2021-2022學(xué)年云南省昆明市第十八中學(xué)高一數(shù)學(xué)理月考試卷含解析

2021-2022學(xué)年云南省昆明市第十八中學(xué)高一數(shù)學(xué)理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.=（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化及其化簡運算．【分析】根據(jù)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化即可．【解答】解：=，故選：D2.已知函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：B略3.已知，則的值為A.

B.

C.

D.參考答案：B4.設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a2=﹣6，a8=6，Sn是數(shù)列{an}的前n項和，則（）A．S4＜S5 B．S4=S5 C．S6＜S5 D．S6=S5參考答案：B【考點】8F：等差數(shù)列的性質(zhì)．【分析】先由通項公式求a1，d，再用前n項和公式驗證．【解答】解：∵a2=﹣6，a8=6∴a1+d=﹣6，a1+7d=6得a1=﹣8，d=2∴S4=S5故選B5.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，若且它們的前n項和Sn有最大值，則使得的n的最大值為（）A.11 B.19 C.20 D.21參考答案：B試題分析：根據(jù)，由它們的前n項和Sn有最大可得數(shù)列的d＜0，∴a10＞0，a11+a10＜0，a11＜0，∴a1+a19=2a10＞0，a1+a20=a11+a10＜0，使得Sn＞0的n的最大值n=19，故選B考點：本題主要考查了考查了等差數(shù)列的性質(zhì)在求解和的最值中應(yīng)用.點評：解題的關(guān)鍵是由已知及它們的前n項和Sn有最大,a10＞0，a11+a10＜0，a11＜0，靈活利用和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)得到a1+a19=2a10＞0，a1+a20=a11+a10＜0是解決本題的另外關(guān)鍵點.6.函數(shù)的最小正周期是A．

B．

C．

D．參考答案：B略7.已知角的頂點與原點重合，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊在直線上，則的值為（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】由三角函數(shù)的定義，求得，再利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式，化簡運算，即可求解.【詳解】由于直線經(jīng)過第一、三象限，所以角的終邊在第一、三象限，若角的終邊在第一象限時，在角的終邊上一點，由三角函數(shù)的定義可得，若角的終邊在第三象限時，在角的終邊上一點，可得，又由三角函數(shù)基本關(guān)系式可得原式=，故選A.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的定義，以及利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡求值，其中解答中熟記三角函數(shù)的定義求得，再利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.8.對于函數(shù)定義域中任意有如下結(jié)論：①;②;③；④<.上述結(jié)論中正確結(jié)論的序號是

(

)A.②

B.②③

C.②③④

D.①②③④參考答案：B9.設(shè)f（x）=，則f[f（﹣3）]=(

)A．1 B．2 C．4 D．8參考答案：B【考點】函數(shù)的值．【專題】計算題；函數(shù)思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】利用函數(shù)的解析式，求解函數(shù)值即可．【解答】解：f（x）=，f[f（﹣3）]=f[4]=log24=2．故選：B．【點評】本題考查函數(shù)值的求法，考查計算能力．10.函數(shù)的最小值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B

解析：令，則，對稱軸，

是函數(shù)的遞增區(qū)間，當(dāng)時；二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.計算可得

▲

.參考答案：19略12.已知正三角形ABC的邊長是2，點P為AB邊上的高所在直線上的任意一點，Q為射線AP上一點，且.則的取值范圍是____參考答案：【分析】以AB所在的直線為x軸，以AB的中點為坐標(biāo)原點，AB的垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求出A.C,P,Q的坐標(biāo)，運用平面向量的坐標(biāo)表示和性質(zhì)，求出的表達式，利用判別式法求出的取值范圍.【詳解】以AB所在的直線為x軸，以AB的中點為坐標(biāo)原點，AB的垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如下圖所示：，設(shè)，，設(shè)，可得，由，可得即，，令，可得，當(dāng)時，成立，當(dāng)時，，即，，即，所以的取值范圍是.【點睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的性質(zhì)和運算，考查了平面向量模的取值范圍，構(gòu)造函數(shù)，利用判別式法求函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵.13.（5分）已知一個球與一個正三棱柱的三個側(cè)面和兩個底面都相切，這個球的表面積是4π，則這個三棱柱的體積是

