2020版新設計一輪復習數(shù)學（理）江蘇專版講義第四章第八節(jié)解三角形的綜合應用

第八節(jié)解三角形的綜合應用1．仰角和俯角在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線上方時叫仰角，目標視線在水平視線下方時叫俯角．(如圖(a))2．方位角從某點的指北方向線起按順時針轉到目標方向線之間的水平夾角叫做方位角．如B點的方位角為α.(如圖(b))3．方向角正北或正南方向線與目標方向線所成的銳角，通常表達為北(南)偏東(西)××度．[小題體驗]1．如圖，設A，B兩點在河的兩岸，一測量者在A的同側，選定一點C，測出AC的距離為50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，則A，B兩點的距離為______m.答案：50eq\r(2)2．海面上有A，B，C三個燈塔，AB＝10nmile，從A望C和B成60°視角，從B望C和A成75°視角，則BC＝________nmile.答案：5eq\r(6)易混淆方位角與方向角概念：方位角是指北方向線與目標方向線按順時針之間的夾角，而方向角是正北或正南方向線與目標方向線所成的銳角．[小題糾偏]1．在某次測量中，在A處測得同一半平面方向的B點的仰角是60°，C點的俯角是70°，則∠BAC＝________.答案：130°2．若點A在點C的北偏東30°，點B在點C的南偏東60°，且AC＝BC，則點A在點B的________方向上．解析：如圖所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，所以∠CBA＝45°，而β＝30°，所以α＝90°－45°－30°＝15°.所以點A在點B的北偏西15°.答案：北偏西15°eq\a\vs4\al(考點一測量高度問題)eq\a\vs4\al(重點保分型考點——師生共研)[典例引領](2019·昆山模擬)如圖，為了測量河對岸的塔高AB，選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測量點C和D，現(xiàn)測得∠ACB＝45°，∠ADB＝30°，∠BCD＝60°，CD＝20m，則塔高AB＝________m.解析：設塔高AB＝h，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝45°，∴BC＝AB＝h，在Rt△ABD中，∵∠ADB＝30°，∴BD＝eq\r(3)h，在△BCD中，∠BCD＝60°，CD＝20，由余弦定理，得BD2＝CD2＋BC2－2CD·BCcos60°，即3h2＝400＋h2－20h，解得h＝10.答案：10[由題悟法]求解高度問題應注意的3個問題(1)在處理有關高度問題時，要理解仰角、俯角(它是在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是關鍵．(2)在實際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉化為平面問題．[即時應用]為了測量某新建的信號發(fā)射塔AB的高度，先取與發(fā)射塔底部B在同一水平面內(nèi)的兩個觀測點C，D，測得∠BDC＝60°，∠BCD＝75°，CD＝40m，并在點C的正上方E處觀測發(fā)射塔頂部A的仰角為30°，且CE＝1m，則發(fā)射塔高AB＝________m.解析：如圖，過點E作EF⊥AB，垂足為F，則EF＝BC，BF＝CE＝1，∠AEF＝30°.在△BCD中，由正弦定理得，BC＝eq\f(CD·sin∠BDC,sin∠CBD)＝eq\f(40·sin60°,sin45°)＝20eq\r(6).所以EF＝20eq\r(6)，在Rt△AFE中，AF＝EF·tan∠AEF＝20eq\r(6)×eq\f(\r(3),3)＝20eq\r(2)，所以AB＝AF＋BF＝(20eq\r(2)＋1)m.答案：20eq\r(2)＋1eq\a\vs4\al(考點二測量距離問題)eq\a\vs4\al(題點多變型考點——多角探明)[鎖定考向]研究測量距離問題，解決此問題的方法是：選擇合適的輔助測量點，構造三角形，將問題轉化為求某個三角形的邊長問題，從而利用正、余弦定理求解．常見的命題角度有：(1)兩點都不可到達；(2)兩點不相通的距離；(3)兩點間可視但有一點不可到達．[題點全練]角度一：兩點都不可到達1．(2019·蘇州調(diào)研)要測量河對岸兩個建筑物A，B之間的距離，選取相距eq\r(3)km的C，D兩點，并測得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，則A，B之間的距離為________km.