《冪函數(shù)》示范公開課教案【高中數(shù)學(xué)蘇教版】

第6章冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)6.1冪函數(shù)教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)1.了解冪函數(shù)的概念.2.掌握y＝xαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＝－1，\f(1,2)，1，2，3))的圖象與性質(zhì).3.理解和掌握冪函數(shù)在第一象限的分類特征，能運用數(shù)形結(jié)合的方法處理冪函數(shù)的有關(guān)問題．教學(xué)重難點教學(xué)重難點教學(xué)重點：冪函數(shù)圖象與性質(zhì)的理解．教學(xué)難點：掌握冪函數(shù)在第一象限的分類特征．

課前準(zhǔn)備課前準(zhǔn)備PPT課件．教學(xué)過程教學(xué)過程一、整體概覽問題1：閱讀課本第130頁，回答下列問題：（1）本章將要研究哪類問題？（2）本章研究的起點是什么？目標(biāo)是什么？師生活動：學(xué)生帶著問題閱讀課本，老師指導(dǎo)學(xué)生概括總結(jié)章引言的內(nèi)容．預(yù)設(shè)的答案：（1）本章將要研究冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)．（2）起點是函數(shù)的概念，目標(biāo)是教會學(xué)生通過畫冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象，學(xué)會觀察函數(shù)的圖象，借助函數(shù)的圖象來研究函數(shù)性質(zhì)并解決相關(guān)的問題．設(shè)計意圖：通過章引言的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生明晰下一階段的學(xué)習(xí)目標(biāo)，初步搭建學(xué)習(xí)內(nèi)容的框架．二、新課導(dǎo)入數(shù)學(xué)史上很早就借用“冪”字，起先用于表示面積，后來擴充為表示平方或立方．1859年中國清末大數(shù)學(xué)家李善蘭(1811～1882)譯成《代微積拾級》一書，創(chuàng)設(shè)了不少數(shù)學(xué)專有名詞，如函數(shù)、極限、微分、積分等，并把“Power”這個詞譯為“冪”．這樣“冪”就轉(zhuǎn)譯為若干個相同數(shù)之積．大約到15世紀(jì)，人們才意識到要用一個縮寫的方式來表示若干個相同數(shù)的乘積．直到17世紀(jì)才開始出現(xiàn)在冪的符號中將指數(shù)與底數(shù)分開來表示的趨勢．1636年蘇格蘭人休姆(Hume)引進了一種較好的記法，他用羅馬數(shù)字表示指數(shù)，寫在底數(shù)的右上角，如“A4”寫作“AⅣ”，這種記法與現(xiàn)在相比較，除了數(shù)字采用羅馬數(shù)字外，其余完全一樣．一年以后，法國數(shù)學(xué)家笛卡兒將其進行了改進，把羅馬數(shù)字改用阿拉伯?dāng)?shù)字，成了今天的樣子．此后由英國數(shù)學(xué)家渥里斯(Wallis,1616～1703)、牛頓等人分別引入負(fù)指數(shù)冪和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念及符號，從而使冪的概念及符號發(fā)展得更完備了．那么，什么是冪？冪與an引語：要解決這個問題，就需要進一步學(xué)習(xí)冪函數(shù)．（板書：6.1冪函數(shù)）設(shè)計意圖：情境導(dǎo)入，引入新課．【探究新知】問題1：閱讀教材第131頁，回答所給的三個函數(shù)有什么共同特征？師生活動：學(xué)生閱讀分析，給出答案．預(yù)設(shè)的答案：解析式都是指數(shù)冪的形式，且冪底數(shù)是自變量，冪指數(shù)是常數(shù)．追問：冪函數(shù)的特征是什么？預(yù)設(shè)的答案：(1)以冪的底為自變量，指數(shù)為常數(shù)(高中階段只學(xué)習(xí)指數(shù)為有理數(shù)的冪函數(shù))；(2)xα前的系數(shù)為1，且只有一項．問題2：在同一坐標(biāo)系中，試作出冪函數(shù)y＝x，，y＝x2，y＝x3，y＝x-1的圖象．師生活動：學(xué)生分析，給出答案．預(yù)設(shè)的答案：追問1：在第一象限，圖象有何特點？預(yù)設(shè)的答案：都過點(1,1)；只有y＝x-1隨x增大而減小，但不與x軸相交，其他的都隨x增大而增大．追問2：一般冪函數(shù)的圖象特征有哪些？(1)所有的冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義，并且圖象都過點(1,1)；(2)當(dāng)α>0時，冪函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，并且在區(qū)間[0，＋∞)上是增函數(shù)．特別地，當(dāng)α>1時，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)0<α<1時，冪函數(shù)的圖象上凸；(3)當(dāng)α<0時，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)；(4)冪指數(shù)互為倒數(shù)的冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱；(5)在第一象限，作直線x＝a(a>1)，它同各冪函數(shù)圖象相交，按交點從下到上的順序，冪指數(shù)按從小到大的順序排列．設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生分析和歸納的能力．【鞏固練習(xí)】例1.(1)下列函數(shù)：①y＝x3；②y＝；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)．