2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試卷（北京卷）

2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試卷（北京卷）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1．（4分）已知集合，0，1，，，則A．，0， B．， C．，1， D．，2．（4分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)是，則A． B． C． D．3．（4分）在的展開式中，的系數(shù)為A． B．5 C． D．104．（4分）某三棱柱的底面為正三角形，其三視圖如圖所示，該三棱柱的表面積為A． B． C． D．5．（4分）已知半徑為1的圓經(jīng)過點，則其圓心到原點的距離的最小值為A．4 B．5 C．6 D．76．（4分）已知函數(shù)，則不等式的解集是A． B．，， C． D．，，7．（4分）設(shè)拋物線的頂點為，焦點為，準(zhǔn)線為．是拋物線上異于的一點，過作于，則線段的垂直平分線A．經(jīng)過點 B．經(jīng)過點 C．平行于直線 D．垂直于直線8．（4分）在等差數(shù)列中，，．記，2，，則數(shù)列（）A．有最大項，有最小項 B．有最大項，無最小項 C．無最大項，有最小項 D．無最大項，無最小項9．（4分）已知，，則“存在使得”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件10．（4分）2020年3月14日是全國首個國際圓周率日．歷史上，求圓周率的方法有多種，與中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“割圓術(shù)”相似，數(shù)學(xué)家阿爾卡西的方法是：當(dāng)正整數(shù)充分大時，計算單位圓的內(nèi)接正邊形（各邊均與圓相切的正邊形）的周長，將它們的算術(shù)平均數(shù)作為的近似值．按照阿爾卡西的方法，的近似值的表達(dá)式是A． B． C． D．二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11．（5分）函數(shù)的定義域是．12．（5分）已知雙曲線，則的右焦點的坐標(biāo)為；的焦點到其漸近線的距離是．13．（5分）已知正方形的邊長為2，點滿足，則；．14．（5分）若函數(shù)的最大值為2，則常數(shù)的一個取值為．15．（5分）為滿足人民對美好生活的向往，環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水治理，排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改．設(shè)企業(yè)的污水排放量與時間的關(guān)系為，用的大小評價在，這段時間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強(qiáng)弱．已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時間的關(guān)系如圖所示．給出下列四個結(jié)論：①在，這段時間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；②在時刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；③在時刻，甲，乙兩企業(yè)的污水排放都已達(dá)標(biāo)；④甲企業(yè)在，，，，，這三段時間中，在，的污水治理能力最強(qiáng)．其中所有正確結(jié)論的序號是．三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。16．（13分）如圖，在正方體中，為的中點．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．17．（13分）在中，，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求：（Ⅰ）的值；（Ⅱ）和的面積．條件①：，；條件②：，．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．18．（14分）某校為舉辦甲、乙兩項不同活動，分別設(shè)計了相應(yīng)的活動方案；方案一、方案二．為了解該校學(xué)生對活動方案是否支持，對學(xué)生進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假設(shè)所有學(xué)生對活動方案是否支持相互獨立．（Ⅰ）分別估計該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）從該校全體男生中隨機(jī)抽取2人，全體女生中隨機(jī)抽取1人，估計這3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）將該校學(xué)生支持方案二的概率估計值記為．假設(shè)該校一年級有500名男生和300名女生，除一年級外其他年級學(xué)生支持方案二的概率估計值記為．