大學(xué)數(shù)學(xué)線性代數(shù)中若干知識點(diǎn)的說明

大學(xué)數(shù)學(xué)線性代數(shù)中若干知識點(diǎn)的說明高校數(shù)學(xué)線性代數(shù)中若干學(xué)問點(diǎn)的說明篇1

行列式的幾何意義是什么？

行列式是由一些數(shù)據(jù)排列成的方陣經(jīng)過規(guī)定的計算方法而得到的一個數(shù)。當(dāng)然，假如行列式中含有未知數(shù)，那么它就是一個多項式。其本質(zhì)上代表一個數(shù)值。（矩陣代表一個數(shù)表）

行列式可以根據(jù)階數(shù)分，比如一階，二階，三階直至n階行列式。

幾何意義是什么？

1.行列式就是行列式中的行和列所構(gòu)成的超平行多面體的有向面積或有向體積。（可以對二階行列式推導(dǎo)一下，更能直觀的了解）（靜態(tài)的體積概念）

2.行列式就是線性變換下的圖形面積或體積的伸縮因子。（動態(tài)的變換比例概念）

向量空間

向量種類繁多，形形色色的向量方向，長短各異，應(yīng)當(dāng)給他分類，劃分向量集合，由于向量的概念具有幾何特性，因此向量的集合通常叫做向量空間。

作為一個空間，法規(guī)特殊多，書上給出了八條鐵律，其實只有兩條基本原則，

任意兩向量相加不能超出空間，

任意一向量伸縮也不能超出空間。

由其次條伸縮性，就可以說明空間包含零向量，有了零向量，在第一條的原則上就可以推導(dǎo)出負(fù)向量。

子空間肯定要經(jīng)過原點(diǎn)為什么？

實際上，我們現(xiàn)在爭論的向量，不能稱之為自由向量，由于全部的向量的尾巴都被拉到了原點(diǎn)上，或者說，全部向量空間里的向量都是從原點(diǎn)動身的，大家都有一個共同的零空間，這就是為什么全部的子空間肯定要包含零空間的緣由了。

那為什么要把全部的向量的尾巴都被拉到了原點(diǎn)上呢？

為了討論向量的便利，由于這樣就可以把向量和空間中的點(diǎn)一一對應(yīng)起來，空間中一旦建立起了坐標(biāo)系，點(diǎn)有坐標(biāo)值，那么我們就用點(diǎn)的坐標(biāo)表示與點(diǎn)對應(yīng)的向量，這樣向量就有了解析式，就有了向量的坐標(biāo)表達(dá)式，我們就可以便利分析與計算了。

假如一個子空間沒有通過原點(diǎn)，那么從原點(diǎn)動身的向量必定首尾不顧，造成了向量頭在子空間中，尾在空間外（由于原點(diǎn)在空間外）。當(dāng)然，向量的加法和數(shù)乘也都跑到子空間外面去了。

基的幾何意義是什么？

“基”，說道這個，我們可以立刻聯(lián)想到做房子的地基，每一個基向量可以看成是房子的磚塊，整個空間都是由這些磚塊衍生出來的。所以，一個基能代表或衍生出空間里全部的向量，缺一不行。其次，作為基的每一個向量，都是相互不能代替的，必需線性無關(guān)。它是最大的線性無關(guān)向量組。

維數(shù)

一個基包含的向量個數(shù)就是坐標(biāo)軸的個數(shù)，也就是向量空間的維數(shù)。維數(shù)是空間的一個本質(zhì)特征，不依靠于基的選取。

標(biāo)準(zhǔn)正交基

標(biāo)準(zhǔn)正交基也叫規(guī)范正交基，實際上，假如這些基向量相互垂直，就叫正交基，而且每個基向量的長度等于1，那么這個基叫做標(biāo)準(zhǔn)正交基。

