《概率論與數(shù)理統(tǒng)計浙江大學第四版-課后習題答案》

概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題答案第四版盛驟(浙江大學)

浙大第四版(高等教育出版社)

第一章概率論的基本概念

14-1寫出下列隨機試驗的樣本空間

(1)記錄一個小班一次數(shù)學考試的平均分數(shù)(充以百分制記分)([-ID

,n表小班人數(shù)

(3)生產(chǎn)產(chǎn)品直到得到10件正品，記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件數(shù)。([-|2)

5={10,11,12,............,n,..........}

(4)對某工廠出廠的產(chǎn)品進行檢查，合格的蓋上“正品”，不合格的蓋上“次品”，

如連續(xù)查出二個次品就停止檢查，或檢查4個產(chǎn)品就停止檢查，記錄檢查的結(jié)果。

查出合格品記為“1”，查出次品記為“0”，連續(xù)出現(xiàn)兩個“0”就停止檢查，或查滿

4次才停止檢查。([-](3))

5={00,100,0100,0101,1010,0110,1100,0111,1011,1101,1110,1111,}

2.|-|設(shè)N,B,C為三事件，用力,8,C的運算關(guān)系表示下列事件。

(1)N發(fā)生，5與C不發(fā)生。

表示為：或4一(/5+4C)或4一(8UC)

(2)A,5都發(fā)生，而C不發(fā)生。

表示為：或或

(3)A,B,C中至少有一個發(fā)生表示為：A+B+C

(4)A,B,C都發(fā)生，表示為：ABC

(5)A,B,C都不發(fā)生，表示為：或S-(4+3+0或

(6)A,B,C中不多于一個發(fā)生，即N,B,C中至少有兩個同時不發(fā)生

相當于中至少有一個發(fā)生。故表示為：。

(7)A,B,C中不多于二個發(fā)生。

相當于：中至少有一個發(fā)生。故表示為：

(8)A,B,C中至少有二個發(fā)生。

相當于：AB,BC,NC中至少有一個發(fā)生。故表示為：AB+BC+AC

6.［三］設(shè)48是兩事件且尸(N)=0.6,尸(5尸0.7.問⑴在什么條件下取到最

大值，最大值是多少？(2)在什么條件下P(45)取到最小值，最小值是多少？

解：由尸(“)=0.6,(否則45=。依互斥事件加法定理，

P(AUB)=P(A)+P(8)=0.6+0.7=1.3>1與P(ZU5)(1矛盾).

從而由加法定理得

P(AB)=P(A)+P(B)~P(AUB)(*)

(1)從0WP(/15)WP(Z)知，當/8=4即408時尸(Z8)取到最大值，最大值為

P(AB)=P(A)=0.6,

(2)從(*)式知，當ZU5=5時，P(/3)取最小值，最小值為

P(748)=0.6+0.7—1=0.3o

7.［四］設(shè)4B,C是三事件，且，.求4B,C至少有一個發(fā)生的概率。

解：尸(A,B,C至少有一個發(fā)生尸P(A+B+C)=尸(4)+尸(5)+P(O-P(AB)~P(BC)

-P(AC)+P(ABQ=

8.［五］在一標準英語字典中具有55個由二個不相同的字母新組成的單詞，若從26

個英語字母中任取兩個字母予以排列，問能排成上述單詞的概率是多少？

記N表''能排成上述單詞”

V從26個任選兩個來排列，排法有種。每種排法等可能。

字典中的二個不同字母組成的單詞：55個

?

??

9.在電話號碼薄中任取一個電話號碼，求后面四個數(shù)全不相同的概率。(設(shè)后面4

個數(shù)中的每一個數(shù)都是等可能性地取自0,1,2……9)

記N表“后四個數(shù)全不同”

???后四個數(shù)的排法有IO4種，每種排法等可能。

后四個數(shù)全不同的排法有

10.［六］在房間里有10人。分別佩代著從1號到10號的紀念章，任意選3人記錄

其紀念章的號碼。

(1)求最小的號碼為5的概率。

記“三人紀念章的最小號碼為5”為事件4

V10人中任選3人為一組：選法有種，且每種選法等可能。

又事件/相當于：有一人號碼為5,其余2人號碼大于5。這種組合的種數(shù)有

(2)求最大的號碼為5的概率。

記”三人中最大的號碼為5”為事件B,同上10人中任選3人，選法有種，且每種

選法等可能，又事件B相當于：有一人號碼為5,其余2人號碼小于5,選法有種

11.［七］某油漆公司發(fā)出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，紅漆3桶。在搬

運中所標箋脫落，交貨人隨意將這些標箋重新貼，問一個定貨4桶白漆，3桶黑漆和2

桶紅漆顧客，按所定的顏色如數(shù)得到定貨的概率是多少？

記所求事件為

在17桶中任取9桶的取法有種，且每種取法等可能。

取得4白3黑2紅的取法有

故

12.［八］在1500個產(chǎn)品中有400個次品，1100個正品，任意取200個。

(1)求恰有90個次品的概率。

記“恰有90個次品”為事件Z

V在1500個產(chǎn)品中任取200個，取法有種，每種取法等可能。

200個產(chǎn)品恰有90個次品，取法有種

*

??

