吉林省扶余市第二實驗學(xué)校2021屆下學(xué)期高三年級3月月考數(shù)學(xué)試卷（理科）（A）

吉林省扶余市第二實驗學(xué)校2021屆下學(xué)期高三年級3月月考數(shù)學(xué)試卷（理科）（A）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．設(shè)（為虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．22．如圖所示，A，B是非空集合，定義集合A#B為陰影部分表示的集合．若，y∈R，，，則A#B為（）A． B．C． D．3．下列關(guān)于命題的說法中正確的是（）①對于命題，使得，則，均有②“”是“”的充分不必要條件③命題“若，則”的逆否命題是“若，則”④若為假命題，則?均為假命題A．①②③ B．②③④ C．①②③④ D．①③4．函數(shù)（，且）的圖象恒過定點，若點在橢圓（，）上，則的最小值為（）A．12 B．14 C．16 D．185．我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說：數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休．在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來琢磨函數(shù)的圖象特征．如函數(shù)的圖象大致為（）A．B．C． D．6．若點M是△ABC所在平面內(nèi)的一點，且滿足，則△ABM與△ABC的面積比為（）A． B． C． D．7．在中，，，則的面積的最大值為（）A． B． C． D．8．展開式中項的系數(shù)為（）A． B． C． D．9．某幾何體的三視圖如圖所示，則其外接球的表面積為（）A． B． C． D．10．設(shè)函數(shù)，若對于任意實數(shù)，在區(qū)間上至少有2個零點，至多有3個零點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．11．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點，，點是兩曲線的一個交點，且，過橢圓的右焦點作傾斜角為的直線交橢圓于，兩點，且，則可以取（）A．4 B．5 C．7 D．812．己知周期為的函數(shù)滿足，當(dāng)，，常數(shù)滿足其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則關(guān)于的不等式在上整數(shù)解的個數(shù)為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．已知隨機變量，則__________（用數(shù)字作答）．14．若定義在上的函數(shù)，則________．15．實數(shù)，滿足，（，），則的取值范圍為______．16．已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，設(shè)，若存在常數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列，則的值為_________．三、解答題：本大題共6個大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（12分）如圖所示，某鎮(zhèn)有一塊空地，其中，，．當(dāng)?shù)卣媱潓⑦@塊空地改造成一個旅游景點，擬在中間挖一個人工湖，其中都在邊上，且，挖出的泥土堆放在地帶上形成假山，剩下的地帶開設(shè)兒童游樂場．為安全起見，需在的周圍安裝防護網(wǎng)．設(shè)．（1）當(dāng)時，求的值，并求此時防護網(wǎng)的總長度；（2）若，問此時人工湖用地的面積是堆假山用地的面積的多少倍（3）為節(jié)省投入資金，人工湖的面積要盡可能小，問如何設(shè)計施工方案，可使的面積最小最小面積是多少18．（12分）如圖所示多面體中，平面平面，平面，是正三角形，四邊形是菱形，，，．（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值．19．（12分）某電商平臺準備今年的周年慶典活動，為了更精準地投放優(yōu)惠券以提高銷售額，對去年周年慶典活動中的優(yōu)惠券使用情況和用戶消費金額進行了統(tǒng)計分析，統(tǒng)計結(jié)果顯示，去年老用戶的消費金額滿足正態(tài)分布，設(shè)消費金額為單位：元，，如圖所示，經(jīng)計算得．（1）求；（2）根據(jù)去年的統(tǒng)計結(jié)果，該電商平臺今年預(yù)備推出“消費金額每滿300元減30元”和“消費金額每滿800元減90元”兩種優(yōu)惠券，為了進一步了解用戶的購買意向，計劃把去年的用戶按消費金額分成四組，，，，用分層抽樣抽取10位去年的老用戶作為幸運用戶，贈送禮品并進行問卷調(diào)查．（i）計算各組應(yīng)抽的老用戶數(shù)；（ii）為了了解用戶對今年的兩種優(yōu)惠券的意見，確定兩種優(yōu)惠券的投放比例，從，兩組的幸運用戶中隨機抽取3人進行面對面訪談，記從一組中抽取的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．20．（12分）已知橢圓的離心率為，其長軸長為．（1）求橢圓的方程；（2）直線交于、兩點，直線交于、兩點，若．求四邊形的面積．21．（12分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)，若在上有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍．請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．22．