2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)專家點撥-相似的綜合提高

PAGE一、考點突破相似是中考考查的重點內(nèi)容，在選擇題和填空題中，多為考查圖形相似的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定、位似圖形的性質(zhì)，題目難度一般不大；在解答題中，常與方程、函數(shù)、圓等內(nèi)容相結(jié)合，綜合性強，難度較大。在中考中主要考查以下幾點：（1）相似圖形的特點以及相似比的意義；（2）用平行線分線段成比例定理解決一些幾何證明和幾何計算題；（3）綜合利用相似三角形的判定定理和性質(zhì)解決問題；（4）位似圖形的定義、作圖及在平面直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)的變化規(guī)律。二、重難點提示重點：相似三角形的性質(zhì)和判定定理的應(yīng)用，位似圖形的應(yīng)用。難點：利用圖形的相似解決實際問題。能力提升類例1手工制作課上，小紅利用一些花布的邊角料，剪裁后裝飾手工畫，下面四個圖案是她剪裁出的空心不等邊三角形、等邊三角形、正方形、矩形花邊，其中，每個圖案花邊的寬度都相等，那么，每個圖案中花邊的內(nèi)外邊緣所圍成的幾何圖形不相似的是（）一點通：根據(jù)相似圖形的定義，結(jié)合圖形，對選項一一分析，排除錯誤答案。解：A：形狀相同，符合相似圖形的定義，故選項錯誤；B：形狀相同，符合相似圖形的定義，故選項錯誤；C：形狀相同，符合相似圖形的定義，故選項錯誤；D：兩個矩形，雖然四個角對應(yīng)相等，但邊的比不對應(yīng)相等，故選項正確；故選D。點評：本題考查的是相似圖形的定義，聯(lián)系圖形，即形狀相同，大小不一定相同的圖形叫做相似形。全等形是相似形的一個特例。例2如圖所示，正方形OEFG和正方形ABCD是位似圖形，點F的坐標(biāo)為（－1，1），點C的坐標(biāo)為（－4，2），則這兩個正方形位似中心的坐標(biāo)是。一點通：兩個位似圖形的主要特征是：每對位似對應(yīng)點與位似中心共線；不經(jīng)過位似中心的對應(yīng)線段平行。則位似中心就是兩對對應(yīng)點的延長線的交點，本題分兩種情況討論即可。解：①當(dāng)兩個位似圖形在位似中心同旁時，位似中心就是CF與x軸的交點，設(shè)直線CF的解析式為y=kx＋b，將點C（－4，2），F(xiàn)（－1，1）代入，得解得即，令y=0得x=2，∴位似中心的坐標(biāo)是（2，0）；②當(dāng)位似中心在兩個正方形之間時，可求直線OC的解析式為，直線DE的解析式為，聯(lián)立，解得，即位似中心的坐標(biāo)為（，）。故本題答案為：（2，0）或（，）。點評：本題主要考查位似圖形的性質(zhì)，難度中等，注意掌握每對位似對應(yīng)點與位似中心共線，另外解答本題注意分情況討論，避免漏解。綜合運用類例3如圖，Rt△ABC的直角邊BC在x軸正半軸上，斜邊AC邊上的中線BD反向延長線交y軸負半軸于E，函數(shù)的圖象經(jīng)過點A，若S△BEC=8，求k的值。一點通：先根據(jù)題意證明△BOE∽△CBA，根據(jù)相似比及面積公式得出BO×AB的值即為|k|的值，再由函數(shù)所在的象限確定k的值。解：∵BD為Rt△ABC的斜邊AC上的中線，∴BD=DC，∠DBC=∠ACB，又∠DBC=∠EBO，∴∠EBO=∠ACB，又∠BOE=∠CBA=90°，∴△BOE∽△CBA，∴，即BC×OE=BO×AB。又∵S△BEC=8，即BC×OE=16=BO×AB=|k|。又由于反比例函數(shù)的圖象在第一象限，k＞0。所以k等于16。點評：本題考查了反比例函數(shù)中的幾何意義，即過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為||，這是經(jīng)?？疾榈囊粋€知識點；這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。例4如圖，四邊形ABCD為一梯形紙片，AB∥CD，AD=BC。翻折紙片ABCD，使點A與點C重合，折痕為EF。已知CE⊥AB。（1）求證：EF∥BD；（2）若AB=7，CD=3，求線段EF的長。一點通：（1）過C點作CH∥BD，交AB的延長線于點H；連接AC，交EF于點K，則AK=CK。通過證明四邊形CDBH是平行四邊形，△ACH是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，底邊上的高是底邊上的中線得到EK是△AHC的中位線。EK∥CH。可得EF∥BD。（2）由AB=7，CD=3，得AH=10。由折疊的性質(zhì)知AE=CE，∴AE=CE=EH=5。在等腰直角三角形CHE中，由勾股定理得，CH==BD。由于△AFE∽△ADB。即。從而求得EF的值。解：（1）證明：過C點作CH∥BD，交AB的延長線于點H；連接AC，交EF于點K，則AK=CK?！逜B∥CD，∴四邊形CDBH是平行四邊形，∴BH=CD，BD=CH。∵AD=BC，∴AC=BD=CH?！逤E⊥AB，∴AE=EH?！郋K是△AHC的中位線?！