試比較與的大小．（結(jié)論不要求證明）19．（15分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線的斜率等于的切線方程；（Ⅱ）設(shè)曲線在點，處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求的最小值．20．（15分）已知橢圓過點，且．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過點的直線交橢圓于點，，直線，分別交直線于點，．求的值．21．（15分）已知是無窮數(shù)列．給出兩個性質(zhì)：①對于中任意兩項，，在中都存在一項，使得；②對于中任意一項，在中都存在兩項，，使得．（Ⅰ）若，2，，判斷數(shù)列是否滿足性質(zhì)①，說明理由；（Ⅱ）若，2，，判斷數(shù)列是否同時滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，說明理由；（Ⅲ）若是遞增數(shù)列，且同時滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，證明：為等比數(shù)列．

參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1．【解答】解：集合，0，1，，，則，，故選：．2．【解答】解：復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)是，，則，故選：．3．【解答】解：的展開式中，通項公式為，令，求得，可得的系數(shù)為，故選：．4．【解答】解：幾何體的直觀圖如圖：是三棱柱，底面邊長與側(cè)棱長都是2，幾何體的表面積為：．故選：．5．【解答】解：如圖示：半徑為1的圓經(jīng)過點，可得該圓的圓心軌跡為為圓心，1為半徑的圓，故當(dāng)圓心到原點的距離最小時，連結(jié)，在上且，此時距離最小，由，得，即圓心到原點的距離的最小值是4，故選：．6．【解答】解：不等式，即．由于函數(shù)和直線的圖象都經(jīng)過點、，如圖所示：不等式的解集是，，，故選：．7．【解答】解：（本題屬于選擇題）不妨設(shè)拋物線的方程為，則，準(zhǔn)線為為，不妨設(shè)，，設(shè)準(zhǔn)線為與軸交點為，則，可得四邊形為正方形，根據(jù)正方形的對角線互相垂直，故可得線段的垂直平分線，經(jīng)過點，故選：．8．【解答】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，得，．由，得，而，可知數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，且前5項為負(fù)值，自第6項開始為正值．可知，，，為最大項，自起均小于0，且逐漸減?。?dāng)?shù)列有最大項，無最小項．故選：．9．【解答】解：當(dāng)，為偶數(shù)時，，此時，當(dāng)，為奇數(shù)時，，此時，即充分性成立，當(dāng)，則，或，，即，即必要性成立，則“存在使得”是“”的充要條件，故選：．10．【解答】解：如圖，設(shè)內(nèi)接正邊形的邊長為，外切正邊形的邊長為，可得，，則，即，故選：．二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11．【分析】根據(jù)函數(shù)成立的條件建立不等式組，解不等式即可．【解答】解：要使函數(shù)有意義，則，所以，所以，所以函數(shù)的定義域為，故答案為：．12．【分析】根據(jù)雙曲線的方程可得焦點，再根據(jù)點到直線的距離可得．【解答】解：雙曲線，則，則，則的右焦點的坐標(biāo)為，其漸近線方程為，即，則點到漸近線的距離，故答案為：，．13．【分析】根據(jù)向量的幾何意義可得為的中點，再根據(jù)向量的數(shù)量積的運算和正方形的性質(zhì)即可求出．【解答】解：由，可得為的中點，則，，，故答案為：，．14．【分析】由兩角和差公式，及輔助角公式化簡得，其中，，結(jié)合題意可得，解得，即可得出答案．【解答】解：其中，，所以最大值為，所以，即，所以，所以，時均滿足題意。15．【分析】由兩個企業(yè)污水排放量與時間的關(guān)系圖象結(jié)合平均變化率與瞬時變化率逐一分析四個命題得答案．【解答】解：設(shè)甲企業(yè)的污水排放量與時間的關(guān)系為，乙企業(yè)的污水排放量與時間的關(guān)系為．對于①，在，這段時間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力為，乙企業(yè)的污水治理能力為．由圖可知，，，即甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)，故①正確；對于②，由圖可知，在時刻的切線的斜率小于在時刻的切線的斜率，但兩切線斜率均為負(fù)值，在時刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)，故②正確；對于③，在時刻，甲，乙兩企業(yè)的污水排放都小于污水達(dá)標(biāo)排放量，在時刻，甲，乙兩企業(yè)的污水排放都已達(dá)標(biāo)，故③正確；對于④，由圖可知，甲企業(yè)在，，，，，這三段時間中，在，的污水治理能力最強(qiáng)，故④錯誤．