(2)至少有2個次品的概率。

記：A表“至少有2個次品”

殳表“不含有次品”，與表“只含有一個次品”，同上，200個產(chǎn)品不含次品，取法

有種，200個產(chǎn)品含一個次品，取法有種

且B\互不相容。

13.［九］從5雙不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一雙的概率是多

少？

記A表“4只全中至少有兩支配成一對”

則表“4只人不配對”

V從10只中任取4只，取法有種，每種取法等可能。

要4只都不配對，可在5雙中任取4雙，再在4雙中的每一雙里任取一只。取法有

15.I+-］將三個球隨機地放入4個杯子中去，問杯子中球的最大個數(shù)分別是1,2,

3,的概率各為多少？

記4表“杯中球的最大個數(shù)為,?個”7=1,2,3,

三只球放入四只杯中，放法有43種，每種放法等可能

對4：必須三球放入三杯中，每杯只放一球。放法4X3X2種。

（選排列：好比3個球在4個位置做排列）

對42：必須三球放入兩杯，一杯裝一球，一杯裝兩球。放法有種。

（從3個球中選2個球，選法有，再將此兩個球放入一個杯中，選法有4種，

最后將剩余的1球放入其余的一個杯中，選法有3種。

對zb：必須三球都放入一杯中。放法有4種。（只需從4個杯中選1個杯子，放入此

3個球，選法有4種）

16.［十二|50個鉀釘隨機地取來用在10個部件，其中有三個釧釘強度太弱，每個部

件用3只鉀釘，若將三只強度太弱的鉀釘都裝在一個部件上，則這個部件強度就太弱，

問發(fā)生一個部件強度太弱的概率是多少？

記N表“10個部件中有一個部件強度太弱”。

法一：用古典概率作：

把隨機試驗E看作是用三個釘一組，三個釘一組去餅完10個部件(在三個釘?shù)囊唤M

中不分先后次序。但10組釘釧完10個部件要分先后次序)

對E：硼法有種，每種裝法等可能

對出三個次釘必須鉀在一個部件上。這種餅法有(〕xlO種

法二：用古典概率作

把試驗￡看作是在50個釘中任選30個釘排成一列，順次釘下去，直到把部件釧完。

(柳釘要計先后次序)

對E：鉀法有種，每種鉀法等可能

對小三支次釘必須釧在“1,2,3”位置上或“4,5,6”位置上，…或“28,29,

30”位置上。這種鉀法有種

17.［十三］已知。

解一：

注意.故有

P(AB)=P(T1)-P(/4)=0.7-0.5=0.2?

再由加法定理，

P(AU)=P(A)+PO~P(4)=0.7+0.6—0.5=0.8

于是

18.［十四］.

解：由

由乘法公式，得

由加法公式，得

19.［十五|擲兩顆骰子，已知兩顆骰子點數(shù)之和為7,求其中有一顆為1點的概率(用

兩種方法)。

解：(方法一)(在縮小的樣本空間SB中求P(A|B),即將事件B作為樣本空間，求

事件A發(fā)生的概率)。

擲兩顆骰子的試驗結(jié)果為一有序數(shù)組(x,y)(x,y=l,2,3,4,5,6)并且滿足x,+y=7,則

樣本空間為

S=｛(x,j)|(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)｝

每種結(jié)果(x,j)等可能。

A=｛擲二骰子，點數(shù)和為7時，其中有一顆為1點。故｝

方法二：(用公式

S=｛(x,y)|x=1,2J,4,5,6;y=1,2,3,4,5,6｝｝每種結(jié)果均可能

A="擲兩顆骰子，x,j，中有一個為“1"點”，B="擲兩顆骰子，x,+y=T\貝！J,

故

20.［十六］據(jù)以往資料表明，某一3口之家，患某種傳染病的概率有以下規(guī)律：

P(4)=P｛孩子得?。?0.6,P(5］7)=P｛母親得病|孩子得?。?0.5,P(C|/8)=P｛父親得病|母親

及孩子得?。?0.4。求母親及孩子得病但父親未得病的概率。

解：所求概率為P(N5)(注意：由于“母病”，“孩病”，“父病”都是隨機事件，這

里不是求尸(惘為

P(AB)=P(N)=P(5|⑷=0.6x0.5=0.3,P(|NB)=1~P(C|/5)=1—0.4=0.6.

從而P(AB)=P(AB)-尸(H8尸0.3x0.6=0.18.