為什么要定義這樣的標(biāo)準(zhǔn)正交基呢？

主要緣由是假如基是正交且標(biāo)準(zhǔn)的，就簡單計算向量子空間的投影和基坐標(biāo)，換句話說，假如你選取的坐標(biāo)系是垂直的，而且取得坐標(biāo)單位為1，就很簡單計算向量空間里面的向量坐標(biāo)值。

矩陣

在此引用《關(guān)于矩陣的理解》一文中的某一段落：

“在線性空間中選定基之后，向量刻畫對象，矩陣刻畫對象的運(yùn)動，用矩陣與向量的乘法施加運(yùn)動。矩陣是線性空間中的線性變換的一個描述。在一個線性空間中，只要我們選定一組基，那么對于任何一個線性變換，都能夠用一個確定的矩陣來加以描述”

特征向量的幾何意義

特征向量的原始定義Ax=cx，A是方陣，c是一數(shù)。（課本的定義是利用變換，即ax=rx，a是線性空間中的線性變換，x是非零向量，r是數(shù)域里的一個數(shù)）

從定義可以看出，矩陣A乘以向量x結(jié)果仍是同維數(shù)的一個向量。因此矩陣乘法對應(yīng)了一個變換，把一個向量變成同維數(shù)的另一個向量。那變換的效果取決與矩陣的構(gòu)造，比如我們可以取一個特別的二維方陣，使得將平面上的二維向量旋轉(zhuǎn)45度，這時，我們可以對自己問一個問題，有沒有向量在這個變換下不轉(zhuǎn)變方向呢？當(dāng)然有了，零向量就可以，但除零向量之外呢？那就沒有了，所以這個變換對應(yīng)的矩陣就沒有特征向量。

所以一個變換的特征向量是這樣一種向量，它經(jīng)過這種特定的變換后保持方向不變，只是進(jìn)行長度上的伸縮而已，同時特征向量不是一個向量而是一個向量族。

對一個變換而言，特征向量指明的方向才是很重要的，特征值只不過反映了特征向量在變換時的伸縮倍數(shù)而已，好像不是那么重要；但是，當(dāng)我們學(xué)習(xí)了Spectraltheorem時就不會這么認(rèn)為了。

高校數(shù)學(xué)線性代數(shù)中若干學(xué)問點(diǎn)的說明篇2

線性代數(shù)的學(xué)習(xí)切入點(diǎn)是線性方程組。換言之，可以把線性代數(shù)看作是在討論線性方程組這一對象的過程中建立起來的學(xué)科。

線性方程組

線性方程組的特點(diǎn)：方程是未知數(shù)的一次齊次式，方程組的數(shù)目s和未知數(shù)的個數(shù)n可以相同，也可以不同。

關(guān)于線性方程組的解，有三個問題值得爭論：

1、方程組是否有解，即解的存在性問題；

2、方程組如何求解，有多少個；

3、方程組有不止一個解時，這些不同的解之間有無內(nèi)在聯(lián)系，即解的結(jié)構(gòu)問題。

高斯消元法

這最基礎(chǔ)和最直接的求解線性方程組的方法，其中涉及到三種對方程的同解變換：

1、把某個方程的k倍加到另外一個方程上去；

2、交換某兩個方程的位置；

3、用某個常數(shù)k乘以某個方程。我們把這三種變換統(tǒng)稱為線性方程組的初等變換。

任意的線性方程組都可以通過初等變換化為階梯形方程組。

由詳細(xì)例子可看出，化為階梯形方程組后，就可以依次解出每個未知數(shù)的值，從而求得方程組的解。

對方程組的解起打算性作用的是未知數(shù)的系數(shù)及其相對位置，所以可以把方程組的全部系數(shù)及常數(shù)項按原來的位置提取出來，形成一張表，通過討論這張表，就可以推斷解的狀況。我們把這樣一張由若干個數(shù)按某種方式構(gòu)成的表稱為矩陣。