正確結(jié)論的序號是①②③．故答案為：①②③．三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。16．【分析】（Ⅰ）根據(jù)正方體的性質(zhì)可證得，再利用線面平行的判定定理即可得證；（Ⅱ）解法一：以為原點，、、分別為、和軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)直線與平面所成角為，先求出平面的法向量，再利用，以及空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算即可得解．解法二：設(shè)正方體的棱長為，易知，結(jié)合勾股定理和余弦定理可求得，再求得；設(shè)點到平面的距離為，根據(jù)等體積法，可求出的值，設(shè)直線與平面所成角為，則，從而得解．【解答】解：（Ⅰ）由正方體的性質(zhì)可知，，且，四邊形是平行四邊形，，又平面，平面，平面．（Ⅱ）解法一：以為原點，、、分別為、和軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為，則，0，，，0，，，0，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，，，，設(shè)直線與平面所成角為，則，，故直線與平面所成角的正弦值為．解法二：設(shè)正方體的棱長為，則，，，，由余弦定理知，，，，設(shè)點到平面的距離為，，，，設(shè)直線與平面所成角為，則．故直線與平面所成角的正弦值為．17．【分析】選擇條件①（Ⅰ）由余弦定理求出，再結(jié)合，即可求出的值，（Ⅱ）由正弦定理可得，再根據(jù)三角形的面積公式即可求出．選擇條件②（Ⅰ）根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系和正弦定理可得，再結(jié)合，即可求出的值，（Ⅱ）由兩角和的正弦公式求出，再根據(jù)三角形的面積公式即可求出．【解答】解：選擇條件①（Ⅰ）由余弦定理得，即，，，，即，聯(lián)立，解得，，故．（Ⅱ）在中，，，由正弦定理可得，，．選擇條件②（Ⅰ）在中，，，，，，，，由正弦定理可得，，，，，故；（Ⅱ）在中，，，18．【分析】（Ⅰ）根據(jù)古典概型的概率公式直接求解即可；（Ⅱ）結(jié)合（Ⅰ）及相互獨立事件同時發(fā)生的概率直接求解即可；（Ⅲ）直接寫出結(jié)論即可．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)“該校男生支持方案一”為事件，“該校女生支持方案一”為事件，則；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，設(shè)“這3人中恰有2人支持方案一”為事件，則；（Ⅲ）．19．【分析】（Ⅰ）求得的導(dǎo)數(shù)，設(shè)切點為，可得切線的斜率，解方程可得，，進(jìn)而得到切線的方程；（Ⅱ）求得切線的斜率和方程，分別令，，求得切線的橫截距和縱截距，可得三角形的面積，考慮的情況，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間、極值，然后求出的最小值．【解答】解：（Ⅰ）的導(dǎo)數(shù)，令切點為，可得切線的斜率為，，，切線的方程為；（Ⅱ）曲線在點，處的切線的斜率為，切線方程為，令，可得，令，可得，，由，可知為偶函數(shù)，不妨設(shè)，則，，由，得，當(dāng)時，，遞增；當(dāng)時，，遞減，則在處取得極小值，且為最小值32，所以的最小值為32．20．【分析】（Ⅰ）由題意可得，解得，，即可求出橢圓方程；（Ⅱ）設(shè)直線方程為，設(shè)，，，，可得直線的方程為，直線的方程為，分別令，求出，，代入化簡整理即可求出．【解答】解：（Ⅰ）橢圓過點，且，則，解得，，橢圓方程為，（Ⅱ）由題意可得直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，由，消整理可得，△，解得，設(shè)，，，，，，則直線的方程為，直線的方程為，分別令，可得，，，，故．21．【分析】（Ⅰ）由，即可知道不滿足性質(zhì)．（Ⅱ）對于任意的和，滿足，，必存在，可得滿足性質(zhì)①；對于任意的，欲滿足，即可，必存在有一組，使得它成立，故滿足性質(zhì)②．（Ⅲ）先用反證法證明數(shù)列必然恒正或恒負(fù)，再用數(shù)學(xué)歸納法證明也是等比數(shù)列，即可．【解答】解：（Ⅰ）不滿足，理由：，不存在一項使得．（Ⅱ）數(shù)列同時滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，理由：對于任意的和，滿足，因為，且，所以，則必存在，此時，且滿足，性質(zhì)①成立，對于任意的，欲滿足，滿足即可，因為，，且，所以可表示所有正整數(shù)，所以必有一組，使，即滿足，性質(zhì)②成立．（Ⅲ）首先，先證明數(shù)列恒正或恒負(fù)，反證法：假設(shè)這個遞增數(shù)列先負(fù)后正，那么必有一項絕對值最小或者有與同時取得絕對值最小值，如僅有一項絕對值最小，此時必有一項，此時與前提矛盾，如有兩項與同時取得絕對值最小值，那么必有，此時，與前提條件矛盾，所以