21.［十七］已知10只晶體管中有2只次品，在其中取二次，每次隨機地取一只，作

不放回抽樣，求下列事件的概率。

(1)二只都是正品(記為事件A)

法一：用組合做在10只中任取兩只來組合，每一個組合看作一個基本結(jié)果，每種

取法等可能。

法二：用排列做在10只中任取兩個來排列，每一個排列看作一個基本結(jié)果，每個

排列等可能。

法三：用事件的運算和概率計算法則來作。

記4,4分別表第一、二次取得正品。

(2)二只都是次品(記為事件B)

法一：

法二：

法三:

（3）一只是正品，一只是次品（記為事件C）

法一：

法二：

法三：

（4）第二次取出的是次品（記為事件。）

法一：因為要注意第一、第二次的順序。不能用組合作，

法二：

法三：

22.［十八1某人忘記了電話號碼的最后一個數(shù)字，因而隨機的撥號，求他撥號不超

過三次而接通所需的電話的概率是多少？如果已知最后一個數(shù)字是奇數(shù)，那么此概率是

多少？

記，表撥號不超過三次而能接通。

4表第，次撥號能接通。

注意：第一次撥號不通，第二撥號就不再撥這個號碼。

如果已知最后一個數(shù)字是奇數(shù)（記為事件3）問題變?yōu)樵?已發(fā)生的條件下，求//

再發(fā)生的概率。

24.［十九］設(shè)有甲、乙二袋，甲袋中裝有"只白球，"只紅球，乙袋中裝有N只白球

M只紅球，今從甲袋中任取一球放入乙袋中，再從乙袋中任取一球，問取到(即從乙袋

中取到)白球的概率是多少？(此為第三版19題(1))

記4,4分別表“從甲袋中取得白球，紅球放入乙袋”

再記8表”再從乙袋中取得白球”。

且互斥

VB=AlB+A2B4,A2

...P(B)=P(4)尸(5|4)+尸(A2)P網(wǎng)A2)

［十九］(2)第一只盒子裝有5只紅球，4只白球；第二只盒子裝有4只紅球，5只白

球。先從第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后從第二盒子中任取一只球，求取

到白球的概率。

記G為“從第一盒子中取得2只紅球”。

C2為“從第一盒子中取得2只白球”。

C3為“從第一盒子中取得1只紅球，1只白球”，

。為“從第二盒子中取得白球”，顯然G，C2,G兩兩互斥，GUGUG=S，由全

概率公式，有

P(D)=p(G)P(D|G)+P(C2)p(D\c2)+P(G)P(D|C3)

26.［二H^一］已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今從男女

人數(shù)相等的人群中隨機地挑選一人，恰好是色盲患者，問此人是男性的概率是多少？

解：4=｛男人｝,%2=｛女人｝,B=｛色盲｝,顯然40也=^,A\

由已知條件知

由貝葉斯公式，有

［二十二］一學生接連參加同一課程的兩次考試。第一次及格的概率為P,若第一次

及格則第二次及格的概率也為P;若第一次不及格則第二次及格的概率為(1)若至少有

一次及格則他能取得某種資格，求他取得該資格的概率。(2)若已知他第二次已經(jīng)及格,

求他第一次及格的概率。

解:4=｛他第i次及格｝，i=l,2

已知尸(4)=P(4I4)=P，

(1)5=｛至少有一次及格｝

所以

(2)(*)

由乘法公式，有尸(442)=尸(4)尸(”2|4)=p2

由全概率公式，有

將以上兩個結(jié)果代入(*)得

28.1二十五I某人下午5:00下班，他所積累的資料表明:

到家時間5:35^5:395:40-5:445:45-5:495:50-5:54遲于5:54

乘地鐵到

0.100.250.450.150.05

家的概率

乘汽車到

0.300.350.200.100.05

家的概率

某日他拋一枚硬幣決定乘地鐵還是乘汽車，結(jié)果他是5:47到家的，試求他是乘地鐵

回家的概率。

解：設(shè)4="乘地鐵"，5=“乘汽車"，C=“5:45f49到家"，由題意U5=S

已知：尸（"）=0.5,P（q/）=0.45,P（C|5尸0.2,P（J5）=0.5

由貝葉斯公式有

29.［二十四］有兩箱同種類型的零件。第一箱裝5只，其中10只一等品；第二箱30

只，其中18只一等品。今從兩箱中任挑出一箱，然后從該箱中取零件兩次，每次任取一

只，作不放回抽樣。試求（1）第一次取到的零件是一等品的概率。（2）第一次取到的零

件是一等品的條件下，第二次取到的也是一等品的概率。

解：設(shè)B］表示“第i次取到一等品"i=l,2

4表示''第J箱產(chǎn)品“j=l,2,顯然4CM2y44=6

（1）（5產(chǎn)出5+43由全概率公式解）。

（2）

（先用條件概率定義，再求尸（4外）時，由全概率公式解）

32.|二十六（2）|如圖1,2,3,4,5

表示繼電器接點，假設(shè)每一繼電器接點閉合

L

的概率為p,且設(shè)各繼電器閉合與否相互獨

立，求/和/?是通路的概率。

記4表第i個接點接通

記N表從，到K是構(gòu)成通路的。

,*"A=A\Ai+4N/5+NM5+N/M2四種情況不互斥

...P(N)=P(Z/2)+P(4NW5)+P(N/5)+P(A^^y-P(44N/5)