．參考答案：考點： 棱柱、棱錐、棱臺的體積．專題： 空間位置關(guān)系與距離．分析： 如圖所示，設(shè)球心為O，上下底面的中心分別為O1，O2，球O與三個側(cè)面相切的切點分別A，B，C．設(shè)球的半徑為R，由球的表面積是4π，可得4πR2=4π，R=1．可得O1O2=2，為三棱柱的高．在等邊三角形中，由OA=OB=OC=1，可得AB，可得三棱柱的底面邊長=2AB．利用等邊三角形的面積計算公式可得三棱柱的底面面積S，即可得出三棱柱的體積．解答： 如圖所示，設(shè)球心為O，上下底面的中心分別為O1，O2，球O與三個側(cè)面相切的切點分別A，B，C．設(shè)球的半徑為R，∵球的表面積是4π，∴4πR2=4π，解得R=1．∴O1O2=2，為三棱柱的高．在等邊三角形中，由OA=OB=OC=1，可得AB==，可得三棱柱的底面邊長=．∴三棱柱的底面面積S==3．∴這個三棱柱的體積=S?O1O2=6．故答案為：6．點評： 本題考查了正三棱柱及其內(nèi)切球的性質(zhì)、體積計算公式、等邊三角形的性質(zhì)，考查了空間想象能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題．14.設(shè)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f（x）=2x+3log2（x+1）+m（m為常數(shù)），則m=，f（﹣1）=．參考答案：0,﹣5.【考點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f（x）=2x+3log2（x+1）+m（m為常數(shù)），利用f（0）=m=0．可得m，可得f（1），利用f（﹣1）=﹣f（1）即可得出．【解答】解：∵f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f（x）=2x+3log2（x+1）+m（m為常數(shù)），∴f（0）=m=0．∴當(dāng)x≥0時，f（x）=2x+3log2（x+1），∴f（1）=2+3=5．∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣5．故答案分別為：0，﹣5．【點評】本題考查了函數(shù)奇偶性求值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．15.若則

。參考答案：

解析：

16.半徑為2的半圓卷成一個圓錐，則它的體積為________________.參考答案：17.已知函數(shù)（）的一段圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式為

．

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.本小題滿分12分）隨機抽取某中學(xué)甲乙兩班各10名同學(xué),測量他們的身高(單位:cm),獲得身高數(shù)據(jù)的莖葉圖.（Ⅰ）根據(jù)莖葉圖判斷哪個班的平均身高較高;（Ⅱ）計算甲班的樣本方差參考答案：(1)乙