可以用矩陣的形式來表示一個線性方程組，這至少在書寫和表達(dá)上都更加簡潔。

系數(shù)矩陣和增廣矩陣

高斯消元法中對線性方程組的初等變換，就對應(yīng)的是矩陣的初等行變換。階梯形方程組，對應(yīng)的是階梯形矩陣。換言之，任意的線性方程組，都可以通過對其增廣矩陣做初等行變換化為階梯形矩陣，求得解。

階梯形矩陣的特點(diǎn)：左下方的元素全為零，每一行的第一個不為零的元素稱為該行的主元。

對不同的線性方程組的詳細(xì)求解結(jié)果進(jìn)行歸納總結(jié)（有唯一解、無解、有無窮多解），再經(jīng)過嚴(yán)格證明，可得到關(guān)于線性方程組解的判別定理：首先是通過初等變換將方程組化為階梯形，若得到的階梯形方程組中消失d=0這一項，則方程組無解，若未消失d=0一項，則方程組有解；在方程組有解的狀況下，若階梯形的非零行數(shù)目r等于未知量數(shù)目n，方程組有唯一解；若rn，則方程組有無窮多解。

在利用初等變換得到階梯型后，還可進(jìn)一步得到最簡形，使用最簡形，最簡形的特點(diǎn)是主元上方的元素也全為零，這對于求解未知量的值更加便利，但代價是之前需要經(jīng)過更多的初等變換。在求解過程中，選擇階梯形還是最簡形，取決于個人習(xí)慣。

齊次方程組

常數(shù)項全為零的線性方程稱為齊次方程組，齊次方程組必有零解。

齊次方程組的方程組個數(shù)若小于未知量個數(shù)，則方程組肯定有非零解。

利用高斯消元法和解的判別定理，以及能夠回答前述的基本問題：解的存在性問題和如何求解的問題，這是以線性方程組為動身點(diǎn)建立起來的最基本理論。

對于n個方程n個未知數(shù)的特別情形，我們發(fā)覺可以利用系數(shù)的某種組合來表示其解，這種按特定規(guī)章表示的系數(shù)組合稱為一個線性方程組(或矩陣)的行列式。行列式的特點(diǎn)：有n！項，每項的符號由角標(biāo)排列的逆序數(shù)打算，是一個數(shù)。

通過對行列式進(jìn)行討論，得到了行列式具有的一些性質(zhì)(如交換某兩行其值反號、有兩行對應(yīng)成比例其值為零、可按行綻開等等)，這些性質(zhì)都有助于我們更便利的計算行列式。

用系數(shù)行列式可以推斷n個方程的n元線性方程組的解的狀況，這就是克萊姆法則。

總而言之，可把行列式看作是為了討論方程數(shù)目與未知量數(shù)目相等的特別情形時引出的一部分內(nèi)容。

高校數(shù)學(xué)線性代數(shù)中若干學(xué)問點(diǎn)的說明篇3

線性代數(shù)占考研數(shù)學(xué)總分值的22%，約34分，以2個選擇題、1個填空題、2個解答題的形式消失。雖然線性代數(shù)的考點(diǎn)眾多，但要把這5個題目的分值完全收入囊中，則需要進(jìn)行重點(diǎn)題型重點(diǎn)突破。

矩陣的秩

矩陣是解決線性方程組的解的有力工具，矩陣也是化簡二次型的便利工具。矩陣?yán)碚撌蔷€性代數(shù)的重點(diǎn)內(nèi)容，熟識把握了矩陣的相關(guān)性質(zhì)與內(nèi)容，利用其來解決實際應(yīng)用問題就變得簡潔易行。正由于矩陣?yán)碚撛谡麄€線性代數(shù)中的重要作用，使它變?yōu)榭荚嚳疾榈闹攸c(diǎn)。矩陣由那么多元素組成，每一個元素都在扮演不同的角色，其中的核心或主角是它的秩！