解析：在△ACD中，∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝120°，∠ADC＝30°，∴∠CAD＝30°，∴AC＝CD＝eq\r(3).在△BCD中，∠BDC＝∠ADB＋∠ADC＝75°，∠BCD＝45°，∴∠CBD＝60°，∴由正弦定理，eq\f(CD,sin∠CBD)＝eq\f(BC,sin∠BDC)，解得BC＝eq\f(\r(3)sin75°,sin60°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2).在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝3＋eq\f(8＋4\r(3),4)－2×eq\r(3)×eq\f(\r(6)＋\r(2),2)×eq\f(\r(6)－\r(2),4)＝5，∴AB＝eq\r(5).答案：eq\r(5)角度二：兩點不相通的距離2．如圖所示，要測量一水塘兩側A，B兩點間的距離，其方法先選定適當?shù)奈恢肅，用經(jīng)緯儀測出角α，再分別測出AC，BC的長b，a，則可求出A，B兩點間的距離．即AB＝eq\r(a2＋b2－2abcosα).若測得CA＝400m，CB＝600m，∠ACB＝60°，則A，B兩點的距離為________m.解析：在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，所以AB2＝4002＋6002－2×400×600cos60°＝280000.所以AB＝200eq\r(7)(m)．即A，B兩點間的距離為200eq\r(7)m.答案：200eq\r(7)角度三：兩點間可視但有一點不可到達3．如圖所示，A，B兩點在一條河的兩岸，測量者在A的同側，且B點不可到達，要測出A，B的距離，其方法在A所在的岸邊選定一點C，可以測出A，C的距離m，再借助儀器，測出∠ACB＝α，∠CAB＝β，在△ABC中，運用正弦定理就可以求出AB.若測出AC＝60m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，則A，B兩點間的距離為________m.解析：∠ABC＝180°－75°－45°＝60°，所以由正弦定理得，eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)，所以AB＝eq\f(AC·sinC,sinB)＝eq\f(60×sin45°,sin60°)＝20eq\r(6)(m)．即A，B兩點間的距離為20eq\r(6)m.答案：20eq\r(6)[通法在握]求距離問題的2個注意事項(1)選定或確定要創(chuàng)建的三角形，首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知則直接求解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解．(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計算的定理．[演練沖關]1．(2019·如東中學測試)如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個出入口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD.已知某人從O沿OD走到D用了2分鐘，從D沿DC走到C用了3分鐘．若此人步行的速度為每分鐘50m，則該扇形的半徑為________m.解析：連結OC(圖略)，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°.由余弦定理得OC2＝1002＋1502－2×100×150×cos60°＝17500，解得OC＝50eq\r(7).答案：50eq\r(7)2．(2018·常州調(diào)研)一艘船以每小時15km的速度向東航行，船在A處看到一個燈塔M在北偏東60°方向，行駛4h后，船到達B處，看到這個燈塔在北偏東15°方向，這時船與燈塔的距離為________km.解析：如圖所示，依題意有AB＝15×4＝60，∠DAC＝60°，∠CBM＝15°，所以∠MAB＝30°，∠AMB＝45°.在△AMB中，由正弦定理，得eq\f(60,sin45°)＝eq\f(BM,sin30°)，解得BM＝30eq\r(2).答案：30eq\r(2)eq\a\vs4\al(考點三測量角度問題)eq\a\vs4\al(重點保分型考點——師生共研)[典例引領]在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習中，紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45°方向，相距12nmile的水面上，有藍方一艘小艇正以每小時10nmile的速度沿南偏東75°方向前進，若紅方偵察艇以每小時14nmile的速度，沿北偏東45°＋α方向攔截藍方的小艇．