2020版高考數(shù)學(xué)（文）新設(shè)計(jì)一輪復(fù)習(xí)通用版講義第一章第一節(jié)　集合

第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)第一節(jié)集合[考綱要求]1．了解集合的含義，體會(huì)元素與集合的屬于關(guān)系．2．能用自然語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、集合語(yǔ)言(列舉法或描述法)描述不同的具體問(wèn)題．3．理解集合之間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集．4．在具體情境中，了解全集與空集的含義．5．理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，會(huì)求兩個(gè)簡(jiǎn)單集合的并集與交集．6．理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，會(huì)求給定子集的補(bǔ)集．7．能使用韋恩(Venn)圖表達(dá)集合間的關(guān)系及集合運(yùn)算．突破點(diǎn)一集合的概念與集合間的基本關(guān)系eq\a\vs4\al([基本知識(shí)])1．集合的有關(guān)概念(1)集合元素的特性：確定性、互異性、無(wú)序性．(2)集合與元素的關(guān)系：若a屬于集合A，記作a∈A；若b不屬于集合A，記作b?A.(3)集合的表示方法：列舉法、描述法、圖示法．2．集合間的基本關(guān)系表示關(guān)系文字語(yǔ)言記法集合間的基本關(guān)系子集集合A中任意一個(gè)元素都是集合B中的元素A?B或B?A真子集集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個(gè)元素不屬于AAB或BA相等集合A中的每一個(gè)元素都是集合B中的元素，集合B中的每一個(gè)元素也都是集合A中的元素A?B且B?A?A＝B空集空集是任何集合的子集??A空集是任何非空集合的真子集?B且B≠?eq\a\vs4\al([基本能力])一、判斷題(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)(1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．()(2)若{x2,1}＝{0,1}，則x＝0,1.()(3)?∈{0}．()答案：(1)×(2)×(3)×二、填空題1．已知集合P＝{－2，－1,0,1}，集合Q＝{y|y＝|x|，x∈P}，則Q＝________.解析：將x＝－2，－1,0,1分別代入y＝|x|中，得到y(tǒng)＝2,1,0，故Q＝{2,1,0}．答案：{2,1,0}2．已知非空集合A滿足：①A?{1,2,3,4}；②若x∈A，則5－x∈A.則滿足上述要求的集合A的個(gè)數(shù)為________．解析：由題意，知滿足題中要求的集合A可以是{1,4}，{2,3}，{1,2,3,4}，共3個(gè)．答案：33．設(shè)集合M＝{1，x，y}，N＝{x，x2，xy}，且M＝N，則x2019＋y2020＝________.解析：因?yàn)镸＝N，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝1，,xy＝y(tǒng)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝y(tǒng)，,xy＝1，))由集合中元素的互異性，可知x≠1，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝0.))所以x2019＋y2020＝－1.答案：－14．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且僅有2個(gè)子集，則a的值是________．解析：因?yàn)榧螦有且只有2個(gè)子集，所以A僅有一個(gè)元素，即方程ax2＋2x＋a＝0(a∈R)僅有一個(gè)根．①當(dāng)a＝0時(shí)，A＝{0}符合題意；②當(dāng)a≠0時(shí)，要滿足題意，需有Δ＝4－4a2＝0，即a＝±1.綜上所述，a＝0或a＝±1.答案：0或±1eq\a\vs4\al([典例感悟])1．(2019·廈門一中模擬)設(shè)集合M＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}，P＝{y|y＝2m，m∈Z}，若x0∈M，y0∈P，a＝x0＋y0，b＝x0y0，則()A．a(chǎn)∈M，b∈P B．a(chǎn)∈P，b∈MC．a(chǎn)∈M，b∈M D．a(chǎn)∈P，b∈P解析：選A設(shè)x0＝2n＋1，y0＝2k，n，k∈Z，則x0＋y0＝2n＋1＋2k＝2(n＋k)＋1∈M，x0y0＝2k(2n＋1)＝2(2nk＋k)∈P，即a∈M，b∈P，故選A.2．