郋K∥CH?！郋F∥BD。（2）解：由（1）得BH=CD，EF∥BD。∴∠AEF=∠ABD?！逜B=7，CD=3，∴AH=10?！逜E=CE，AE=EH，∴AE=CE=EH=5?！逤E⊥AB，∴CH==BD?！摺螮AF=∠BAD，∠AEF=∠ABD，∴△AFE∽△ADB。∴?！?。點評：本題利用了：1.折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等；2.平行線的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)求解。思維拓展類例5如圖，在中，，AB=6米，BC=8米，動點P以2米/秒的速度從A點出發(fā)，沿AC向點C移動，同時，動點Q以1米/秒的速度從C點出發(fā)，沿CB向點B移動。當(dāng)其中有一點到達終點時，它們都停止移動。設(shè)移動的時間為秒。（1）求的面積（平方米）關(guān)于時間t（秒）的函數(shù)解析式；（2）以P為圓心，PA為半徑的圓與以Q為圓心，QC為半徑的圓相切時，求出t的值。一點通：（1）過Q點作QE⊥AC，證明△QEC∽△ABC，列比例式求出QE的長，利用三角形面積公式即可求出其函數(shù)表達式；（2）以P為圓心，PA為半徑的圓與以Q為圓心，QC為半徑的圓相切時，分為兩圓外切和內(nèi)切兩種情況進行討論。在直角△PFQ中利用勾股定理即可得到關(guān)于t的方程，從而求解。解：在Rt△ABC中，AB=6米，BC=8米∴AC=10米由題意得：AP=2t，CQ=t則PC=10－2t（1）過點Q作QE⊥PC于點E，∴∠ABC=∠QEC=90°，∠QCE=∠ACB，∴Rt∽Rt∴，∴∴S==(10－2t)=；（2）過點P作PF⊥BC于點F，則有∽∴，即，∴，則在Rt中，當(dāng)圓P與圓Q外切時，有，此時整理得：，解得：，（舍去）故，當(dāng)圓P與圓Q外切時，（秒）；當(dāng)圓P與圓Q內(nèi)切時，有，此時整理得：，解得：，故，當(dāng)圓P與圓Q內(nèi)切時，秒，或秒。點評：本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，以及圓和圓的位置關(guān)系，正確把圖形之間的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段之間的相等關(guān)系是解題的關(guān)鍵。1.在找相似三角形的對應(yīng)關(guān)系時，要注意結(jié)合圖形觀察。2.在研究相似多邊形的有關(guān)性質(zhì)時是通過把多邊形轉(zhuǎn)化為三角形來研究的，當(dāng)求線段長度時，要根據(jù)已知轉(zhuǎn)化為通過相似建立未知線段的比例關(guān)系式，從而求出所求的線段。3.利用相似三角形的知識解題經(jīng)常會遇到多解問題，在沒有指明對應(yīng)關(guān)系的情況下，必須考慮不同的情況加以討論，以防造成解題不嚴(yán)密的錯誤。4.在解決問題時，關(guān)鍵是對問題的閱讀與理解，通過讀題找出題目中的條件信息，建立關(guān)系式，利用函數(shù)知識解決。5.在求線段的長或者圖形的周長、面積時，經(jīng)常根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，列比例式解決問題。問題一塊直角三角形木板的一條直角邊AB為1.5m，面積為1.5m2，要把它加工成一個面積最大的正方形桌面，小明打算按圖1形狀進行加工，小華準(zhǔn)備按圖2形狀的加工方案符合要求。一點通：根據(jù)題意必須首先求得正方形的邊長。圖1中，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的比相等即可求得；圖2中，根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比即可求得。解：小明的方案中：設(shè)正方形BFED的邊長為x（m），則，∴BC=2（m），由DE∥AB，得△CDE∽△CBA，∴，小華的方案中：設(shè)正方形的邊長為y（m），AC上的高BH交DE于M，由勾股定理AB2+BC2=AC2，∴AC=（m），由，得，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴，∴，∴y=（m），∵x＞y，∴x2＞y2。故采用小明的方案加工出的桌面的面積最大。點評：首先根據(jù)勾股定理求得直角三角形的直角邊，再找出相似的三角形，然后根據(jù)對應(yīng)邊成比例列出方程，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來解決問題。（答題時間：50分鐘）1.如圖，修筑同樣寬的兩條“之”字路，余下的部分作為耕地，若要使耕地的面積為540米2，那么道路的寬應(yīng)是多少米？2.如圖①和②，在20×20的等距網(wǎng)格（每格的寬和高均為1個單位長）中，從點A與點M重合的位置開始，以每秒1個單位長的速度先向下平移，當(dāng)BC邊與網(wǎng)格的底部重合時，繼續(xù)以同樣的速度向右平移，當(dāng)點C與點P重合時，停止移動。