若要在最短的時間內(nèi)攔截住，求紅方偵察艇所需的時間和角α的正弦值．解：如圖，設紅方偵察艇經(jīng)過x小時后在C處追上藍方的小艇，則AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.根據(jù)余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos120°，解得xAC＝28，BC＝20.根據(jù)正弦定理得eq\f(BC,sinα)＝eq\f(AC,sin120°)，解得sinα＝eq\f(20sin120°,28)＝eq\f(5\r(3),14).所以紅方偵察艇所需要的時間為2小時，角α的正弦值為eq\f(5\r(3),14).[由題悟法]解決測量角度問題的3個注意事項(1)測量角度時，首先應明確方位角及方向角的含義．(2)求角的大小時，先在三角形中求出其正弦或余弦值．(3)在解應用題時，要根據(jù)題意正確畫出示意圖，通過這一步可將實際問題轉化為可用數(shù)學方法解決的問題，解題中也要注意體會正、余弦定理“聯(lián)袂”使用的優(yōu)點．[即時應用]如圖，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險，在原地等待營救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前往B處救援，求cosθ的值．解：在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800，解得BC＝20eq\r(7).由正弦定理，得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(BC,sin∠BAC)?sin∠ACB＝eq\f(AB,BC)·sin∠BAC＝eq\f(\r(21),7).由∠BAC＝120°，知∠ACB為銳角，則cos∠ACB＝eq\f(2\r(7),7).由θ＝∠ACB＋30°，得cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝eq\f(\r(21),14).一抓基礎，多練小題做到眼疾手快1．如圖，兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40°，燈塔B在觀察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的________方向上．解析：由條件及圖可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此燈塔A在燈塔B南偏西80°.答案：南偏西80°2．(2019·揚州調(diào)研)如圖，勘探隊員朝一座山行進，在前后A，B兩處觀察山頂C的仰角分別是30°和45°，兩個觀察點A，B之間的距離是100m，則此山CD的高度為________m.解析：設山高CD為x，在Rt△BCD中有：BD＝CD＝x，在Rt△ACD中有：AC＝2x，AD＝eq\r(3)x.而AB＝AD－BD＝(eq\r(3)－1)x＝100.解得x＝eq\f(100,\r(3)－1)＝50(eq\r(3)＋1)．答案：50(eq\r(3)＋1)3.(2019·南通模擬)2018年12月，為捍衛(wèi)國家主權，我國海軍在南海海域進行例行巡邏，其中一艘巡邏艦從海島A出發(fā)，沿南偏東70°的方向航行40海里后到達海島B，然后再從海島B出發(fā)，沿北偏東35°的方向航行40eq\r(2)海里后到達海島C.如果巡邏艦直接從海島A出發(fā)到海島C，則航行的路程為________海里．解析：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示．在△ABC中，∠ABC＝70°＋35°＝105°，AB＝40，BC＝40eq\r(2).根據(jù)余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝402＋(40eq\r(2))2－2×40×40eq\r(2)×eq\f(\r(2)－\r(6),4)＝400(8＋4eq\r(3))＝400(eq\r(6)＋eq\r(2))2，∴AC＝20(eq\r(6)＋eq\r(2))．故所求航行的路程為20(eq\r(6)＋eq\r(2))海里．答案：20(eq\r(6)＋eq\r(2))4．