+P(AxAtA^+P(AtA2A3A4)+P(N1Z3

))

+P(AtA24M/5P62工34/5+P(AtA2A3475)+P(A]A2A3Z4/I5)

+(4444/5)+P(4424344^5)一尸(4444/5)

又由于4,At，Ay,A4,4互相獨立。

故P(⑷寸?+p*p2+p3—[p4+p4+p4+p4+p5+p4]

+[P'+P'+P'+P’l—P、=2p2+3P*-5//+2p5

[二十六(1)]設(shè)有4個獨立工作的元件1,2,3,4,它們的可靠性分別為尸”尸2,

尸3,P*將它們按圖(1)的方式聯(lián)接，求系統(tǒng)的可靠性。

二記4表示第i個元件正常工作，/=1,2,3,4,

千)/表示系統(tǒng)正常。

4?/4=44/3+44兩種情況不互斥

:.P(/)=2(/K24)+P(44)-2(4444)(加法公式)

=P(4)尸(血)尸(4)+尸(4)尸(4)一尸(4)尸(4)尸(4)尸(4)

=P|P2P3+PlPa-PlP2P3P4(4,4,4,4獨立)

34.［三十一］袋中裝有，”只正品硬幣,"只次品硬幣,(次品硬幣的兩面均印有國徽)。

在袋中任取一只，將它投擲r次，已知每次都得到國徽。問這只硬幣是正品的概率為多

少？

解：設(shè)“出現(xiàn)r次國徽面”=5“任取一只是正品”=N

由全概率公式，有

（條件概率定義與乘法公式）

35.甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊，三人擊中的概率分別為0.4,0.5,0.7。

飛機被一人擊中而被擊落的概率為0.2,被兩人擊中而被擊落的概率為0.6,若三人都擊

中，飛機必定被擊落。求飛機被擊落的概率。

解：高印表示飛機被i人擊中，i=\,2,3。Bi，Bi，&分別表示甲、乙、丙擊中飛

機

；,三種情況互斥。

三種情況互斥

又Bi，B2,為獨立。

+0.4x0.5x0.7+0.6x0.5x0.7=0.41

P(%)=尸(5i)P(B2)P(B3)=0.4X0.5X0.7=0.14

又因:A^iA+HzA+HyA三種情況互斥

故由全概率公式，有

p(A)=P(H|)「(A\Hi)+P(HOP(A\H2)+P(，3)P(/，3)

=0.36x0.2+0.41x0.6+0.14x1=0.458

36.［三十三］設(shè)由以往記錄的數(shù)據(jù)分析。某船只運輸某種物品損壞2%(這一事件記為

4),10%(事件4),90%(事件/)的概率分別為尸(4)=0.8,P(/l2)=0.15,P(/I2)=0.05,

現(xiàn)從中隨機地獨立地取三件，發(fā)現(xiàn)這三件都是好的(這一事件記為B),試分別求P(4|8)

尸(zh|B),P(/3|B)(這里設(shè)物品件數(shù)很多，取出第一件以后不影響取第二件的概率，所以

取第一、第二、第三件是互相獨立地)

V5表取得三件好物品。

B=A\B^~A2B+AT,B二種情況互斥

由全概率公式，有

:.P(5)=尸(4)P(用小)+尸(A2)P(B\A2)+P(4)P(B\A3)

=0.8X(0.98)3+0.15X(0.9)3+0.05X(0.1)3=0.8624

37.［三十四］將4B,C三個字母之一輸入信道，輸出為原字母的概率為a,而輸

出為其它一字母的概率都是(l-a)/2o今將字母串44/U,BBBB,CCCC之一輸入信道,

輸入44N4BBBB,CCCC的概率分別為“m,P339加勺)，已知輸出為“5C4,

問輸入的是4444的概率是多少？(設(shè)信道傳輸每個字母的工作是相互獨立的。)

解：設(shè)。表示輸出信號為/8C4Bi、B?、/分別表示輸入信號為4444,BBBB,

CCCC,則瑪、M為一完備事件組，且P(B；)=Pj,i=l,2,3。

再設(shè)/I發(fā)、/I收分別表示發(fā)出、接收字母4其余類推，依題意有

P(“收發(fā))=0(5收|8發(fā))=P(C收|C發(fā))=a?

