大慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)初等數(shù)論試題1答案

千里之行，始于足下讓知識(shí)帶有溫度。第第2頁(yè)/共2頁(yè)精品文檔推薦大慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)初等數(shù)論試題1答案大慶師范學(xué)院2022級(jí)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)

《初等數(shù)論》期末試卷參考答案及評(píng)分細(xì)則

一、填空題（每小題2分，共20分）

1．已知正整數(shù)a和b，滿足40=ab，且[]20,=ba，則()ba,＝__2_____．2．同余式()5mod12≡x的解是__()5mod3≡x___________．

3．使270×m為立方數(shù)的最小的正整數(shù)m的值是__100_____．4．360的正約數(shù)有_24___個(gè)．5．設(shè)()1,,0=a）的約數(shù)個(gè)數(shù)為∏=+k

ii1

)1(α．

10．假如p是素?cái)?shù),a是隨意一個(gè)整數(shù),則a被p整除或者與p互質(zhì)．

二、推斷題（每小題2分，共10分）

1．當(dāng)34+=mp時(shí)，???

?

??-p1=-1．（√）2．集合{}32,27,22,17,12,7是模6的一個(gè)徹低剩余系．（√）3．???872735975()，要使這個(gè)乘積的最后四個(gè)數(shù)都是零，括號(hào)內(nèi)最小應(yīng)填自然數(shù)10．（√）4．()3mod01263152

3

4

5

≡-+-++xxxxx成立．（×）

5．分?jǐn)?shù)

20

1

可以化成混循環(huán)小數(shù)．（×）

三、單項(xiàng)挑選題:（每小題2分，共14分）

1．nm,為整數(shù)，下列式子中一定不成立的是（D）．

A．2313+=-nm；

B．1501=+nm；

C．052=+nm；

D．2717-=+nm．

2．下列命題不一定成立的是（C）．

A．若()()mdcmbamod,mod≡≡，則)(modmdbca-≡-；

B．若()2,mod≥≡nmba,則()mban

n

mod≡；

C．若()mbdacmod≡,則有()mbamod≡；

D．若()mkbkakmod≡，則()mbamod≡．

3．對(duì)于[]x與{}x的性質(zhì)，以下正確的表述有（C）個(gè)．

（1）[]x≤x<[]x＋1；（2）x－1<[]x≤x；

題號(hào)一二三四五總分核分人得分

得分

閱卷人

得分

閱卷人

得分

閱卷人

（3）0≤{}x<1；

（4）[]xn+=n+[]x，n為整數(shù)．

A．1；

B．2；

C．3；

D．4．

4．下列分?jǐn)?shù)能化成純循環(huán)小數(shù)的是（C）．

A．

12022；B．641；C．331；D．308

1

．5．nm,為整數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（A）．

A．255nmmn+++是整數(shù)；

B．2

n

m+是整數(shù)；

C．2)1)(1(++nm是整數(shù)；

D．2)1(mnn++是整數(shù)．

6．同余式組?

??≡≡)36(mod5)

13(mod7xx對(duì)模13×36的解的個(gè)數(shù)是（A）．

A．1；

B．2；

C．0；

D．4．7．假如(A),則不定方程cbyax=+有解.

A．()cba,；

B．()bac,；

C．ca；

D．()aba,.

四、計(jì)算題（共38分）

1．求1347

54

除以17的余數(shù)．（6分）

解：∵()17,54=1，()1617=?，∴1654≡1（mod17）．2分∴134754=()

1027354543384

16

≡≡≡?（mod17）

．2分∴134754除以17的余數(shù)為10．2分

2．求30！的標(biāo)準(zhǔn)分解式．（6分）

解：不超過(guò)30的質(zhì)數(shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29．2分

∵2（30!）=[

230]+[2230]+[3230]+[4230]=26，3(30!)=[330]+[2330]+[33

30

]=14，5(30!)=[530]+[25

30]=7，7(30!)=[1130]=4，11(30!)=[1130

]=2，13(30!)=[1330]=2，

17(30!)=[1730]=1，19(30!)=[1930]=1，23(30!)=[23

30

]=1，29(30!)=[2930]=2分

∴2923191713117532

!2522471426

?????????=．2分

3．解同余方程組()

()()x2mod12x6mod10x1mod15≡??

≡??≡?

－．（8分）

解：∵12，10，15不兩兩互質(zhì)，∴不能直接用孫子定理求解．

它

等

價(jià)

于

()()()()()()???

????≡≡≡≡-≡-≡3mod15mod15mod62mod63mod22mod22xxxxxx，又等價(jià)于

()()()

?????≡≡≡5mod13mod14mod2xxx，

2分

∵4，3，5兩兩互質(zhì)，∴可用孫子定理求解．2分

m=4×3×5=60，1M=3×5=15，2M=4×5=20，3M=4×3=12；

由15/

1M?1(mod4)，得/

1M=3；由20/

2M?1(mod3)，得/

2M=2；

由12/3M?1(mod5)，得/

3M=3．2分∴x?15×2×3＋20×2×1＋12×3×1?166?46(mod60)．2分4．求全部的素?cái)?shù)p，使得下面的方程有解：()pxmod112

≡．（8分）

解：由111

)

1(111

)()(2

1

=-=-ppp推出，2分

得???????-=-=-???????==111

1)

1(1111)1()()(2121pppp或，

2分即?

??≡-≡???≡≡)11(mod9,5,4,3,1)

4(mod1)11(mod9,5,4,3,1)4(mod1pppp或，2分

解之得p??1，?5，?7，?9，?19(mod44)．2

分

5．設(shè)a是正整數(shù)，100+a能被24整除，求a的值．（10分）解：依題意有()24mod0233

≡+a，化簡(jiǎn)得：()24mod13

≡a，(1)

設(shè)()13

-=aaf，()2/

3aaf

=，

(1)式等價(jià)于()()()()

???≡≡38mod123mod133LLLLaa，解（2）得()3mod1≡a．2分

解（3），先解()2mod13

≡a得()2mod1≡a，且()1/

f模2不同余0，

將121ta+=代入到()()4mod0≡af中，得()()()4mod0121/

1≡+ftf，

化簡(jiǎn)得()4mod0321≡?t，則()2mod01≡t，代入得241ta+=，且()1/

f模4不同余0，

將241ta+=代入到()()8mod0≡af中，得()()()8mod0141/

2≡?+ftf，

化簡(jiǎn)得()8mod0342≡?t，則()2mod02≡t，代入得381ta+=，

所以()8mod1≡a為（3）的解．3分

下面解()()

??

?≡≡8mod13mod1aa，利用孫子定理得()24mod1≡a，3分

又由于+∈<<Naa,1000,所以97,73,49,24,1=a．2分

五、證實(shí)題（每小題9分，共18分）

1．設(shè)nm,為正整數(shù)，且()nm,=1，證實(shí)：．

證實(shí)：∵()nm,=1，∴()()nmnmod1≡?，()()mnmmod1≡?，3分∵()()mmnmod0≡?，()()nnmmod0≡?，

∴()()()mnmmnmod1≡+??，()()()nnmmnmod1≡+??，3分

又∵()nm,=1，∴()

()()mnnm

mnmod1≡+??．3分

2．設(shè)ts,為正整數(shù)，且ts≥，證實(shí)：整數(shù)集合{

}

10,10,-≤≤-≤≤+=--ttst

spvpuvpuxx為模s

p的一個(gè)徹低剩余系．

證實(shí)：由vu,的取值可得sttsppp=-個(gè)數(shù)，3分若)(mod2211ststspvpuvpu--+≡+，)(mod2211tststspvpuvpu+≡+，