已知A船在燈塔C北偏東80°處，且A到C的距離為2km，B船在燈塔C北偏西40°，A，B兩船的距離為3km，則B到C的距離為________km.解析：由條件知，∠ACB＝80°＋40°＝120°，設BC＝xkm則由余弦定理知9＝x2＋4－4xcos120°，因為x＞0，所以x＝eq\r(6)－1.答案：eq\r(6)－15.某同學騎電動車以24km/h的速度沿正北方向的公路行駛，在點A處測得電視塔S在電動車的北偏東30°方向上，15min后到點B處，測得電視塔S在電動車的北偏東75°方向上，則點B與電視塔的距離是________km.解析：如題圖，由題意知AB＝24×eq\f(15,60)＝6，在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，所以∠ASB＝45°，由正弦定理知eq\f(BS,sin30°)＝eq\f(AB,sin45°)，所以BS＝eq\f(AB·sin30°,sin45°)＝3eq\r(2)(km)．答案：3eq\r(2)6．(2018·天一中學檢測)線段AB外有一點C，∠ABC＝60°，AB＝200km，汽車以80km/h的速度由A向B行駛，同時摩托車以50km/h的速度由B向C行駛，則運動開始________h后，兩車的距離最?。馕觯喝鐖D所示，設過xh后兩車距離為y，則BD＝200－80x，BE＝50x，所以y2＝(200－80x)2＋(50x)2－2×(200－80x)·50x·cos60°整理得y2＝12900x2－42000x＋40000(0≤x≤2.5)，所以當x＝eq\f(70,43)時y2最?。鸢福篹q\f(70,43)二保高考，全練題型做到高考達標1．一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點間的距離是________海里．解析：如圖所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根據(jù)正弦定理得eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(AB,sin45°)，解得BC＝10eq\r(2)(海里)．答案：10eq\r(2)2．如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度d＝0.6km，一艘客船從碼頭A出發(fā)勻速駛往河對岸的碼頭B.已知AB＝1km，水的流速為2km/h，若客船從碼頭A駛到碼頭B所用的最短時間為6min，則客船在靜水中的速度為________km/h.解析：設AB與河岸線所成的角為θ，客船在靜水中的速度為vkm/h，由題意知，sinθ＝eq\,1)＝eq\f(3,5)，從而cosθ＝eq\f(4,5)，所以由余弦定理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)v))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)×2))2＋12－2×eq\f(1,10)×2×1×eq\f(4,5)，解得v＝6eq\r(2).答案：6eq\r(2)3．(2018·啟東二模)如圖所示，為了測量A，B兩處島嶼的距離，小明在D處觀測，A，B分別在D處的北偏西15°、北偏東45°方向，再往正東方向行駛40海里至C處，觀測B在C處的正北方向，A在C處的北偏西60°方向，則A，B兩處島嶼的距離為________海里．解析：由題意可知CD＝40，∠ADB＝60°，∠ACB＝60°，∠BCD＝90°，∴∠ACD＝30°，∠ADC＝105°，∴∠CAD＝45°.在△ACD中，由正弦定理，得eq\f(AD,sin30°)＝eq\f(40,sin45°)，∴AD＝20eq\r(2)，在Rt△BCD中，∵∠BDC＝45°，∴BD＝eq\r(2)CD＝40eq\r(2).在△ABD中，由余弦定理，得AB＝eq\r(800＋3200－2×20\r(2)×40\r(2)×cos60°)＝20eq\r(6).故A，B兩處島嶼的距離為20eq\r(6)海里．答案：20eq\r(6)4．一個大型噴水池的中央有一個強大噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點A測得水柱頂端的仰角為45°，沿點A向北偏東30°前進100m到達點B，在B點測得水柱頂端的仰角為30°，則水柱的高度是________m.解析：設水柱高度是hm，水柱底端為C，則在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝eq\r(3)h，根據(jù)余弦定理得，(eq\r(3)h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50m.