設(shè)運動時間為x秒，的面積為y。（1）以O(shè)為位似中心，在圖中畫出△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比為1：2；（2）如圖②，在向下平移的過程中，請你求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并說明當(dāng)x分別取何值時，y取最大值和最小值？最大值和最小值分別是多少？（3）在向右平移的過程中，請你說明當(dāng)x取何值時，y取得最大值和最小值？最大值和最小值分別是多少？為什么？3.如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，按要求畫出△A1B1C1和△A2B2C（1）把△ABC先向右平移4個單位，再向上平移1個單位，得到△A1B1C1（2）以圖中的O為位似中心，將△A1B1C1作位似變換且放大到原來的兩倍，得到△A2B2C4.如圖，請借助直尺按要求畫圖：（1）平移方格紙中左下角的圖形，使點P1平移到點P2處；（2）將點P1平移到點P3處，并畫出將原圖放大為兩倍的圖形。5.將一矩形紙片OABC放在直角坐標(biāo)系中，O為原點，C在x軸上，OA=6，OC=10。（1）如圖①，在OA上取一點E，將沿EC折疊，使O點落在AB邊上的D點，求E點的坐標(biāo)；（2）如圖②，在OA、OC邊上選取適當(dāng)?shù)狞c、F，將沿折疊，使O點落在AB邊上的點，過作軸，交于T點，交OC于G點，求證：。（3）在（2）的條件下，設(shè)，①探求：y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；②指出自變量x的取值范圍。（4）如圖③，如果將矩形OABC變?yōu)槠叫兴倪呅危?，邊上的高等?，其他條件均不變，探求：這時的坐標(biāo)y與x之間是否仍然滿足（3）中所得的函數(shù)關(guān)系式？若滿足，請說明理由；若不滿足，寫出你認為正確的函數(shù)關(guān)系式。6.已知△ABC中，∠ACB=90o，CD⊥AB于D，AD∶BD=2∶3且CD=6.求：（1）AB的長；（2）AC的長。7.已知△ABC中，∠ACB=90o，CH⊥AB，HE⊥BC，HF⊥AC.求證：（1）△HEF≌△EHC；（2）△HEF∽△HBC.8.如圖1，在等邊△ABC中，點D是邊AC的中點，點P是線段DC上的動點(點P與點C不重合)，連接BP.將△ABP繞點P按順時針方向旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P,連接AA1，射線AA1分別交射線PB、射線B1B于點E、F.（1）如圖1，當(dāng)0°＜α＜60°時，在α角變化過程中，△BEF與△AEP始終存在_____關(guān)系（填“相似”或“全等”），并說明理由；（2）如圖2，設(shè)∠ABP＝β.當(dāng)60°＜α＜180°時，在α角變化過程中，是否存在△BEF與△AEP全等？若存在，求出α與β之間的數(shù)量關(guān)系；若不存在，請說明理由；（3）如圖3，當(dāng)α＝60°時，點E、F與點B重合.已知AB＝4，設(shè)DP＝x，△A1BB1的面積為S，求出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

1.解：將橫向道路位置平移至最下方，將縱向道路位置平移至最左方，設(shè)道路寬為x米，則有，整理，得，∴，∴（不合題意，舍去），?！嗟缆穼拺?yīng)為2米。2.分析：（1）解本題的關(guān)鍵是排除網(wǎng)格的干擾，能抽象出網(wǎng)格中的四邊形、三角形；對于（2）；對于（3），應(yīng)注意自變量的取值范圍，在其約束條件下求函數(shù)最值。解：（1）略．（2），（≤≤）由一次函數(shù)的性質(zhì)知：當(dāng)時，；當(dāng)時，。（3）當(dāng)≤≤時，，所以（≤≤）由一次函數(shù)的性質(zhì)知：當(dāng)時，；當(dāng)時，。3.解：4.解：5.解：（1）方法1：設(shè)OE=m或E（0，m），則，由勾股定理得，則，在中，由勾股定理得，解得，所以。方法2：設(shè)或，則，由勾股定理得，則，由，得，所以∽，故，解得，所以。（2）連接交于P，由折疊可知垂直平分，即，由，所以得出，所以。（3）①連接，由（2）可得，由勾股定理可得，整理，得。②結(jié)合（1）可得。最大，即x最大，此時G點與F點重合，四邊形為正方形，所以x最大為6，即≤，所以，≤≤。（4）y與x之間仍然滿足（3）中所得函數(shù)關(guān)系式，理由如下：連接，仍然可得，即，所以，（3）中所得的函數(shù)關(guān)系式仍然成立。6.分析：設(shè)AD=2k，BD=3k.根據(jù)直角三角形和它斜邊上的高，可知△ABC∽△ACD∽△CBD.通過相似三角形對應(yīng)邊成比例求出其中k的大??；但是如果根據(jù)射影定理，那么就可以直接計算出k的大小.解：（1）設(shè)AD=2k，BD=3k（k>0）.∵∠ACB=90o，CD⊥AB.∴CD2=AD?BD，∴62=2k?3k，∴k=.∴AB=.（2）∵AC2=AD·AB，∴AC=.7.分析：