P(“收|5發(fā)尸P(4收|C發(fā)尸P(8收|/發(fā)尸P(5收|C發(fā)尸P(C收|4發(fā)尸P(C收|5發(fā)尸

又尸（祕。1度/UN尸P（D歸|）=尸（N收|Z發(fā)）尸（5收|/發(fā)）尸。收|4發(fā)）尸（/收|N發(fā)）

同樣可得尸（05尸尸（083）=

于是由全概率公式，得

由Bayes公式，得

P（AAAA\ABCA）=P（BX\D）=

I二十九I設(shè)第一只盒子裝有3只藍球，2只綠球，2只白球；第二只盒子裝有2只

藍球，3只綠球，4只白球。獨立地分別從兩只盒子各取一只球。（1）求至少有一只藍球

的概率，（2）求有一只藍球一只白球的概率，（3）已知至少有一只藍球，求有一只藍球

一只白球的概率。

解：記小、42、H分別表示是從第一只盒子中取到一只藍球、綠球、白球，4、/、

/分別表示是從第二只盒子中取到一只藍球、綠球、白球。

（1）記。=｛至少有一只藍球｝

C=A\BX+A\B2+A\Bi+AzB\+A^By,5種情況互斥

由概率有限可加性，得

（2）記。=｛有一只藍球，一只白球｝,而且知。=4當+4々兩種情況互斥

（3）

［三十］A,B,C三人在同一辦公室工作，房間有三部電話，據(jù)統(tǒng)計知，打給4B,

C的電話的概率分別為。他們?nèi)顺Ｒ蚬ぷ魍獬?，A,B,C三人外出的概率分別為，設(shè)

三人的行動相互獨立，求

(1)無人接電話的概率；(2)被呼叫人在辦公室的概率；若某一時間斷打進了3個

電話，求(3)這3個電話打給同一人的概率；(4)這3個電話打給不同人的概率；(5)

這3個電話都打給8,而5卻都不在的概率。

解：記G、。2、G分別表示打給4B,C的電話

小、心、2分別表示4B,C外出

注意到C1、。2、獨立，且

(1)P(無人接電話)=P(。02。3)=尸(〃1)尸(〃2)尸(〃3)

(2)記6=”被呼叫人在辦公室”，三種情況互斥，由有限可加性與乘法公式

(3)H為“這3個電話打給同一個人”

(4)R為“這3個電話打給不同的人”

R由六種互斥情況組成，每種情況為打給A,B,C的三個電話，每種情況的概率為

于是

(5)由于是知道每次打電話都給8,其概率是1,所以每一次打給5電話而8不在

的概率為，且各次情況相互獨立

于是P(3個電話都打給8,8都不在的概率)=

第二章隨機變量及其分布

1.|-］一袋中有5只乒乓球，編號為1、2、3、4、5,在其中同時取三只，以X表

示取出的三只球中的最大號碼，寫出隨機變量X的分布律

解：X可以取值3,4,5,分布律為

也可列為下表

X：3,4,5

P：

3.［三］設(shè)在15只同類型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作

不放回抽樣，以X表示取出次品的只數(shù)，(1)求X的分布律，(2)畫出分布律的圖形。

解：任取三只，其中新含次品個數(shù)X可能為0,1,2個。

再列為下表__________________|〉

X：0,1,2°'

P：

4.［四］進行重復獨立實驗，設(shè)每次成功的概率為p,失敗的概率為夕=l-p(0<p<l)

(1)將實驗進行到出現(xiàn)一次成功為止，以X表示所需的試驗次數(shù)，求X的分布律。

(此時稱X服從以p為參數(shù)的幾何分布。)

(2)將實驗進行到出現(xiàn)r次成功為止，以Y表示所需的試驗次數(shù)，求F的分布律。

(此時稱F服從以r,p為參數(shù)的巴斯卡分布。)

(3)一籃球運動員的投籃命中率為45%,以X表示他首次投中時累計已投籃的次

數(shù)，寫出X的分布律，并計算X取偶數(shù)的概率。

解：(1)P(X=k)=qk~'pk=l,2,.......

(2)F=r+"={最后一次實驗前什"-1次有n次失敗，且最后一次成功}

其中0=1-p,

或記r+〃=4,貝ljP{Y=k}=

(3)P(X=A)=(0.55)k-,0.454=1,2…

P(X取偶數(shù)尸

6.［六］一大樓裝有5個同類型的供水設(shè)備，調(diào)查表明在任一時刻，每個設(shè)備使用的

概率為0.1,問在同一時刻

(1)恰有2個設(shè)備被使用的概率是多少？

(2)至少有3個設(shè)備被使用的概率是多少？

(3)至多有3個設(shè)備被使用的概率是多少？

(4)至少有一個設(shè)備被使用的概率是多少？

［五］一房間有3扇同樣大小的窗子，其中只有一扇是打開的。有一只鳥自開著的窗

子飛入了房間，它只能從開著的窗子飛出去。鳥在房子里飛來飛去，試圖飛出房間。假

定鳥是沒有記憶的，鳥飛向各扇窗子是隨機的。

(1)以X表示鳥為了飛出房間試飛的次數(shù)，求X的分布律。

(2)戶主聲稱，他養(yǎng)的一只鳥，是有記憶的，它飛向任一窗子的嘗試不多于一次。

以y表示這只聰明的鳥為了飛出房間試飛的次數(shù)，如戶主所說是確實的，試求y的分布

律。

(3)求試飛次數(shù)X小于y的概率；求試飛次數(shù)y小于X的概率。

解：(DX的可能取值為1,2,3,…，〃，…

P{X=〃}=尸{前〃一1次飛向了另2扇窗子，第〃次飛了出去}

=,n=l,2,.......