答案：505．(2018·鎮(zhèn)江模擬)在不等邊三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，其中a為最大邊，如果sin2(B＋C)＜sin2B＋sin2C，則角A的取值范圍為________．解析：由題意得sin2A＜sin2B＋sin2C，再由正弦定理得a2＜b2＋c2，即b2＋c2－a2＞0.則cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＞0，因為0＜A＜π，所以0＜A＜eq\f(π,2).又a為最大邊，所以A＞eq\f(π,3).因此角A的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))6.(2019·通州中學高三測試)甲船在湖中B島的正南A處，AB＝3km，甲船以8km/h的速度向正北方向航行，同時乙船自B島出發(fā)，以12km/h的速度向北偏東60°方向駛去，則行駛15min時，兩船間的距離是________km.解析：畫出示意圖如圖所示，設行駛15min時，甲船到達M點，乙船到達N點，由題意知AM＝8×eq\f(1,4)＝2(km)，BN＝12×eq\f(1,4)＝3(km)，MB＝AB－AM＝3－2＝1(km)，由余弦定理得MN2＝MB2＋BN2－2MB·BNcos120°＝1＋9－2×1×3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝13，所以MN＝eq\r(13)(km)．答案：eq\r(13)7．(2018·南京模擬)校運動會開幕式上舉行升旗儀式，旗桿正好處在坡度為15°的看臺的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60°和30°，第一排和最后一排的距離為10eq\r(6)m(如圖所示)，旗桿底部與第一排在一個水平面上．若國歌時長為50s，升旗手應以________m/s的速度勻速升旗．解析：依題意可知∠AEC＝45°，∠ACE＝180°－60°－15°＝105°，所以∠EAC＝180°－45°－105°＝30°.由正弦定理可知eq\f(CE,sin∠EAC)＝eq\f(AC,sin∠CEA)，所以AC＝eq\f(CE,sin∠EAC)·sin∠CEA＝20eq\r(3)m.所以在Rt△ABC中，AB＝AC·sin∠ACB＝20eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝30m.因為國歌時長為50s，所以升旗速度為eq\f(30,50)＝0.6m/s.答案：8．如圖所示，在坡度一定的山坡A處測得山頂上一建筑物CD的頂端C對于山坡的斜度為15°，沿山坡向山頂前進100m到達B處，又測得C對于山坡的斜度為45°，若CD＝50m，山坡的坡角為θ，則cosθ＝________.解析：在△ABC中，由正弦定理可知BC＝eq\f(ABsin∠BAC,sin∠ACB)＝eq\f(100sin15°,sin45°－15°)＝50(eq\r(6)－eq\r(2))(m)．在△BCD中，由正弦定理可知sin∠BDC＝eq\f(BCsin∠CBD,CD)＝eq\f(50\r(6)－\r(2)sin45°,50)＝eq\r(3)－1.由題圖知cosθ＝sin∠ADE＝sin∠BDC＝eq\r(3)－1.答案：eq\r(3)－19．(2018·鎮(zhèn)江期末)如圖，某公園有三條觀光大道AB，BC，AC圍成直角三角形，其中直角邊BC＝200m，斜邊AB＝400m．現(xiàn)有甲、乙、丙三位小朋友分別在AB，BC，AC大道上嬉戲，所在位置分別記為點D，E，F(xiàn).(1)若甲、乙都以每分鐘100m的速度從點B出發(fā)在各自的大道上奔走，到大道的另一端時即停，乙比甲遲2分鐘出發(fā)，當乙出發(fā)1分鐘后，求此時甲、乙兩人之間的距離；(2)設∠CEF＝θ，乙、丙之間的距離是甲、乙之間距離的2倍，且∠DEF＝eq\f(π,3)，請將甲、乙之間的距離y表示為θ的函數(shù)，并求甲、乙之間的最小距離．解：(1)依題意得BD＝300，BE＝100.在△ABC中，cosB＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(1,2)，所以B＝eq\f(π,3).在△BDE中，由余弦定理得DE2＝BD2＋BE2－2BD·BE·cosB＝3002＋1002－2×300×100×eq\f(1,2)＝70000，所以DE＝100eq\r(7).答：甲、乙兩人之間的距離為100eq\r(7)m.(2)由題意得EF＝2DE＝2y，∠BDE＝∠CEF＝θ.