微分差分方程建模講座

微分差分方程建模講座第1頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六1、微分方程的主要適用范圍

我們所關(guān)心的研究對(duì)象的特征，會(huì)隨時(shí)間(空間)的變化而變化，這種變化可以是連續(xù)的，也可以是不連續(xù)的。

一般來說，如果判斷研究對(duì)象的某些特征可能會(huì)關(guān)于時(shí)間、空間連續(xù)，那么應(yīng)該重點(diǎn)考慮利用微分方程建立模型，至少可以利用微分方程建立某些子問題的模型。比如，問題中涉及到：(1)物體的運(yùn)動(dòng)、振動(dòng)、受力形變(2)生物(動(dòng)植物、微生物)的數(shù)量變化或密度變化(3)物質(zhì)、能量的擴(kuò)散、傳遞(4)消費(fèi)品在市場(chǎng)上的銷售過程(5)信息的擴(kuò)散與傳播導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)軌跡測(cè)算，運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的跟蹤與攔截；高層建筑、橋梁的防震、防強(qiáng)風(fēng)設(shè)計(jì)；橋梁、微型手術(shù)器械的形變與控制，彈性桿受力形變自然環(huán)境中植物的生長，兩種或多種生物之間的相互依賴、促進(jìn)，食物鏈問題；動(dòng)植物、微生物在環(huán)境中的擴(kuò)散與增長；傳染病的傳播與控制粉塵、煙霧、化學(xué)物質(zhì)在空氣、水、土壤中的擴(kuò)散與沉積，化學(xué)反應(yīng)過程的描述，熱量在同種或不同物質(zhì)間的傳導(dǎo)第2頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六比如，問題中涉及到：(1)物體的運(yùn)動(dòng)、振動(dòng)、受力形變；(2)生物(動(dòng)植物、微生物)的數(shù)量變化或密度變化；(3)物質(zhì)、能量的擴(kuò)散、傳遞；(4)消費(fèi)品在市場(chǎng)上的銷售過程；(5)信息的擴(kuò)散與傳播。導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)軌跡測(cè)算，運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的跟蹤與攔截；高層建筑、橋梁的防震、防強(qiáng)風(fēng)設(shè)計(jì)；橋梁、微型手術(shù)器械的形變與控制，彈性桿受力形變自然環(huán)境中植物的生長，兩種或多種生物之間的相互依賴、促進(jìn)，食物鏈問題；動(dòng)植物、微生物在環(huán)境中的擴(kuò)散與增長；傳染病的傳播與控制粉塵、煙霧、化學(xué)物質(zhì)在空氣、水、土壤中的擴(kuò)散與沉積，化學(xué)反應(yīng)過程的描述，熱量在同種或不同物質(zhì)間的傳導(dǎo)如果研究的是事物在一段時(shí)間內(nèi)的變化情況，或者說在這個(gè)過程中發(fā)生了什么————微分方程的求解和求數(shù)值解如果研究的是事物未來的發(fā)展趨勢(shì)，穩(wěn)態(tài)情形，或者無法/無須獲得精確的解————可以利用微分方程幾何理論2、微分方程模型的分析方法第3頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六3、建立微分方程模型的依據(jù)根據(jù)問題的背景資料，或者我們自己查到的資料，隨著時(shí)間/空間的變化，問題中的某些指標(biāo)的變化情況，與另外一些指標(biāo)的數(shù)值或變化情況呈現(xiàn)比例關(guān)系，或其他的簡單函數(shù)關(guān)系，則可以據(jù)此建立微分方程模型。建立微分方程模型時(shí)，需要注意：所建立的方程或方程組應(yīng)滿足守恒定律；如果希望得到解析解進(jìn)行深入分析，則盡量簡化方程；注意掌握微分方程幾何理論，用于做定性的討論；如果建立的是差分方程模型，也可以粗略的轉(zhuǎn)化為微分方程進(jìn)行定性討論；微分方程屬于比較理想化的建模方法，適合用于定性討論或精度要求不高的情形下。第4頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六4、案例－消費(fèi)品在市場(chǎng)上的銷售過程新產(chǎn)品入市之后，如果對(duì)銷量進(jìn)行預(yù)測(cè)？或者說，如何描述新產(chǎn)品占領(lǐng)市場(chǎng)的過程？設(shè)需求量有一個(gè)上界，并記此上界為K，記t時(shí)刻已銷售出的產(chǎn)品數(shù)量為x(t)，則尚未使用的人數(shù)大致為K－x(t)，則基于阻滯增長模型，可以認(rèn)為：記比例系數(shù)為k：研究機(jī)構(gòu)預(yù)測(cè)某種商品近期的銷量時(shí)，一般采用線性估計(jì)辦法給出銷量區(qū)間。如果希望預(yù)測(cè)較長時(shí)間內(nèi)的銷量，則可以采用上面的形式。第5頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六在預(yù)測(cè)商品的銷量時(shí)，連續(xù)性模型一般不便于使用，采用離散形式的阻滯增長模型更方便一些。如果考慮更復(fù)雜一些的情形，比如部分早期用戶更新對(duì)銷量的影響，可以采用時(shí)滯微分方程。第6頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六考慮早期用戶更新的因素，可以采用時(shí)滯微分方程。搜集數(shù)據(jù)，計(jì)算方程中的參數(shù)，即可得到銷量的遞推公式第7頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六求解時(shí)滯微分方程求解需要初始條件！求解需要初始條件！已知過去一段時(shí)間的情況，希望了解將來。根據(jù)已知的數(shù)據(jù)，推算過去發(fā)生了什么。第8頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六5、微分方程定性分析方法簡介不求解，直接分析解的一些性態(tài)。1、x只能取正值；2、x<N；3、r和N均為正數(shù)。結(jié)論：1、隨著時(shí)間增加，x