（2）y的可能取值為1,2,3

P｛Y=\｝=P｛第1次飛了出去｝=

P｛y=2｝=P｛第1次飛向另2扇窗子中的一扇，第2次飛了出去｝

尸｛F=3｝=尸｛第1,2次飛向了另2扇窗子，第3次飛了出去｝

同上，

故

8.[八]甲、乙二人投籃，投中的概率各為0.6,0.7,令各投三次。求

（1）二人投中次數(shù)相等的概率。

記X表甲三次投籃中投中的次數(shù)

F表乙三次投籃中投中的次數(shù)

由于甲、乙每次投籃獨立，且彼此投籃也獨立。

P（X=F）=P（X=O,F=O）+P（X=2,y=2）+p（x=3,y=3）

=P（X=0）P（y=0）+P（X=l）P（y=l）+P（X=2）P（F=2）+P（X=3）P（y=3）

=（0.4）3X（0.3）3+[

（2）甲比乙投中次數(shù)多的概率。

P[X>Y）=P（X=l,F=0）+尸（X=2,y=0）+尸（X=2,F=l）+

p（x=3）P（y=o）+P（x=3）P（y=i）+P（x=3）p（y=2）

=p（x=i）p（y=o）+p（x=2,y=o）+p（x=2,r=i）+

p（A^=3）p（y=o）+p（AI=3）p（y=i）+p（x=3）p（y=2）

9.|+|有甲、乙兩種味道和顏色極為相似的名酒各4杯。如果從中挑4杯，能將甲

種酒全部挑出來，算是試驗成功一次。

(1)某人隨機地去猜，問他試驗成功一次的概率是多少？

(2)某人聲稱他通過品嘗能區(qū)分兩種酒。他連續(xù)試驗10次，成功3次。試問他是

猜對的，還是他確有區(qū)分的能力(設(shè)各次試驗是相互獨立的。)

解：⑴P(一次成功尸

(2)尸(連續(xù)試驗10次，成功3次尸。此概率太小，按實際推斷原理，就認為他確

有區(qū)分能力。

［九］有一大批產(chǎn)品，其驗收方案如下，先做第一次檢驗：從中任取10件，經(jīng)驗收

無次品接受這批產(chǎn)品，次品數(shù)大于2拒收；否則作第二次檢驗，其做法是從中再任取5

件，僅當5件中無次品時接受這批產(chǎn)品，若產(chǎn)品的次品率為10%,求

(1)這批產(chǎn)品經(jīng)第一次檢驗就能接受的概率

(2)需作第二次檢驗的概率

(3)這批產(chǎn)品按第2次檢驗的標準被接受的概率

(4)這批產(chǎn)品在第1次檢驗未能做決定且第二次檢驗時被通過的概率

(5)這批產(chǎn)品被接受的概率

解：X表示10件中次品的個數(shù)，F(xiàn)表示5件中次品的個數(shù)，

由于產(chǎn)品總數(shù)很大，故X~B(10,0.1),F-B(5,0.1)(近似服從)

(1)P{X=0}=0.910^0.349

(2)P{XW2}=尸{X=2}+P{X=l}=

(3)尸/0}=0.9%0.590

(4)P{0<X^2,K=0}({0<X<2}與{F=2}獨立)

=p{0<x^2}P{y=0}

=0.581x0.5900.343

(5)尸{X=0}+尸{0<XW2,y=0}

=0.349+0.343=0.692

12.［十三|電話交換臺每分鐘的呼喚次數(shù)服從參數(shù)為4的泊松分布，求

(1)每分鐘恰有8次呼喚的概率

法一：(直接計算)

法二：尸(X=8)=P(X28)-P(X29)(查入=4泊松分布表)。

=0.051134—0.021363=0.029771

(2)每分鐘的呼喚次數(shù)大于10的概率。

尸(X>10)=尸(X211)=0.002840(查表計算)

|十二(2)|每分鐘呼喚次數(shù)大于3的概率。

［十六］以X表示某商店從早晨開始營業(yè)起直到第一顧客到達的等待時間(以分計),

X的分布函數(shù)是

求下述概率：

(1)P｛至多3分鐘｝;(2)P｛至少4分鐘｝;(3)P｛3分鐘至4分鐘之間｝;

(4)P｛至多3分鐘或至少4分鐘｝;(5)P｛恰好2.5分鐘｝

解：(1)P｛至多3分鐘｝=P｛X<3｝=

(2)尸｛至少4分鐘｝P(Xm4)=

(3)尸｛3分鐘至4分鐘之間｝=P｛3<XW4｝=

(4)P｛至多3分鐘或至少4分鐘｝=P｛至多3分鐘｝+P｛至少4分鐘｝

(5)P｛恰好2.5分鐘｝=P(X=2.5)=0

18.［十七］設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為，

求(1)P(X<2),P｛0<X^3｝,P(2<X<)；(2)求概率密度.&(x).