（2）57.2

略19.已知函數(shù)f（x）=|x﹣a|，g（x）=ax，（a∈R）．（1）若a=1，求方程f（x）=g（x）的解；（2）若方程f（x）=g（x）有兩解，求出實數(shù)a的取值范圍；（3）若a＞0，記F（x）=g（x）f（x），試求函數(shù)y=F（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值．參考答案：【考點】函數(shù)的最值及其幾何意義；分段函數(shù)的應(yīng)用．【分析】（1）代值計算即可．（2）分三種情況加以討論：當(dāng)a＞0時，將方程f（x）=g（x）兩邊平方，得方程（x﹣a）2﹣a2x2=0在（0，+∞）上有兩解，構(gòu)造新函數(shù)h（x）=（a2﹣1）x2+2ax﹣a2，通過討論h（x）圖象的對稱軸方程和頂點坐標(biāo)，可得0＜a＜﹣1；當(dāng)a＜0時，用同樣的方法得到﹣1＜a＜0；而當(dāng)a=0時代入函數(shù)表達式，顯然不合題意，舍去．最后綜合實數(shù)a的取值范圍；（3）F（x）=f（x）?g（x）=ax|x﹣a|，根據(jù)實數(shù)a與區(qū)間[1，2]的位置關(guān)系，分4種情況加以討論：①當(dāng)0＜a≤1時，③當(dāng)2＜a≤4時，④當(dāng)a＞4時，最后綜上所述，可得函數(shù)y=F（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值的結(jié)論．【解答】解：（1）當(dāng)a=1時，|x﹣1|=x，即x﹣1=x或x﹣1=﹣x，解得x=；（2）當(dāng)a＞0時，|x﹣a|﹣ax=0有兩解，等價于方程（x﹣a）2﹣a2x2=0在（0，+∞）上有兩解，即（a2﹣1）x2+2ax﹣a2=0在（0，+∞）上有兩解，令h（x）=（a2﹣1）x2+2ax﹣a2，因為h（0）=﹣a2＜0，所以，故0＜a＜1；同理，當(dāng)a＜0時，得到﹣1＜a＜0；當(dāng)a=0時，f（x）=|x|=0=g（x），顯然不合題意，舍去．綜上可知實數(shù)a的取值范圍是（﹣1，0）∪（0，1）．（3）令F（x）=f（x）?g（x）①當(dāng)0＜a≤1時，則F（x）=a（x2﹣ax），對稱軸x=，函數(shù)在[1，2]上是增函數(shù)，所以此時函數(shù)y=F（x）的最大值為4a﹣2a2．②當(dāng)1＜a≤2時，F(xiàn)（x）=，對稱軸x=，所以函數(shù)y=F（x）在（1，a]上是減函數(shù)，在[a，2]上是增函數(shù)，F(xiàn)（1）=a2﹣a，F(xiàn)（2）=4a﹣2a2，1）若F（1）＜F（2），即1＜a＜，此時函數(shù)y=F（x）的最大值為4a﹣2a2；2）若F（1）≥F（2），即，此時函數(shù)y=F（x）的最大值為a2﹣a．③當(dāng)2＜a≤4時，F(xiàn)（x）=﹣a（x2﹣ax）對稱軸x=，此時F（x）max=F（）=，④當(dāng)a＞4時，對稱軸x=，此時F（x）max=F（2）=2a2﹣4a．綜上可知，函數(shù)y=F（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值．20.(本題滿分14分)某中學(xué)團委組織了“弘揚奧運精神，愛我中華”的知識競賽，從參加考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，將其成績(均為整數(shù))分成六段后畫出如下部分頻率分布直方圖．觀察圖形給出的信息，回答下列問題：(1)求第四小組的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；(2)估計這次考試的及格率(60分及以上為及格)和平均分；(3)從成績是的學(xué)生中選兩人，求他們在同一分?jǐn)?shù)段的概率．參考答案：(1)因為各組的頻率和等于1，故第四組的頻率：f4＝1－(0.025＋0.015×2＋0.01＋0.005)×10＝0.03.

……………2分其頻率分布直方圖如圖所示．……………4分(2)依題意，60分及以上的分?jǐn)?shù)所在的第三、四、五、六組，頻率和為(0.015＋0.030＋0.025＋0.005)×10＝0.75.所以，估計這次考試的合格率是75%.……………7分利用組中值估算這次考試的平均分，可得：45·f1＋55·f2＋65·f3＋75·f4＋85·f5＋95·f6＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.所以估計這次考試的平均分是71分．……………10分(3)的人數(shù)分別是6和3，所以從成績是的學(xué)生中選兩人，將分?jǐn)?shù)段的6人編號為A1，A2，…A6，將分?jǐn)?shù)段的3人編號為B1，B2，B3，從中任取兩人，則基本事件構(gòu)成集合Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)…(A1，A6)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，A4)，…，(B2，B3)}共有36個，其中，在同一分?jǐn)?shù)段內(nèi)的事件所含基本事件為(A1，A2)，(A1，A3)…(A1，A6)，(A2，A3)…(A5，A6)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)共18個，故概率P＝.

……………14分

21.（本小題滿分13分，第（1）小問8分，第（2）小問5分）已知點為坐標(biāo)原點，向量==,=．（1）若點共線，求實數(shù)的值；（2）若為直角三角形，且為直角，求實數(shù)的值．參考答案：解：（1）由已知，得=-=，

………2分

=.

………4分共線，

………6分

………8分（2）由題意知：

，

………9分

………11分

………13分略22.（