(2019·廣州模擬)已知集合{x|x2＋ax＝0}＝{0,1}，則實(shí)數(shù)a的值為()A．－1 B．0C．1 D．2解析：選A依題意知a≠0，則{0，－a}＝{0,1}，所以a＝－1.故選A.3．(2019·湖南長(zhǎng)郡中學(xué)選拔考試)已知集合A＝{0}，B＝{－1,0,1}，若A?C?B，則符合條件的集合C的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．4 D．8解析：選C由題意得，含有元素0且是集合B的子集的集合有{0}，{0，－1}，{0,1}，{0，－1,1}，即符合條件的集合C共有4個(gè)．eq\a\vs4\al([方法技巧])1．與集合概念有關(guān)問(wèn)題的求解策略(1)確定構(gòu)成集合的元素是什么，即確定性．(2)看這些元素的限制條件是什么，即元素的特征性質(zhì)．(3)根據(jù)元素的特征性質(zhì)求參數(shù)的值或范圍，或確定集合中元素的個(gè)數(shù)，要注意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿足互異性．2．判斷集合間關(guān)系的常用方法列舉法根據(jù)題中限定條件把集合元素表示出來(lái)，然后比較集合元素的異同，從而找出集合之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)法從元素的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)入手，結(jié)合通分、化簡(jiǎn)、變形等技巧，從元素結(jié)構(gòu)上找差異進(jìn)行判斷數(shù)軸法在同一個(gè)數(shù)軸上表示出兩個(gè)集合(集合為數(shù)集)，比較端點(diǎn)之間的大小關(guān)系，從而確定集合與集合之間的關(guān)系合的子集、真子集的個(gè)數(shù)含有n(n∈N*)個(gè)元素的集合有2n個(gè)子集，有2n－1個(gè)非空子集，有2n－1個(gè)真子集，有2n－2個(gè)非空真子集．eq\a\vs4\al([針對(duì)訓(xùn)練])1．設(shè)集合A＝{0,1,2,3}，B＝{x|－x∈A,1－x?A}，則集合B中元素的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4解析：選A若x∈B，則－x∈A，故x只可能是0，－1，－2，－3，當(dāng)0∈B時(shí)，1－0＝1∈A；當(dāng)－1∈B時(shí)，1－(－1)＝2∈A；當(dāng)－2∈B時(shí)，1－(－2)＝3∈A；當(dāng)－3∈B時(shí)，1－(－3)＝4?A，所以B＝{－3}，故集合B中元素的個(gè)數(shù)為1.2．(2019·貴陽(yáng)高三檢測(cè))設(shè)集合P＝{x|x<1}，Q＝{x|x2<1}，則()A．P?Q B．Q?PC．P??RQ D．Q??RP解析：選B依題意得Q＝{x|－1<x<1}，因此Q?P.3．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________．解析：∵B?A，∴①若B＝?，則2m－1<m＋1，此時(shí)m<2.②若B≠?，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1≥m＋1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5.))解得2≤m≤3.由①②可得，符合題意的實(shí)數(shù)m的取值范圍為(－∞，3]．答案：(－∞，3]突破點(diǎn)二集合的基本運(yùn)算eq\a\vs4\al([基本知識(shí)])1．集合的三種基本運(yùn)算符號(hào)表示圖形表示符號(hào)語(yǔ)言集合的并集A∪BA∪B＝{x|x∈A，或x∈B}集合的交集A∩BA∩B＝{x|x∈A，且x∈B}集合的補(bǔ)集若全集為U，則集合A的補(bǔ)集為?UA?UA＝{x|x∈U，且x?A}(1)A∩A＝A，A∩?＝?.(2)A∪A＝A，A∪?＝A.(3)A∩?UA＝?，A∪?UA＝U，?U(?UA)＝A.(4)A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??UA??UB?A∩(?UB)＝?.eq\a\vs4\al([基本能力])一、判斷題(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)(1)對(duì)于任意兩個(gè)集合A，B，關(guān)系(A∩B)?(A∪B)恒成立．()(2)若集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,))\f(1,x)>0))，則?RA＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,))\f(1,x)≤0)).