通過幾十年考研考試命題，命題老師對題目的形式在不斷地完善，這也要求大家深化理解概念，敏捷處理理論之間的關(guān)系，能變通地解答題目。例如對矩陣秩的理解，對矩陣的秩與向量組的秩之間的關(guān)系的理解，對矩陣等價與向量組等價之間區(qū)分的理解，對矩陣的秩與方程組的解之間關(guān)系的把握，對含參數(shù)的矩陣的處理以及反問題的解決力量等，都需要在對概念理解的基礎(chǔ)上，聯(lián)系地看問題，準(zhǔn)時總結(jié)結(jié)論。

矩陣的特征值與特征向量

矩陣的特征值與特征向量在將矩陣對角化過程中起著打算作用，也是將二次型標(biāo)準(zhǔn)化、規(guī)范化的便捷方式，故特征值與特征向量也是考查重點(diǎn)。對于特征值與特征向量，須理清其相互關(guān)系，也須能依據(jù)一些矩陣的特別性求得其特征值與特征向量(例如依據(jù)矩陣各行元素之和為3能夠推斷3是其一個特征值，元素均為1的列向量是其對應(yīng)的特征向量)，會處理含參數(shù)的狀況。

線性方程組求解

對線性方程組的求解總是通過矩陣來處理，含參數(shù)的方程組是考查的重點(diǎn)，對方程組解的結(jié)構(gòu)及有解的條件須熟識。例如2023年第20題(數(shù)學(xué)二為22題)，已知三元非齊次線性方程組存在2個不同的解，求其中的參數(shù)并求方程組的通解。此題的關(guān)鍵是確定參數(shù)！而全部信息完全隱含在AX=b存在2個不同的解這句話中。由此可以得到齊次方程組有非0解，系數(shù)矩陣降秩，行列式為0，可求得矩陣中的參數(shù)；非齊次方程組有解故系數(shù)矩陣與增廣矩陣同秩可確定唯一參數(shù)及b中的參數(shù)。至于確定參數(shù)后再求解非齊次方程組就變得特別簡潔了。

二次型標(biāo)準(zhǔn)化與正定推斷

二次型的標(biāo)準(zhǔn)化與矩陣對角化緊密相連，即與矩陣的特征值與特征向量緊密聯(lián)系。這里需要把握一些處理含參數(shù)矩陣的方法以便運(yùn)算中節(jié)約時間。正定二次型有很優(yōu)秀的性質(zhì)，但究竟這是一類特別矩陣，推斷一個矩陣是否屬于這個特別類，可以使用正定矩陣的幾個充要條件，例如二次型矩陣的特征值是否全大于0，挨次主子式是否均大于0等，但前者更常用一些。

歷年考研數(shù)學(xué)真題解析線性代數(shù)命題特點(diǎn)解析

考研數(shù)學(xué)是討論生招生入學(xué)考試中通過筆試的形式對考生數(shù)學(xué)功底的考查，從近幾年的考研數(shù)學(xué)歷年真題分析結(jié)果來看，可以得出一個結(jié)論：線性代數(shù)的難度在高數(shù)和概率統(tǒng)計之間，且大多數(shù)的同學(xué)認(rèn)為線性代數(shù)試題難度不大，就是計算量略微偏大點(diǎn)，線代代數(shù)的考查是對基本方法的考查，但是往往在做題過程中需要利用一些性質(zhì)進(jìn)行幫助解決。

線性代數(shù)的學(xué)科特點(diǎn)是學(xué)問點(diǎn)之間的綜合性比較強(qiáng)，這也是它本身的一個難點(diǎn)。這就需要同學(xué)們在復(fù)習(xí)過程中，留意對于學(xué)問點(diǎn)間的關(guān)聯(lián)性進(jìn)行對比著學(xué)習(xí)，有助于鞏固學(xué)問點(diǎn)且不易混淆。

