向量組的等價(jià)及向量組的秩

向量組的等價(jià)及向量組的秩一基本概念1設(shè)T是由若干個(gè)n維向量構(gòu)成的集合，向量a,a，…,aeT，若有12ra,a，…,a線性無關(guān)；12rT中任一向量都可由a,a，…,a線性表示。12r那么，則稱a,a，…,a是T的一個(gè)極大無關(guān)組。稱r為T的秩數(shù)，若T無極大無關(guān)組，即1 2rT不含非零向量時(shí)，稱T的秩數(shù)為0。T的秩數(shù)記為R(T)。2設(shè)有n維向量組I：a,a，…,a與n維向量組II：P,P，…,P。如果I中任一向12s12t量都可由II中向量線性表示，反之II中任一向量都可由I中向量線性表示，那么則稱向量組I與II等價(jià)。3矩陣A的行向量組的秩數(shù)稱為A的行秩數(shù)；A的列向量組的秩數(shù)稱為A的列秩數(shù)。A的行秩數(shù)記為行秩A；A的列秩數(shù)記為列秩A。二主要結(jié)論1簡化行階梯形矩陣的性質(zhì)主列構(gòu)成的向量組線性無關(guān)；每一非主列均可由前面的主列線性表示；從而若有非主列，則其列向量組必線性相關(guān)。主列構(gòu)成的向量組即為列向量組的一個(gè)極大無關(guān)組；從而列秩數(shù)等于主列的個(gè)數(shù)。2對矩陣A進(jìn)行行的初等變換不改變A的列向量組的線性關(guān)系。3個(gè)數(shù)大于維數(shù)的向量組必線性相關(guān)；特別有，n+1個(gè)n維向量必線性相關(guān)。4設(shè)向量組a,a，…,a中任一向量都可由向量P,P，…,P線性表示。那么，如果TOC\o"1-5"\h\z12 s 12ts>t，則向量組a,a，…,a必線性相關(guān)。12 s等價(jià)陳述即其逆否命題為：設(shè)向量組a,a，…,a中任一向量都可由向量P,P，…,P1 2s 1 2t線性表示。那么，如果向量組a,a，…,a線性無關(guān)，則必有s<t。1 2s推論1：向量組T的極大無關(guān)組中所含向量個(gè)數(shù)被T所唯一確定。即T的任意兩個(gè)極大無關(guān)組中所含向量個(gè)數(shù)相等。推論2：設(shè)向量組(I)中任一向量都可由(II)中向量線性表示，則R(I)<R(II)。推論3：等價(jià)的向量組的秩數(shù)相等。5對任意矩陣A均有，行秩A=列秩A=R(A)。