解：(1)尸(X<2)=Fx(2)=hi2,P(0<X^3)=Fx(3)~FX(0)=1,

(2)

20.［十八(2)］設(shè)隨機變量的概率密度為

(1)

(2)

求X的分布函數(shù)尸(x),并作出(2)中的/(%)與尸(x)的圖形。

解：當一IWXWI時:

當1《時:

故分布函數(shù)為:

解：⑵

故分布函數(shù)為

(2)中的/(x)與尸(x)的圖形如下

f(x)

尸(幻

--->.r

2

22.|二十|某種型號的電子的壽命X(以小時計)具有以下的概率密度:

現(xiàn)有一大批此種管子(設(shè)各電子管損壞與否相互獨立)。任取5只，問其中至少有2只壽

命大于1500小時的概率是多少?

解：一個電子管壽命大于1500小時的概率為

令y表示“任取5只此種電子管中壽命大于1500小時的個數(shù)二貝IJ,

23.［二十一］設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務的時間X(以分計)服從指數(shù)分布,

其概率密度為:

某顧客在窗口等待服務，若超過10分鐘他就離開。他一個月要到銀行5次。以Y

表示一個月內(nèi)他未等到服務而離開窗口的次數(shù)，寫出y的分布律。并求

解：該顧客“一次等待服務未成而離去”的概率為

因此

24.［二十二］設(shè)K在(0,5)上服從均勻分布，求方程有實根的概率

VK的分布密度為：

要方程有根，就是要"滿足(422-4X4X(K+2)\0。

解不等式，得K22時，方程有實根。

*

??

25.［二十三］設(shè)X?N(3.22)

(1)求尸(2<XW5),P(-4)<XW10),P{|X|>2},P(X>3)

V若X?N(N,a2),則P(avxwp)=64>

:.P(2vXW5)=6⑴一6(-0.5)

=0.8413-0.3085=0.5328

P(-4<X^10)=4>6=6(3.5)—。(-3.5)

=0.9998-0.0002=0.9996

P(|X］>2)=1-P(|A1<2)=1—P(-2<P<2)

=1-4>(-0.5)+4>(-2.5)

=1-0.3085+0.0062=0.6977

P(X>3)=1-P(X<3)=l-4>=1-0.5=0.5

(2)決定C使得尸(X>C)=P(X/O

VP(X>C)=1—P(XWC尸P(XWC)

得「(XWC)==0.5

又尸(XWC)=6C=3

26.［二十四］某地區(qū)18歲的女青年的血壓(收縮區(qū)，以mm-Hg計)服從在該地區(qū)

任選一18歲女青年，測量她的血壓X。求

(1)P(X<105),P(100<XS120).(2)確定最小的X使P(X>x)W0.05.

解：

27.［二十五］由某機器生產(chǎn)的螺栓長度(cm)服從參數(shù)為口=10.05,。=0.06的正

態(tài)分布。規(guī)定長度在范圍10.05土0.12內(nèi)為合格品，求一螺栓為不合格的概率是多少？

設(shè)螺栓長度為X

P{X不屬于(10.05-0.12,10.05+0.12)

=l-P(10.05-0.12<X<10.05+0.12)

=1-

=1一{4>(2)—6(—2)}

=1-{0.9772-0.0228)

=0.0456

28.［二十六|一工廠生產(chǎn)的電子管的壽命X(以小時計)服從參數(shù)為口=160,。(未

知)的正態(tài)分布，若要求P(120VXW200==0.80,允許。最大為多少？

V尸(120VXW200)=

又對標準正態(tài)分布有(-x)=l—。(x)

:.上式變?yōu)?/p>

解出

再查表，得

30.［二十七］設(shè)隨機變量X的分布律為：

X：-2,-1,0,1,3

P：9999

求y=x2的分布律

vy=x2：(-2)2(-1)2(0)2(I)?(3尸

P:

再把X?的取值相同的合并，并按從小到大排列，就得函數(shù)y的分布律為:

Y：0149

P：

31.［二十八］設(shè)隨機變量X在(0,1)上服從均勻分布

(1)求y=/的分布密度

VX的分布密度為：

y=g(A)=Z是單調(diào)增函數(shù)

又X=h(Y)=lnY,反函數(shù)存在

且a=min\g(0),g(1)］=/MZH(1,e)=l

max\g(0),g(1)|=/MOX(1,e)=e

???y的分布密度為：

(2)求卜=一2〃吠的概率密度。

???Y=g(X)=-2lnX是單調(diào)減函數(shù)

又反函數(shù)存在。

且a=min\g(0),g(1)|=???(+°°,0)=0

p=max\g(0),g(l)|=，〃ax(+8,0)=+oo

y的分布密度為：

32.［二十九］設(shè)X7V(0,1)

