數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)18.2.2 第1課時(shí) 菱形的性質(zhì)

平行四邊形菱形特殊的平行四邊形平行四邊形平行四邊形的性質(zhì)平行四邊形的判定性質(zhì)判定矩形正方形新知一覽第十八章平行四邊形18.2.2菱形第1課時(shí)菱形的性質(zhì)情景導(dǎo)入平行四邊形矩形前面我們學(xué)習(xí)了平行四邊形和矩形，知道了矩形是由平行四邊形角的變化得到，如果平行四邊形有一個(gè)角是直角時(shí)，就變成矩形.有一個(gè)角是直角那么當(dāng)平行四邊形邊發(fā)生變化時(shí)，會(huì)得到什么特殊平行四邊形呢？知識(shí)點(diǎn)1：菱形的性質(zhì)探究新知思考如果從邊的角度，將平行四邊形特殊化，內(nèi)角大小保持不變僅改變邊的長(zhǎng)度讓它有一組鄰邊相等，這個(gè)特殊的平行四邊形叫什么呢?

平行四邊形菱形鄰邊相等菱形的定義有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.菱形是特殊的平行四邊形.平行四邊形不一定是菱形.同學(xué)們，能給這個(gè)圖形下個(gè)定義嗎？菱形也是常見(jiàn)的圖形，能否舉出生活中菱形形象的例子？?jī)山M對(duì)邊分別平行一組鄰邊相等四邊形平行四邊形菱形歸納總結(jié)韋恩圖：思考因?yàn)榱庑问瞧叫兴倪呅?，所以它具有平行四邊形的所有性質(zhì)，由于它有一組鄰邊相等，它是否具有一般平行四邊形不具有的一些特殊性質(zhì)呢？思考：從哪些方面考慮它的特殊性質(zhì)呢？(1)分小組討論；(2)然后發(fā)表看法.ABCDO邊特殊化ABCOD活動(dòng)：準(zhǔn)備素材：直尺、量角器、課本等.(1)請(qǐng)同學(xué)們以小組為單位，測(cè)量書(shū)本中菱形的四條邊的長(zhǎng)度、四個(gè)角的度數(shù)和對(duì)角線的長(zhǎng)度及夾角度數(shù)，并記錄測(cè)量結(jié)果.ABADACBD∠BAD∠ADC∠AOD∠AOB橡皮擦課本桌子物體測(cè)量(2)根據(jù)測(cè)量的結(jié)果,你有什么猜想？你能證明嗎？猜想1菱形的四條邊都相等.

猜想2菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.

ABCOD證一證求證：(1)AB=BC=CD=AD；

證明：(1)∵

四邊形

ABCD

是平行四邊形，∴

AB=CD，AD

=BC

(平行四邊形的對(duì)邊相等).又∵

AB

=

AD，

∴

AB

=

BC

=

CD

=

AD.ABCOD已知：如圖，在平行四邊形

ABCD中，AB=AD，對(duì)角線

AC與

BD相交于點(diǎn)

O.

求證：(2)

AC⊥BD，∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.

已知：如圖，在平行四邊形

ABCD中，AB=AD，對(duì)角線

AC與

BD相交于點(diǎn)

O.

ABCOD分析：平行四邊形

ABCD

OA=OC，OB=OD

AB=AD

△ABD是等腰三角形

AO⊥BD，AO平分∠BAD∠DAC=∠BAC同理可證∠DCA=∠BCA，

∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD(2)∵AB=AD，

∴△ABD是等腰三角形.

又∵四邊形

ABCD是平行四邊形，

∴

OB=OD（平行四邊形的對(duì)角線互相平分）.

在等腰三角形

ABD中，OB=OD，

∴AO⊥BD，AO平分∠BAD，即

AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.

同理可證∠DCA=∠BCA，

∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.ABCOD菱形的性質(zhì)對(duì)邊平行相等；對(duì)角相等；對(duì)角線相互平分邊：對(duì)角線：菱形的四條邊都相等菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角幾何語(yǔ)言描述：∵四邊形

ABCD是菱形，∴AB

=

BC

=

CD

=

AD，AC⊥BD，∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，

∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.ABCOD如何利用折紙、剪切的方法，既快又準(zhǔn)地剪出一個(gè)菱形的紙片？觀看下面的視頻：點(diǎn)擊視頻開(kāi)始播放→思考請(qǐng)同學(xué)們拿出剪好的菱形紙片，折一折，觀察并思考.