()(3)設(shè)集合U＝{x|－3<x<3，x∈Z}，A＝{1,2}，B＝{－2，－1，2}，則A∩(?UB)＝{1}．()答案：(1)√(2)×(3)√二、填空題1．(2018·江蘇高考)已知集合A＝{0,1,2,8}，B＝{－1,1,6,8}，那么A∩B＝____________.答案：{1,8}2．已知集合A＝{x|－2≤x<3}，B＝{x|x<－1}，則A∩(?RB)＝____________.解析：因?yàn)锽＝{x|x<－1}，則?RB＝{x|x≥－1}，所以A∩(?RB)＝{x|－2≤x<3}∩{x|x≥－1}＝{x|－1≤x<3}．答案：{x|－1≤x<3}3．(2019·合肥模擬)已知集合A，B均為全集U＝{1,2,3,4}的子集，且?U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，則A∩(?UB)＝________.解析：由題意，知A∪B＝{1,2,3}．又B＝{1,2}，∴?UB＝{3,4}，∴A∩(?UB)＝{3}．答案：{3}4．(2019·淮南二中調(diào)研)已知全集U＝R，集合A＝{x|x<3或x≥7}，B＝{x|x<a}．若(?UA)∩B≠?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．解析：因?yàn)锳＝{x|x<3或x≥7}，所以?UA＝{x|3≤x<7}，又(?UA)∩B≠?，則a>3.答案：(3，＋∞)eq\a\vs4\al([典例感悟])1．(2019·衡水模擬)已知集合A＝{x|－x2＋4x≥0}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,81)<3x<27))))，C＝{x|x＝2n，n∈N}，則(A∪B)∩C＝()A．{2,4} B．{0,2}C．{0,2,4} D．{0,4}解析：選C集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{x|－4<x<3}，故A∪B＝{x|－4<x≤4}，集合C表示非負(fù)偶數(shù)，故(A∪B)∩C＝{0,2,4}，故選C.2.(2019·太原階段性測(cè)評(píng))設(shè)集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|y＝eq\r(x2－1)}，則圖中陰影部分所表示的集合為()A．{1} B．{0}C．{－1,0} D．{－1,0,1}解析：選B由題意得圖中陰影部分表示的集合為A∩(?RB)．∵B＝{x|y＝eq\r(x2－1)}＝{x|x2－1≥0}＝{x|x≥1或x≤－1}，∴?RB＝{x|－1<x<1}，∴A∩(?RB)＝{0}，故選B.3．設(shè)P，Q為兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合，定義集合P*Q＝{z|z＝ab，a∈P，b∈Q}，若P＝{1,2}，Q＝{－1,0,1}，則集合P*Q中元素的個(gè)數(shù)是()A．2 B．3C．4 D．5解析：選B因?yàn)閍∈P，b∈Q，所以a的取值只能為1,2；b的取值只能為－1,0,1.z＝ab的不同運(yùn)算結(jié)果如下表所示：ba－10111112eq\f(1,2)12由上表可知P*Q＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，2))，顯然該集合中共有3個(gè)不同的元素．eq\a\vs4\al([方法技巧])1．集合基本運(yùn)算的求解策略求解思路一般是先化簡(jiǎn)集合，再由交、并、補(bǔ)的定義求解求解原則一般是先算括號(hào)里面的，然后再按運(yùn)算順序求解求解思想注重?cái)?shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，利用好數(shù)軸、Venn圖等耐心閱讀，分析含義，準(zhǔn)確提取信息是解決這類問(wèn)題的前提，剝?nèi)バ露x、新法則、新運(yùn)算的外表，利用所學(xué)的集合性質(zhì)等知識(shí)將陌生的集合轉(zhuǎn)化為我們熟悉的集合，是解決這類問(wèn)題的突破口．eq\a\vs4\al([針對(duì)訓(xùn)練])1．(2018·全國(guó)卷Ⅲ)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，則A∩B＝()A．{0} B．{1}C．{1,2} D．{0,1,2}解析：選C∵A＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}，B＝{0,1,2}，∴A∩B＝{1,2}．2．(2018·全國(guó)卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，則?RA＝()A．