6設(shè)A為n階方陣，則下述條件等價(jià)A為可逆矩陣：|A豐0；R(A)二n:(5)行秩A=列秩A=n(6)A的列向量組線性無關(guān)；(7)A的行向量組線性無關(guān)；例題計(jì)算題的秩，一個(gè)極大無關(guān)組以及把其余向量表成極的秩，一個(gè)極大無關(guān)組以及把其余向量表成極大無關(guān)組的線性組合。已知向量組a=r1「2,a=r3'0,a=r9]6與01=r0、1,02=ra]2,03=rb]1有123123<-3丿<1丿<-7丿<-1><1丿<0丿相同的秩，且0可由a,a,a線性表示，求a,b的值。3 1 2 3二單項(xiàng)選擇題1設(shè)n維向量組(I)：a,a,a與向量組(II)：aaaa的秩均為3,向量組(III)：123 1234aaaa 的秩為4,則向量組a,a,a,a-a的秩為1235 1 2 3 5 4(A)2， (B)3， (C)4， (D)5。2設(shè)a,a，…,a與0,0，…,0是兩個(gè)n維向量組，且秩(a,a，…,a)=秩12s12t12s(0,0，…,0)=r，則12t(A)兩個(gè)向量組等價(jià)；(B)秩(a,a，…,a,0,0，…，0)二r；12s12t(C)當(dāng)a,a，…,a可由0,0，…,0線性表示時(shí)，0,0，…,0也可由12s12t12ta,a，…,a線性表示；12s(D)當(dāng)s=t時(shí)，兩個(gè)向量組等價(jià)。三證明題1設(shè)T是一個(gè)向量組，a,a，…,aeT,且a,a，…,a線性無關(guān)，證明下述兩條件等12r12r價(jià)：T中任一向量都可由a,a，…,a線性表示；12rT中任何r+1向量都線性相關(guān)。設(shè)向量組T的秩為r，a,a，…,aeT，證明若a,a，…,a線性無關(guān)，則TOC\o"1-5"\h\z1 2r 1 2ra,a，…,a為T的一個(gè)極大無關(guān)組。1 2r設(shè)向量組T的秩為r,a,a，…,aeT，證明若T中任何向量都可由a,a，…,a1 2r 1 2r線性表示，則a,a，…,a為T的一個(gè)極大無關(guān)組。1 2r設(shè)向量a二a+a+?…+a(s>1)，而B—a一a，|3二a-a，?…,|3二a-a，1 2 s 1 1 2 2 s s證明：秩(a,a，…,a)=秩(p,p，…,p)；1 2s 1 2s舉例說明兩個(gè)向量組的秩相等時(shí)這兩個(gè)向量組未必等價(jià)。但若秩相等且其中一個(gè)向量組中的任何向量都可由另一個(gè)向量組中的向量線性表示，則這兩個(gè)向量組等價(jià)。'11-1、1216設(shè)A—2 3 0，B為3x3矩陣，且AB—0，證明B的列向量組線性相關(guān)。Z/J\J<0-1-2丿作業(yè)1設(shè)向量組a,a，…,a的秩為r，其中s>1,r>0，貝TOC\o"1-5"\h\z1 2s(A)必有r<s；(B)向量組a,a，…,a中任意個(gè)數(shù)小于r的部分向量組必線性相關(guān)；1 2s(C)向量組a,a，…,a中任意r個(gè)向量必線性無關(guān)；12 s(D)向量組a,a，…,a中任意r+1個(gè)向量必線性相關(guān)。12 s2設(shè)向量組a,a，…,a中任一向量都可由向量p,p，…,p線性表示。則下列結(jié)論正1 2s 1 2t確的是(A)當(dāng)s>t時(shí)向量組a,a，…,a線性相關(guān)；1 2s

(B)當(dāng)s<t時(shí)向量組a,a，…,a線性相關(guān)；TOC\o"1-5"\h\z12 s(C)當(dāng)s>t時(shí)向量組P,P，…,P線性相關(guān)；12 t(D)當(dāng)s<t時(shí)向量組p,p，…,p線性相關(guān)。1 2 t3設(shè)A為mxn矩陣，且R(A)=m，則(A)A的行向量組與列向量組都線性無關(guān)；A的行向量組線性無關(guān)，列向量組線性相關(guān)；當(dāng)m豐n時(shí)，A的行向量組線性無關(guān)，列向量組線性相關(guān);當(dāng)m豐n時(shí)，A的行向量組與列向量組都線性無關(guān)。4求向量組的秩，一個(gè)極大無關(guān)組以及把其余向量表成極大4求向量組的秩，一個(gè)極大無關(guān)組以及把其余向量表成極大無關(guān)組的線性組合。1)p51)p5設(shè)有向量組ai二用ai,a2,H巴線性表示；(2)p為何值時(shí)該向量組線性相關(guān)？并在此時(shí)求出它的秩和一個(gè)極大無關(guān)組。6設(shè)T是一個(gè)向量組，a,a，…,aeT,若T中任何向量都可由a,a，…,a唯一線TOC\o"1-5"\h\z1 2m 1 2r性表示，證明a,a，…,a為T的一個(gè)極大無關(guān)組。12r7設(shè)n維向量組(I)：a,a，…,a，的秩為r，向量組(II)：P,P，…,P的秩為r,1 2s 1 1 2t 2向量組(III)：a,a，…,a，p,P，…,P的秩為r，證明下列結(jié)論：1 2s1 2t 3若向量組(I)可由(II)線性表示，則r=r；23若向