其中冪函數(shù)的個數(shù)為()A．1B．2C．3D．4(2)若f(x)＝(m2－4m－4)xm是冪函數(shù)，則m＝________．師生活動：學(xué)生分析解題思路，給出答案．預(yù)設(shè)的答案：(1)冪函數(shù)有①⑥兩個；(2)因為f(x)是冪函數(shù)，所以m2－4m－4＝1，即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1.設(shè)計意圖：熟悉冪函數(shù)的概念，并能正確判斷函數(shù)是冪函數(shù)．例2.點(，3)與點分別在冪函數(shù)f(x)，g(x)的圖象上，問當(dāng)x分別為何值時，有f(x)>g(x)；f(x)＝g(x)；f(x)<g(x)?師生活動：學(xué)生分析解題思路，給出答案．預(yù)設(shè)的答案：設(shè)f(x)＝xα，g(x)＝xβ．因為()α＝3，(－2)β＝－，所以α＝2，β＝－1，所以f(x)＝x2，g(x)＝x-1．分別作出它們的圖象，如圖所示．由圖象知，當(dāng)x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)時，f(x)>g(x)；當(dāng)x＝1時，f(x)＝g(x)；當(dāng)x∈(0,1)時，f(x)<g(x)．設(shè)計意圖：熟悉冪函數(shù)的圖象，并能運用冪函數(shù)的圖象解決問題．例3.比較下列各題中兩個冪的值的大小：（1）；（2）；（3）．師生活動：學(xué)生分析解題思路，給出答案．預(yù)設(shè)的答案：（1）∵為上的增函數(shù)，且，∴．（2）∵為上的減函數(shù)，且，∴．（3）∵為R上的偶函數(shù)，∴．又函數(shù)為上的增函數(shù)，且，∴，即．設(shè)計意圖：利用冪函數(shù)的性質(zhì)比較大小．【課堂小結(jié)】1.板書設(shè)計：6.1冪函數(shù)1.冪函數(shù)的概念例12.冪函數(shù)的圖像與應(yīng)用例23.冪函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例32．總結(jié)概括：問題：1.如何判斷函數(shù)是否是冪函數(shù)？2.解決冪函數(shù)圖象問題應(yīng)把握的原則是什么？3.比較冪值大小的基本方法有哪些？師生活動：學(xué)生嘗試總結(jié)，老師適當(dāng)補充．預(yù)設(shè)的答案：1.判斷函數(shù)為冪函數(shù)的方法：(1)自變量x前的系數(shù)為1；(2)底數(shù)為自變量x；(3)指數(shù)為常數(shù)．2.解決冪函數(shù)圖象問題應(yīng)把握的兩個原則：(1)依據(jù)圖象高低判斷冪指數(shù)大小，相關(guān)結(jié)論為：在上，指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為指大圖低)；在上，指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸（簡記為指大圖高）；(2)依據(jù)圖象確定冪指數(shù)α與0，1的大小關(guān)系，即根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象(類似于y＝x-1或y＝或y＝x3)來判斷．3.比較冪值大小的兩種基本方法設(shè)計意圖：通過梳理本節(jié)課的內(nèi)容，能讓學(xué)生更加明確冪函數(shù)的有關(guān)知識．【目標(biāo)檢測】1.已知點在冪函數(shù)圖像上，則的表達(dá)式為（）A． B． C． D．設(shè)計意圖：鞏固冪函數(shù)的概念．2.若冪函數(shù)在上是減函數(shù)，則實數(shù)的值是（）A．或3 B．3 C． D．0設(shè)計意圖：鞏固冪函數(shù)的性質(zhì)．3.有四個冪函數(shù)：①；②；③；④，某向?qū)W研究了其中的一個函數(shù)，并給出這個函數(shù)的三個性質(zhì)：（1）為偶函數(shù)；（2）的值域為；（3）在上是增函數(shù).如果給出的三個性質(zhì)中，有兩個正確，一個錯誤，則他研究的函數(shù)是（）A．① B．② C．③ D．④設(shè)計意圖：鞏固冪函數(shù)的性質(zhì)．4.冪函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則__________．設(shè)計意圖：鞏固冪函數(shù)的性質(zhì)．5.比較下列各組中冪值的大?。?1)0.213,0.233；(2)1.2，0.9，.設(shè)計意圖：鞏固冪函數(shù)的性質(zhì)，并運用比較大小．6.已知冪函數(shù)，經(jīng)過點，試確定的值，并求滿足條件的實數(shù)的取值范圍．設(shè)計意圖：鞏固冪函數(shù)的性質(zhì)．參考答案：1.設(shè)，由條件可知，所以，所以，故選：B．2.因為冪函數(shù)在上是減函數(shù)，所以，由，得或，當(dāng)時，，所以舍去，當(dāng)時，，所以，故選：B．3.對于①，函數(shù)為偶函數(shù)，且，該函數(shù)的值域為，函數(shù)在上為減函數(shù)，該函數(shù)在上為增函數(shù)，①滿足條件；對于②，函數(shù)為奇函數(shù)，且，該函數(shù)的值域為，函數(shù)在上為減函數(shù)，②不滿足條件；對于③，函數(shù)的定義域為，且，該函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時，；當(dāng)時，，則函數(shù)的值域為，函數(shù)在上為增函數(shù)，該函數(shù)在上也為增函數(shù)，③不滿足條件；對于④，函數(shù)為奇函數(shù)，且函數(shù)的值域為，該函數(shù)在上為增函數(shù)，④不滿足條件．故選：A．4.因冪函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則，解得，而，則0