{x|－1<x<2} B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x<－1}∪{x|x>2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}解析：選B∵x2－x－2>0，∴(x－2)(x＋1)>0，∴x>2或x<－1，即A＝{x|x>2或x<－1}．則?RA＝{x|－1≤x≤2}．故選B.3．已知集合A＝{x|x2－3x－10<0}，B＝{x|y＝ln(x－2)}，則A∩(?RB)＝()A．(2,5) B．[2,5)C．(－2,2] D．(－2,2)解析：選C解一元二次不等式x2－3x－10<0，得－2<x<5，∴A＝{x|－2<x<5}．由y＝ln(x－2)可知x－2>0，即x>2，∴B＝{x|x>2}，因此?RB＝{x|x≤2}，則A∩(?RB)＝(－2,2]．故選C.4．已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1,3}，定義集合A，B之間的運(yùn)算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，則A*B中的所有元素之和為()A．15 B．16C．20 D．21解析：選D由x2－2x－3≤0，得(x＋1)(x－3)≤0，又x∈N，故集合A＝{0,1,2,3}．∵A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，∴A*B中的元素有0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，∴A*B＝{1,2,3,4,5,6}，∴A*B中的所有元素之和為21.[課時(shí)跟蹤檢測(cè)]1．已知集合M＝{x|x2＋x－2＝0}，N＝{0,1}，則M∪N＝()A．{－2,0,1} B．{1}C．{0} D．?解析：選A集合M＝{x|x2＋x－2＝0}＝{x|x＝－2或x＝1}＝{－2,1}，N＝{0,1}，則M∪N＝{－2,0,1}．故選A.2．(2018·浙江高考)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，則?UA＝()A．? B．{1,3}C．{2,4,5} D．{1,2,3,4,5}解析：選C∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，∴?UA＝{2,4,5}．3．(2019·衡水模擬)已知集合A＝{x|y＝eq\r(x2－2x)}，B＝{y|y＝x2＋1}，則A∩B＝()A．[1，＋∞) B．[2，＋∞)C．(－∞，0]∪[2，＋∞) D．[0，＋∞)解析：選B由于集合A＝{x|y＝eq\r(x2－2x)}表示的是函數(shù)y＝eq\r(x2－2x)的定義域，所以由x2－2x≥0可知集合A＝{x|x≤0或x≥2}．集合B＝{y|y＝x2＋1}表示的是函數(shù)y＝x2＋1的值域，因此B＝{y|y≥1}．∴A∩B＝[2，＋∞)．故選B.4．(2019·河北五個(gè)一名校聯(lián)考)若集合A＝{x|3＋2x－x2>0}，集合B＝{x|2x<2}，則A∩B等于()A．(1,3) B．(－∞，－1)C．(－1,1) D．(－3,1)解析：選C依題意，可求得A＝(－1,3)，B＝(－∞，1)，∴A∩B＝(－1,1)．5．(2019·浙江五校聯(lián)考)設(shè)全集U＝R，集合A＝{x|x≥3}，B＝{x|0≤x<5}，則(?UA)∩B＝()A．{x|0<x<3} B．{x|0≤x≤3}C．{x|0<x≤3} D．{x|0≤x<3}解析：選D由題意得?UA＝{x|x<3}，所以(?UA)∩B＝{x|0≤x<3}，故選D.6．(2019·長(zhǎng)沙模擬)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|x2－3x＋a＝0，a∈A}，若A∩B≠?，則a的值為()A．1 B．2C．3 D．1或2解析：選B當(dāng)a＝1時(shí)，x2－3x＋1＝0，無(wú)整數(shù)解，則A∩B＝?；當(dāng)a＝2時(shí)，B＝{1,2}，A∩B＝{1,2}≠?；當(dāng)a＝3時(shí)，B＝?，A∩B＝?.因此實(shí)數(shù)a＝2.7.(2019·資陽(yáng)模擬)設(shè)全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x－3<0}，B＝{x|x－1≥0}，則圖中陰影部分所表示的集合為()A．{x|x≤－1或x≥3}B．{x|x<1或x≥3}C．{x|x≤1}D．{x|x≤－1}解析：選D圖中陰影部分表示集合?U(A∪B)，又A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|x≥1}，∴A∪B＝{x|x>－1}，∴?U(A∪B)＝{x|x≤－1}，故選D.8．