總體來說，線性代數(shù)主要包括六部分的內(nèi)容，行列式、矩陣、向量、線性方程組、特征值與特征向量、二次型。

一、行列式部分，嫻熟把握行列式的計算。

行列式實質(zhì)上是一個數(shù)或含有字母的式子，如何把這個數(shù)算出來，一般狀況下很少用行列式的定義進(jìn)行求解，而往往采納行列式的性質(zhì)將其化成上或下三角行列式進(jìn)行計算，或是采納降階法(按行或按列綻開定理)，甚至有時兩種方法同時用。此外范德蒙行列式也是需要把握的。行列式的考查方式分為低階的數(shù)字型矩陣和高階抽象行列式的計算、含參數(shù)的行列式的計算等等。同學(xué)們只要把握了基本方法即可。

二、矩陣部分，重視矩陣運(yùn)算，把握矩陣秩的應(yīng)用。

通過考研數(shù)學(xué)歷年真題分類統(tǒng)計與考點(diǎn)分布，矩陣部分的考點(diǎn)集中在逆矩陣、伴隨矩陣、矩陣的秩及矩陣方程的考查。此外，含隨矩陣的矩陣方程，矩陣與行列式的關(guān)系、逆矩陣的求法也是考生需要把握的學(xué)問點(diǎn)。涉及秩的應(yīng)用，包含秩與矩陣可逆的關(guān)系，矩陣及其伴隨矩陣秩之間的關(guān)系，矩陣的秩與向量組的秩之間的關(guān)系，矩陣等價與向量組等價的區(qū)分與聯(lián)系，系數(shù)矩陣的秩與方程組的解之間關(guān)系的分析。

三、向量部分，理解相關(guān)無關(guān)概念，敏捷進(jìn)行判定。

向量組的線性相關(guān)問題是向量部分的.重中之重，也是考研線性代數(shù)每年必出的考點(diǎn)。要求考生把握線性相關(guān)、線性表出、線性無關(guān)的定義。以及如何推斷向量組線性相關(guān)及線性無關(guān)的方法。向量組的秩和極大無關(guān)組以及向量組等價這些重要的學(xué)問點(diǎn)要求同學(xué)們肯定肯定把握到位。

這是線性代數(shù)前三個內(nèi)容的命題特點(diǎn)，而行列式的矩陣是整個線性代數(shù)的基礎(chǔ)，對于行列式的計算及矩陣的運(yùn)算與一些重要的性質(zhì)與結(jié)論請考生伴侶們肯定要務(wù)必把握，否則的話，對于后面四部分的學(xué)習(xí)會越學(xué)越難，盼望同學(xué)們在復(fù)習(xí)過程中肯定留意前面內(nèi)容的復(fù)習(xí)，為后面的考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)打好基礎(chǔ)。

前面我們已經(jīng)分析過，考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)這門學(xué)科整體的特點(diǎn)是學(xué)問點(diǎn)之間的綜合性比較強(qiáng)，有些概念較為抽象，這也是大部分考生認(rèn)為考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)不好學(xué)，根本找不到復(fù)習(xí)的頭緒，做題時也是一頭霧水，不知道怎么分析考慮。

這里，老師要求大家在學(xué)習(xí)過程中肯定要留意學(xué)問間之間的關(guān)聯(lián)性，理解概率的實質(zhì)。如：矩陣的秩與向量組的秩之間的關(guān)聯(lián)，矩陣等價與向量組等價的區(qū)分，矩陣等價、相像、合同三者之間的區(qū)分與聯(lián)系、矩陣相像對角化與實對稱矩陣正交變換對角化二者之間的區(qū)分與聯(lián)系等等。若是同學(xué)們對于上面的問題根本分不清晰，則說明大家對于基本概念、基本方法還沒有完全理解透徹。不過，大家也不要太著急，盼望同學(xué)們在后期的復(fù)習(xí)過程中對于基本概念、基本方法要多加理解和體會，學(xué)習(xí)肯定要有心得。

下面我們分析一下后面三部分的內(nèi)容，線性方程組、特征值與特征