（10分）【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），又以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程，若原點在曲線C的內(nèi)部，則求實數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時，直線l與曲線C交于M、N兩點，又點D，則．由，得，即∴．如圖所示：故C，M，D三點共線，且，也就是△ABM與△ABC對于邊AB的兩高之比為3∶5，則△ABM與△ABC的面積比為3∶5，故選C．7．D【解析】由余弦定理，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，所以8．B【解析】，所以，展開式中含項為，故項的系數(shù)為，故選B．9．C【解析】構(gòu)造一個長方體，三棱錐的三視圖即為圖中所示，將三棱錐補成直三棱柱，只需要求出直三棱柱的外接球面積即可，因為它們有同一個外接球，設(shè)球心為，的外接圓圓心為，，，，由正弦定理得，，，，球的表面積為10．B【解析】令，則，令，則，則問題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上至少有兩個，至少有三個t，使得，求的取值范圍．作出和的圖象，觀察交點個數(shù)，可知使得的最短區(qū)間長度為，最長長度為，由題意列不等式的，解得，故選B．11．D【解析】由題得橢圓的焦點為，，不妨設(shè)在第一象限，設(shè)橢圓方程為，因為，所以，①，②又，③解①②③得，所以橢圓的方程為，由題得直線方程為，即，聯(lián)立直線和橢圓方程，得或，所以，或，，當(dāng)，時，所以，，所以，所以；當(dāng)，時，，所以可以取8，故選D．12．B【解析】當(dāng)，，則，，令，解得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上遞增，在上遞減，又因為，所以的圖象關(guān)于對稱，又因為函數(shù)的周期為，作出函數(shù)在上的圖象，如圖所示，所以恒成立，又因為，所以，不等式，即為，則，由函數(shù)的圖象知：在上滿足，有，所以不等式在上整數(shù)解的個數(shù)為713．【解析】由隨機變量，則14．【解析】由定積分的幾何意義可得，是以原點為圓心，以為半徑的圓的面積的一半，15．【解析】將式子化簡變形為，問題可轉(zhuǎn)化為點是圓（，）上的動點，求的取值范圍，令，即，畫出圖形，如圖所示（虛線部分為，實線部分為圓的一部分）：圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，當(dāng)直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于半徑，即，解得，當(dāng)直線過點時，有，由圖可知，的范圍是，即的取值范圍為16．【解析】當(dāng)時，．若存在常數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列，則，記，則有，化簡得，這與矛盾，故此時不存在常數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列；當(dāng)時，其中，因為數(shù)列為等比數(shù)列，對任意，恒有為常數(shù)且，即，所以，所以對任意正整數(shù)恒成立，所以，解得或舍，所以數(shù)列為等比數(shù)列時，17．【解】（1）在三角形中，由余弦定理得，所以，所以三角形是直角三角形，所以，．由于，所以，所以是等邊三角形，周長為，也即防護網(wǎng)的總長度為．（2）時，在三角形中，由正弦定理得，在三角形中，，由正弦定理得，所以以為頂點時，和的高相同，所以，，即人工湖用地的面積是堆假山用地的面積的倍．（3）在三角形中，，由正弦定理得．在三角形中，，由正弦定理得．所以由于，所以當(dāng)，時，最小值為．18．（1）證明：過點作交于點，連接，，，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，又是正三角形，，所以∵平面，，∴，∴四邊形為平行四邊形∴，又∵平面，平面∴平面．（2）解：因為四邊形是菱形，，，，故以為坐標(biāo)原點，分別以，，的方向為軸，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．∴，，，，，．∴，，，設(shè)平面的一個法向量為，由，得，令，得∴，∵平面，∴，在菱形中，，又，∴平面∴是平面的一個法向量，設(shè)二面角的大小為，則∴19．【解】（1）因為，且，由正態(tài)分布的對稱性得（2）（i）根據(jù)正態(tài)分布的對稱性得，，所以從一組中抽人，從一組中抽人，從一組中抽人，從一組中抽人．（ii）由（i）知，兩組各有幸運用戶3人，的所有可能取值為0，1，2，3，，，，，所以的分布列為0123所以的數(shù)學(xué)期望．20．【解】（1）由已知得，解得，因此，橢圓的方程為．（2）設(shè)、，則、，聯(lián)立，則，，同理可得，且到直線的距離，所以，又，所以．21．【解】（1）函數(shù)的定義域為，所以．當(dāng)時，由，得，則的減區(qū)間為；由，得，則的增區(qū)間為．當(dāng)時，由，得，則的減區(qū)間為；由，得或，則的增區(qū)間為和．當(dāng)時，，則的增區(qū)間為．當(dāng)時，由，得，則的減區(qū)間為；由，得或，則的增區(qū)間為和．（2）．在上有兩個零點，即關(guān)于方程在上有兩個不相等的實數(shù)根．令，，則．令，，則，顯然在上恒成立，故在上單調(diào)遞增．因為，所以當(dāng)時，有，即，所以單調(diào)遞減；當(dāng)時，有，即，所以單調(diào)遞增．因為，，，所以的取值范圍是．22．【解】（1）將曲線C的參數(shù)方程，消去參數(shù)，可得普通方程為，即，將，代入可得曲