(1)求y十*的概率密度

x的概率密度是

Y=g(X)=ex是單調(diào)增函數(shù)

又X=h(Y)—InY反函數(shù)存在

且a=min\g(-0°),^(+°°)|=/w//i(0,+8尸。

p=max\g(―8),g(+°°)］=mar(0,+°°)=+°°

???y的分布密度為：

(2)求Y=2X2+i的概率密度。

在這里，y=2x?+i在(+8,—8)不是單調(diào)函數(shù)，沒有一般的結(jié)論可用。

設(shè)y的分布函數(shù)是尸y(y),

則Fy(y)=P(Y^y)=P(2X2+l^y)

當yvl時：fy(j)=0

當y2l時：

故F的分布密度W(y)是：

當yWl時：W(y)=\FY(J)]'=(0)'=0

當y>l時，W(j)=尸丫(y)l'=

(3)求y=|X|的概率密度。

Vy的分布函數(shù)為尸y(M=P(FWy)=尸(|X|Wy)

當y<0時,6(y)=0

當y20時，F(xiàn)r(y)=P(|X|Wy)=P(—yWXWy)=

y的概率密度為：

當yWO時：W(y)=[尸y(y)r=(O)，=O

當y>0時：W(y)=[Fy(y)]‘=

33.[三十](1)設(shè)隨機變量X的概率密度為/(x),求y=x3的概率密度。

vy=g(x)=x3是x單調(diào)增函數(shù)，

又x=h(y)=?反函數(shù)存在，

且a=niin\g(^°°),g(+°°)|=/wz/i(O,4-°°)=~00

00

p=max\g(-),g(4-oo)|=War(O,+°°)=+°°

/.y的分布密度為：

(2)設(shè)隨機變量x服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，求卜=豕2的概率密度。

法一：：的分布密度為：八

x八

y=f是非單調(diào)函數(shù)

當XV。時J=X2/反函數(shù)是

X

當x〈0時y=x2^

二y?力e)=-

法二：

???F?A(r)=

34.［三H^一］設(shè)X的概率密度為

求y=sinX的概率密度。

???尸y(J)=P(F0)

=P(sinX^)

當y<0時：Fy(j)=O

當00W1時：Fy(y)=P(siit￥導)=P(OWXWiarcsiny或n—arcsinyWXWk)

當1勺時：Fy(J)=l

y的概率密度W(y)為：

jWD時,V(J)=［FE(J)］'=(O)'=O

0<y<lW(JO=|尸y(j)『=

10，時，w(y)=［尸y(y)l'==0

36.［三十三］某物體的溫度7(°尸)是一個隨機變量，且有7?N(98.6,2),試求0(℃)

的概率密度。［已知］

法一：???7的概率密度為

又是單調(diào)增函數(shù)。

反函數(shù)存在。

且a=min\g(―0°),g(+°°)|=/w//i(—0°,+°°)=—00

P=max\g(—0°),g(+0°)］=max(—°°,+°°)=+°°

6的概率密度W（，）為

法二：根據(jù)定理：若X?N(a>5),貝I」-X+6fai+A,//)

由于T?N(98.6,2)

故

故夕的概率密度為：

第三章多維隨機變量及其分布

1.1-1在一箱子里裝有12只開關(guān)，其中2只是次品，在其中隨機地取兩次，每次

取一只?？紤]兩種試驗：(1)放回抽樣，(2)不放回抽樣。我們定義隨機變量X,F如

下：

試分別就(1)(2)兩種情況，寫出X和F的聯(lián)合分布律。

解：(1)放回抽樣情況

由于每次取物是獨立的。由獨立性定義知。

P(X=i,Y=i)=P(X=i)P(Y=i)

p(x=o,y=o)=

p(x=o,r=i)=

尸(x=i,y=o)=

p(X=l,Y=1)=

或?qū)懗?/p>

(2)不放回抽樣的情況

p{x=o,r=o}=

p{x=o,y=i}=

p{x=i,y=o}=

p{x=i,y=i}=

或?qū)懗?/p>

x

01

Y

0

3.|-|盒子里裝有3只黑球，2只紅球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示

為

P{X=0,Y=2}=

p{x=i,y=i}=

P{X=l,Y=2}=

p{x=2,y=o}=

P{X=2,F=1}=

P{X=2,Y=2}=

P{X=3,K=0}=

P{X=3,Y=1}=

P{X=3,y=2}=0

5.［三］設(shè)隨機變量(X,y)概率密度為

(1)確定常數(shù)A。(2)求P{XV1,y<3}

(3)求P(XV1.5}(4)求P(X+FW4}

分析：利用戶{(X,Y)CG戶再化為累次積分，其中

解：(1)

(2)

(3)

(4)

6.(1)求第1題中的隨機變量(X、Y)的邊緣分布律。---------

0_

0

1

邊緣分布律為

X01V01

PiPj

②不放回抽樣(第1題)