始終單調(diào)遞增；2、時(shí)間趨于無窮時(shí)，x

無限逼近N；3、可以大致繪出解的曲線。xx0NtN/2tm第9頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六xt第10頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六xy2x+4y=0第11頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六

希望知道時(shí)間充分長以后會(huì)如何，即研究事物最終的發(fā)展趨勢(shì)。6、穩(wěn)定性模型比如，前面提到的：(1)物體的運(yùn)動(dòng)、振動(dòng)、受力形變——極限是什么？(2)生物(動(dòng)植物、微生物)的量變或密度變化——穩(wěn)定狀態(tài)？(3)物質(zhì)、能量的擴(kuò)散、傳遞——均衡狀態(tài)是怎樣的？(4)消費(fèi)品在市場(chǎng)上的銷售過程——市場(chǎng)容量是多少？(5)信息的擴(kuò)散與傳播——最大影響范圍是什么？(1)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)穩(wěn)定下來之后會(huì)是什么情形？長期受力的結(jié)果是什么？(2)對(duì)生態(tài)系統(tǒng)放任自流，或者加以干涉，最終會(huì)導(dǎo)致什么后果？第12頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六比如，前面提到的：(1)物體的運(yùn)動(dòng)、振動(dòng)、受力形變(2)生物(動(dòng)植物、微生物)的數(shù)量變化或密度變化(3)物質(zhì)、能量的擴(kuò)散、傳遞(4)消費(fèi)品在市場(chǎng)上的銷售過程(5)信息的擴(kuò)散與傳播(3)如果不斷有物質(zhì)或能量的補(bǔ)充，那么最終物質(zhì)和能量的分布情況如何？(4)商品不斷銷售，用戶也會(huì)報(bào)廢舊品，最終穩(wěn)定下來的市場(chǎng)銷量會(huì)是多少？(5)如果對(duì)信息的擴(kuò)散與傳播加以干涉，那么信息最后的分布情況如何？第13頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六考慮各種因素的微分方程建模北京理工大學(xué)王宏洲第14頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六(1)指數(shù)增長模型x(t)~時(shí)刻t的人口基本假設(shè)

:人口(相對(duì))增長率r

是常數(shù)隨著時(shí)間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長第15頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六(2)阻滯增長模型(Logistic模型)人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對(duì)人口增長的阻滯作用且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設(shè)r~固有增長率(x很小時(shí))xm~人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）r是x的減函數(shù)第16頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲線,x增加先快后慢x0xm/2阻滯增長模型(Logistic模型)第17頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六(3)考慮外界突發(fā)干擾前面介紹的模型沒有考慮突發(fā)的外界干擾，諸如戰(zhàn)爭、自然災(zāi)害、傳染病等造成的人口數(shù)量驟變。這些因素偶然性很大，不過放在較長的時(shí)間段來看，可以近似的看作有一定規(guī)律的脈沖性影響。比如古代中國每隔若干年，黃河都會(huì)泛濫，造成人口損失。脈沖微分方程第18頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六(3)考慮外界突發(fā)干擾再比如人類監(jiān)測(cè)發(fā)現(xiàn)田鼠、蝗蟲多到一定數(shù)量時(shí)，會(huì)采取大規(guī)模殺滅行動(dòng)。第19頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六