圓錐曲線教學(xué)中的引伸和推廣 論文

圓錐曲線教學(xué)中的引伸和推廣摘要：眾所周知，數(shù)學(xué)是高中教育教學(xué)中一門非常重要的學(xué)科，直接影響了學(xué)生的成長(zhǎng)、未來(lái)發(fā)展。傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中存在弊端，如何培養(yǎng)能力和發(fā)展智力是當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)的課題，從長(zhǎng)遠(yuǎn)的觀點(diǎn)看，我們培養(yǎng)學(xué)生的不僅要具有一定的基礎(chǔ)知識(shí)，更應(yīng)具備應(yīng)用這些知識(shí)解決問(wèn)題的能力，具有卓創(chuàng)見。一、啟發(fā)學(xué)生探索問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，抓住實(shí)質(zhì)，掌握規(guī)律培養(yǎng)學(xué)生的分析能力，主要就是培養(yǎng)學(xué)生能透過(guò)現(xiàn)象看到問(wèn)題的本質(zhì)。教師應(yīng)當(dāng)通過(guò)剖析來(lái)說(shuō)明什么是次要的、表面的東西、什么是與解決問(wèn)題有關(guān)的實(shí)質(zhì)性的東西。這樣才能正真培養(yǎng)學(xué)生的分析能力。例：求證：在曲線的方程例里，如果以X代Y，Y代X，方程不變，那么，此曲線關(guān)于直線X-Y=0為對(duì)稱。證這個(gè)命題，一般先設(shè)曲線方程為fxy=0，然后在曲線上任取一點(diǎn)px0- y0)，利用題設(shè)條件證明與P點(diǎn)關(guān)于直線Y=X對(duì)稱的點(diǎn)px1 0,y0)也在曲線上，這里，關(guān)鍵是：證明與曲線上任意一點(diǎn)P關(guān)于直線Y=X對(duì)稱的點(diǎn)1p也在曲線上。這是關(guān)于直線Y=X對(duì)稱的實(shí)質(zhì)。應(yīng)該讓學(xué)生親手畫畫圖。切實(shí)領(lǐng)會(huì)曲線對(duì)稱性的這一實(shí)質(zhì)。如果學(xué)生能比較透徹的理解這一點(diǎn)，那么久不難使他們悟出證曲線對(duì)稱性的一般規(guī)律：“設(shè)P是曲線上任意一點(diǎn)（即P點(diǎn)坐標(biāo)適合曲線方程）。證明與P點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)也在曲線上（即點(diǎn)1p的坐標(biāo)也適合曲線方程），那么曲線久具有有關(guān)的對(duì)稱性”。顯然，這一法則也可用于證明兩條曲線與相互對(duì)1l稱的問(wèn)題。二、利用學(xué)生已經(jīng)掌握的知識(shí)和技能，用類比、推廣的方法探索解題途徑。一個(gè)學(xué)生過(guò)去未見過(guò)的問(wèn)題出現(xiàn)以后，教師應(yīng)該通過(guò)合理的分析來(lái)啟發(fā)學(xué)生，努力使學(xué)生不感到“巧”，不感到教師特別有“靈感”。應(yīng)使學(xué)生看到他和舊知的必然聯(lián)系，許多問(wèn)題是能夠以舊推新的。1.過(guò)拋物線焦點(diǎn)弦AB的中點(diǎn)C，作準(zhǔn)線的垂線CK，則垂足K與焦點(diǎn)弦兩個(gè)端點(diǎn)的連線KA和KB互相垂直；2.過(guò)拋物線焦點(diǎn)弦的端點(diǎn)A,B作切線ATAT1 2,則此兩切線垂直相交于準(zhǔn)線上一點(diǎn)K。此點(diǎn)與AB中點(diǎn)C的連線平行于拋物線的軸；3.從準(zhǔn)線上任一點(diǎn)作拋物線的切線，則所得兩切線互相垂直，且兩切點(diǎn)連線為焦點(diǎn)弦，此弦中點(diǎn)與該點(diǎn)連線平行拋物線的軸；4.拋物線上兩條互相垂直切線的交點(diǎn)軌跡是拋物線的準(zhǔn)線。以下利用拋物線的光學(xué)性質(zhì)對(duì)一些結(jié)論進(jìn)行簡(jiǎn)單證明：如圖，拋物線方程為y22px(p0)，F(xiàn)(P20,)是拋物線的焦點(diǎn)，l:xp2是拋物線的準(zhǔn)線方程，過(guò)焦點(diǎn)F作直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn)，A,B在準(zhǔn)線上的投影分別為A1,B1，過(guò)A作切線AT1交準(zhǔn)線于K，連接B,K.