菱形是不是軸對(duì)稱圖形?如果是，那么對(duì)稱軸有幾條?菱形的性質(zhì)：對(duì)稱性：

圖形，對(duì)稱軸：

條，是________所在的直線.軸對(duì)稱2ABCD還能得出菱形的什么結(jié)論？對(duì)角線菱形被分割為四個(gè)全等的直角三角形典例精析例1如圖，在菱形

ABCD中，對(duì)角線

AC、BD相交于點(diǎn)

O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周長(zhǎng)．解：∵四邊形

ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝AC，BO＝BD.∵AC＝6cm，BD＝12cm，∴AO＝3cm，BO＝6cm.在Rt△ABO中，由勾股定理得∴菱形的周長(zhǎng)為4AB＝4×＝(cm)．練一練1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形

ABCD

的兩點(diǎn)

A，B

的坐標(biāo)分別是(3，0)，(0，2)，則菱形

ABCD

的周長(zhǎng)是()A.B.C.D.D知識(shí)點(diǎn)2：菱形的面積問(wèn)題1

菱形是特殊的平行四邊形，那么能否利用平行四邊形的面積公式計(jì)算菱形

ABCD的面積呢?ABCD思考

前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了菱形的對(duì)角線互相垂直，那么能否利用對(duì)角線來(lái)計(jì)算菱形

ABCD的面積呢?能.過(guò)點(diǎn)

A作

AE⊥BC于點(diǎn)

E，則

S菱形ABCD=底×高=BC·AE.E問(wèn)題2

如圖，四邊形

ABCD是菱形，對(duì)角線

AC，BD交于點(diǎn)

O，試用對(duì)角線表示出菱形

ABCD的面積.ABCDO解：∵四邊形

ABCD是菱形，∴AC⊥BD.∴S菱形ABCD=S△ABC

+S△ADC=AC·BO+AC·DO=AC·(BO+DO)=AC·BD.你有什么發(fā)現(xiàn)？菱形的面積=

底×高=

對(duì)角線乘積的一半歸納總結(jié)菱形的面積計(jì)算有如下方法：(1)

一邊長(zhǎng)與兩對(duì)邊的距離(即菱形的高)的積；(2)

四個(gè)小直角三角形的面積之和(或一個(gè)小直角三角形面積的

4

倍)；(3)

兩條對(duì)角線長(zhǎng)度乘積的一半．例2如圖，菱形花壇

ABCD的邊長(zhǎng)為20m，∠ABC＝60°，沿著菱形的對(duì)角線修建了兩條小路

AC和

BD，求兩條小路的長(zhǎng)和花壇的面積(結(jié)果分別精確到0.01m和0.1m2).A

B

C

D

O

典例精析分析：

花壇

ABCD是菱形，求面積求

AC，BD的長(zhǎng)

AB=20，∠ABO＝30°，AC⊥BD

OA

=10，

AC=20，Rt△

AOB練一練2.如圖，已知菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為

6

cm

和

8

cm，則這個(gè)菱形的高

DE

為(

)

A.2.4

cmB.4.8

cm

C.5

cm

D.9.6

cmB當(dāng)堂小結(jié)菱形的性質(zhì)菱形的性質(zhì)有關(guān)計(jì)算邊1.周長(zhǎng)=邊長(zhǎng)的四倍2.面積=__________________角對(duì)角線1.兩組對(duì)邊平行且相等；2.四條邊______兩組對(duì)角分別_____，鄰角互補(bǔ)1.兩條對(duì)角線互相_________；2.每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角相等相等垂直平分兩條對(duì)角線乘積的一半當(dāng)堂練習(xí)1.根據(jù)下圖填一填：（1）已知菱形ABCD的周長(zhǎng)是12cm，

那么它的邊長(zhǎng)是____cm.（2）在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，

則∠BAC＝_____°.（3）菱形ABCD的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為6cm和8cm，則菱形的邊長(zhǎng)是______cm.330ABCOD5(4)菱形的一個(gè)內(nèi)角為120°，平分這個(gè)內(nèi)角的對(duì)角

線長(zhǎng)為11cm，菱形的周長(zhǎng)為_(kāi)_____cm.44(5)菱形的面積為64cm2，兩條對(duì)角線的比為1∶2，

那么菱形最短的那條對(duì)角線長(zhǎng)為_(kāi)____cm.8ABCOD2.如圖，四邊形ABCD是菱形，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，DF交AC于E．求證：∠AFD=∠CBE．