與平面內無窮多條直線都垂直”，正確；反之，若“直線與平面內無窮多條直線都垂直”則“直線平面”是錯誤的，故直線平面”是“直線與平面內無窮多條直線都垂直”的充分非必要條件.故選A.7、A【解析】

首先計算，然后再計算的值.【詳解】,.故選A.【點睛】本題考查了分段函數求值，屬于計算題型.8、B【解析】∵y2=2px的焦點坐標為,∴過焦點且斜率為1的直線方程為y=x-,即x=y+,將其代入y2=2px得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0.設A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=2p,∴=p=2,∴拋物線的方程為y2=4x,其準線方程為x=-1.故選B.9、A【解析】試題分析：當時，即當時，，當時，即當時，，所以，如下圖所示，當時，，當時，，當直線與曲線有三個公共點時，，設，則且，，且，所以，因此，所以，，故選A.考點：1.新定義；2.分段函數；3.函數的圖象與零點10、A【解析】

根據題意，可以將原問題轉化為方程在區(qū)間上有解，構造函數，利用導數分析的最大最小值，可得的值域，進而分析方程在區(qū)間上有解，必有，解之可得實數的取值范圍.【詳解】根據題意，若函數，與的圖象上存在關于軸對稱的點，則方程在區(qū)間上有解化簡可得設，對其求導又由，在有唯一的極值點分析可得：當時，，為減函數，當時，，為增函數，故函數有最小值又由，比較可得，，故函數有最大值故函數在區(qū)間上的值域為若方程在區(qū)間有解，必有，則有則實數的取值范圍是故選：A【點睛】本題考查在函數與方程思想下利用導數求最值進而表示參數取值范圍問題，屬于難題.11、B【解析】

根據總體、樣本及樣本的容量的概念，得到答案.【詳解】根據題目可知，總體是上海市民家庭的存書量，樣本是位市民家庭的存書量，樣本的容量是故選B項.【點睛】本題考查總體、樣本及樣本的容量的概念，屬于簡單題.12、A【解析】由反證法的定義：證明命題“若，則全為”，其反設為至少有一個不為.本題選擇A選項.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①②【解析】

①利用線面平行性質以及線面垂直的定義判斷真假；②利用面面平行的性質以及線面垂直的性質判斷真假；③④可借助正方體判斷真假.【詳解】①因為，過作平面，使得，則有；又因為，所以，又因為，所以，故①正確；②因為，所以；又因為，所以，故②正確；③例如：正方體上底面的對角線分別平行下底面，但是兩條對角線互相不平行，故③不正確；④選正方體同一頂點處的三個平面記為，則有，但與相交，故④不正確.故填：①②.【點睛】判斷用符號語言描述的空間中點、線、面的位置關系的正誤：（1）直接用性質定理、判定定理、定義去判斷；（2）借助常見的空間幾何體輔助判斷（正方體等）.14、40【解析】分析：先根據二項分布得,再根據，得詳解：因為，所以，因為，所以點睛：二項分布)，則此隨機變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式.15、【解析】

由柱坐標轉化公式求得直角坐標?！驹斀狻坑芍鴺丝芍?，所以直角坐標為。所以填?！军c睛】空間點P的直角坐標(x,y,z)與柱坐標(ρ,θ,Z)之間的變換公式為。16、【解析】分析：：，為真命題，則詳解：已知命題：，為真命題，則實數的取值范圍為.即答案為點睛：本題考查當特稱命題為真時參數的取值范圍，屬基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)見解析；(Ⅱ)超市有必要開展抽獎活動【解析】

(Ⅰ)在所給的坐標系中，畫出散點圖，可以發(fā)現(xiàn)選擇作為每天凈利潤的回歸方程類型比較合適，計算出，按照所給的公式可以求出，最后求出回歸方程；(Ⅱ)根據離散型隨機分布列的性質，可以求出值，然后可以求出數學期望，再利用(Ⅰ)求出的回歸直線方程，可以預測出超市利潤，除去總獎金，可以求出超市的凈利潤，最后判斷出是否有必要開展抽獎活動.【詳解】解:(Ⅰ)散點圖如圖所示根據散點圖可判斷，選擇作為每天凈利潤的回歸方程類型比較合適，關于的回歸方程為(Ⅱ)，活動開展后使用支付寶和微信支付的人數的期望為(千人)由(Ⅰ)得，當時，此時超市的凈利潤約為，故超市有必要開展抽獎活動【點睛】本題考查了求線性回歸方程，并根據數學期望和回歸直線方程對決策做出判斷的問題，考查了應用數學知識解決現(xiàn)實生活中的問題的能力.18、（1）（2）【解析】

（1）根據已知求出a,b，即得橢圓的標準方程；（2）由，得，得到韋達定理，再把韋達定理代入數量積化簡即得解.【詳解】解：（1）由題可知，，，得又，解得故橢圓的方程為，（2）由，得，設，則，，∵，，∴將，代入，得.【點睛】本題主要考查橢圓標準方程的求法，考查直線和橢圓的位置關系和平面向量的數量積，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于中檔題.19、（1），；（2），此時【解析】

（1）根據面積可得到與的關系，寫出周長即可（2）根據（1）寫出的，利用均值不等式求解即可.【詳解】（1），，，由得.（2），，當且僅當，即等號成立.【點睛】本題主要考查了實際問題中的函數關系，均值不等式，屬于中檔題.20、（1）該份試卷應被評為合格試卷；（2）見解析【解析】

（1）根據頻數分布表，計算，，的值，由此判斷出“該份試卷應被評為合格試卷”.（2）利用超幾何分布分布列計算公式，計算出分布列，并求得數學期望.【詳解】（1），，，因為考生成績滿足兩個不等式，所以該份試卷應被評為合格試卷.