(2019·石家莊重點(diǎn)高中畢業(yè)班摸底)已知集合M＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,))xeq\a\vs4\al(|)eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(,,,,))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\a\vs4\al(|)\f(x,3)＋\f(y,2)＝1))，則M∩N＝()A．? B．{(3,0)，(0,2)}C．[－2,2] D．[－3,3]解析：選D因?yàn)榧螹＝{x|－3≤x≤3}，N＝R，所以M∩N＝[－3,3]，故選D.9．設(shè)集合A＝{x|y＝lg(－x2＋x＋2)}，B＝{x|x－a>0}，若A?B，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，－1) B．(－∞，－1]C．(－∞，－2) D．(－∞，－2]解析：選B因?yàn)榧螦＝{x|y＝lg(－x2＋x＋2)}＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x>a}，因?yàn)锳?B，所以a≤－1.10．已知全集U＝{x|－1<x<9}，A＝{x|1<x<a}，A是U的子集，若A≠?，則a的取值范圍是()A．{a|a<9} B．{a|a≤9}C．{a|a≥9} D．{a|1<a≤9}解析：選D由題意知，集合A≠?，所以a>1，又因?yàn)锳是U的子集，故需a≤9，所以a的取值范圍是{a|1<a≤9}．11．定義集合M與N的新運(yùn)算：M⊕N＝{x|x∈M或x∈N且x?M∩N}，則(M⊕N)⊕N＝()A．M∩N B．M∪NC．M D．N解析：選C按定義，M⊕N表示圖中的陰影部分，兩圓內(nèi)部的公共部分表示M∩N.(M⊕N)⊕N應(yīng)表示x∈M⊕N或x∈N且x?(M⊕N)∩N的所有x的集合，(M⊕N)∩N表示N上的陰影部分，因此(M⊕N)⊕N＝M.12．某班共40人，其中24人喜歡籃球運(yùn)動(dòng)，16人喜歡乒乓球運(yùn)動(dòng)，6人這兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都不喜歡，則喜歡籃球運(yùn)動(dòng)但不喜歡乒乓球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為()A．17 B．18C．19 D．20解析：選B記全集U為該班全體同學(xué)，喜歡籃球運(yùn)動(dòng)的記作集合A，喜歡乒乓球運(yùn)動(dòng)的記作集合B，則喜歡籃球但不喜歡乒乓球運(yùn)動(dòng)的記作A∩?UB(如圖)，故有18人．13．設(shè)A＝{1,4,2x}，B＝{1，x2}，若B?A，則x＝________.解析：由B?A，則x2＝4或x2＝2x.得x＝±2或x＝0，當(dāng)x＝－2時(shí)，A＝{1,4，－4}，B＝{1,4}，符合題意；當(dāng)x＝2時(shí)，則2x＝4，與集合的互異性相矛盾，故舍去；當(dāng)x＝0時(shí)，A＝{1,4,0}，B＝{1,0}，符合題意．綜上所述，x＝－2或x＝0.答案：－2或014．設(shè)集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(?UA)∩B＝?，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________．解析：由已知A＝{x|x≥－m}，∴?UA＝{x|x<－m}．∵B＝{x|－2<x<4}，(?UA)∩B＝?，∴－m≤－2，即m≥2.∴m的取值范圍為{m|m≥2}．答案：{m|m≥2}15．對(duì)于任意兩集合A，B，定義A－B＝{x|x∈A且x?B}，A*B＝(A－B)∪(B－A)，記A＝{y|y≥0}，B＝{x|－3≤x≤3}，則A*B＝________________.解析：由題意知A－B＝{x|x>3}，B－A＝{x|－3≤x<0}，所以A*B＝[－3,0)∪(3，＋∞)．答案：[－3,0)∪(3，＋∞)16．設(shè)[x]表示不大于x的最大整數(shù)，集合A＝{x|x2－2[x]＝3}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\a\vs4\al(|)\f(1,8)<2x<8))，則A∩B＝________.解析：因?yàn)椴坏仁絜q\f(1,8)<2x<8的解為－3<x<3，所以B＝(－3,3)．若x∈A∩B，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2[x]＝3，,－3<x<3，))所以[x]只可能取值－3，－2，－1,0,1,2.若[x]≤－2，則x2＝3＋2[x]<0，沒(méi)有實(shí)數(shù)解；若[x]＝－1，則x