（1）證明：直線BK為拋物線的切線，且直線AK與直線BK垂直;（2）C為拋物線焦點(diǎn)弦AB的中點(diǎn)，證明：直線CK與x軸平行；（3）連接B,F，證明：直線KF與直線AB垂直;證明:根據(jù)拋物線的光學(xué)性質(zhì)，過(guò)點(diǎn)F的入射光線FA經(jīng)過(guò)切線AT1反射后，反射光線AD與x軸平行,則A1,A,D三點(diǎn)共線，DAT1A1AK，又FAKDAT1，A1AKFAK,又根據(jù)拋物線的定義A1AFA，在A1AK和FAK中A1AFAA1AKFAK A1AKFAK KA1AKFA,又KA1A90AKAKKFA90即KFAB,則（3）得證.根據(jù)拋物線的定義B1BFB,由（3）得KFBKB1B90在RtB1BK和RtFBK中KBKB RtB1BKRtFBK B1BKFBK,又B1BKT2BEBB1BFKBFT2BE,即直線BK為拋物線在B點(diǎn)的切線又A1AKFAK A1KAFKA 又RtB1BKFBK B1KBFKBA1KAFKAB1KBFKB180FKAFKB90的中點(diǎn)即AKBK,則（1）得證又A1AKFAKA1KFKK為A1B1的中點(diǎn)，又C為AB又RtB1BKFBKB1KFKCK//AA1//BB1即直線CK與x軸平行，則（2）得證.三、要為學(xué)生提供一題多解得條件，提倡學(xué)生用多種方法解題，拓寬視野，發(fā)展思維能力。一題多解至少有這樣幾個(gè)好處，可以激發(fā)學(xué)生思維的積極性，拓寬視野，培養(yǎng)探究能力；可以培養(yǎng)學(xué)生銳利的觀察分析能力；可以在比較的基礎(chǔ)上培養(yǎng)學(xué)生思維的合理性，形成科學(xué)的思維方法等等。教學(xué)中除了經(jīng)常提倡、鼓勵(lì)之外，還要為學(xué)生提供一些條件——例如解一些容易的出多種解法的例題；給與足夠的討論時(shí)間等，使學(xué)生的思維活躍起來(lái)。例1.（2018.全國(guó)卷Ⅲ）已知點(diǎn)M（1,1）和拋物線C：y24x，過(guò)C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A,B兩點(diǎn)，若AMB90，則k=________.解析：M（1,1）在拋物線C：y24x的準(zhǔn)線l:x1上，AMB90即AMBM,則AM,BM為在A,B兩點(diǎn)的切線，由二中的結(jié)論（3）可推出MFAB，又M（1,1），F(xiàn)0,1()則kMF101，又kAFk1，則k2.112例2.已知拋物線C：y24x的焦點(diǎn)F,過(guò)F的直線交拋物線C于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)M（2,1)滿足MAMB，則直線的方程為（）A.yx1B.yx1C.y3x3D.y3x3解析：如圖M在準(zhǔn)線上且MAMB，則MA,MB在A,B兩點(diǎn)的切線,由二中的結(jié)論（3）可推出MFAB，又MNFN2且MNFN,則NFM45，綜上推出直線的傾斜角為45，又點(diǎn)F（0,1），則直線的方程為yx1，故選B。例3.過(guò)拋物線C：y216x的焦點(diǎn)F作直線，交拋物線于A,B兩點(diǎn)，設(shè)P(200,)，若(PABP)(PAPB)0,則AB（）.A16B.20C.32D.16或32解析：(PABP)(PAPB)0PAPB即點(diǎn)P在焦點(diǎn)弦AB的中垂線上.i:當(dāng)直線與x軸垂直時(shí)，焦點(diǎn)弦AB關(guān)于x軸對(duì)稱，又P(200,)在x軸上，滿足題意AB為通徑即AB16.ii:當(dāng)直線與x軸不垂直時(shí)，如圖取AB的中點(diǎn)M,分別作AA1、MM1、BB1與準(zhǔn)線垂直，由二中的結(jié)論（2）可推出MM1//x軸，由二中的結(jié)論（3）可推出M1FAB,又點(diǎn)P在焦點(diǎn)弦AB的中垂線上、M為AB的中點(diǎn)，則PMABM1F//MP，則四邊形PMM1F為平行四邊形，MM1PF16M為AB的中且AA1、MM1、BB1與準(zhǔn)線垂直，則AA1BB12MM1又根據(jù)拋物線的定義推出ABAA1BB1,故AB32.綜上本題選D.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)