在Rt△CEF中，CE＝EF·cos∠CEF＝2ycosθ.在△BDE中，由正弦定理得eq\f(BE,sin∠BDE)＝eq\f(DE,sin∠DBE)，即eq\f(200－2ycosθ,sinθ)＝eq\f(y,sin60°)，所以y＝eq\f(100\r(3),\r(3)cosθ＋sinθ)＝eq\f(50\r(3),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3))))，0＜θ＜eq\f(π,2)，所以當θ＝eq\f(π,6)時，y有最小值50eq\r(3).答：甲、乙之間的最小距離為50eq\r(3)m.10．(2019·淮安模擬)如圖，某軍艦艇位于島A的正西方C處，且與島A相距12海里．經(jīng)過偵察發(fā)現(xiàn)，國際海盜船以10海里/小時的速度從島A出發(fā)沿北偏東30°方向逃竄，同時，該軍艦艇從C處出發(fā)沿北偏東90°－α的方向勻速追趕國際海盜船，恰好用2小時在B處追上．(1)求該軍艦艇的速度；(2)求sinα的值．解：(1)依題意知，∠CAB＝120°，AB＝10×2＝20，AC＝12，∠ACB＝α，在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠CAB＝202＋122－2×20×12cos120°＝784，解得BC＝28，所以該軍艦艇的速度為eq\f(BC,2)＝14海里/小時．(2)在△ABC中，由正弦定理，得eq\f(AB,sinα)＝eq\f(BC,sin120°)，即sinα＝eq\f(ABsin120°,BC)＝eq\f(20×\f(\r(3),2),28)＝eq\f(5\r(3),14).三上臺階，自主選做志在沖刺名?！悖?jīng)過420s后看山頂?shù)母┙菫?5°，則山頂?shù)暮０胃叨葹開_______m．(取eq\r(2)＝1.4，eq\r(3)＝1.7)解析：如圖，作CD垂直于AB的延長線于點D，由題意知∠A＝15°，∠DBC＝45°，所以∠ACB＝30°，AB＝50×420＝21000(m)．又在△ABC中，eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，所以BC＝eq\f(21000,\f(1,2))×sin15°＝10500(eq\r(6)－eq\r(2))．因為CD⊥AD，所以CD＝BC·sin∠DBC＝10500(eq\r(6)－eq\r(2))×eq\f(\r(2),2)＝10500(eq\r(3)－1)＝7350.故山頂?shù)暮０胃叨萮＝10000－7350＝2650(m)．答案：26502．(2019·南京調(diào)研)某市有一中心公園，平面圖如圖所示，公園的兩條觀光路為l1，l2，公園管理中心位于點O正南方2kml1上的A處，現(xiàn)計劃在l2即點O北偏東45°方向，觀光路l2路旁B處修建一公園服務中心．(1)若為方便管理，使AB兩點之間的直線距離不大于2eq\r(5)km，求OB長度的取值范圍；(2)為了方便市民活動，擬在l1，l2上分別選點M，N，修建一條小路MN.因環(huán)境需要，以O為圓心，eq\f(\r(2),2)km為半徑的扇形區(qū)域有珍貴的植物不能被破壞，即不適宜修建，請確定M，N的位置，使M，N之間的距離最短．解：(1)在△ABO中，OA＝2，OB＝x，∠AOB＝135°，根據(jù)余弦定理得，AB2＝OA2＋OB2－2·OA·OB·cos135°，∴22＋x2－2×x×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))≤(2eq\r(5))2，即x2＋2eq\r(2)x－16≤0，解得－4eq\r(2)≤x≤2eq\r(2)，∵x≥0，∴0≤x≤2eq\r(2)，故OB長度的取值范圍為[0,2eq\r(2)]．(2)依題意得，直線MN必與圓O相切．設切點為C，連結OC，則OC⊥MN.設OM＝a，ON＝b，MN＝c，在△OMN中，∵eq\f(1,2)MN·OC＝eq\f(1,2)·OM·ON·sin135°，∴eq\f(1,2)·eq\f(\r(2),2)c＝eq\f(1,2)·eq\f(\r(2),2)ab，即c＝ab，由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcos135°＝a2＋b2＋eq\r(2)ab≥(2＋eq\r(2))ab＝(2＋eq\r(2))c，解得c≥2＋eq\r(2)，當且僅當a＝b＝eq\r(2＋\r(2))時，c取得最小值2＋eq\r(2).∴M，N與點O的距離均為eq\r(2＋\r(2))km時，M，N之間的距離最短，最短距離為(2＋eq\r(2))km.命題點一簡單的三角恒等變換1．(2018·全國卷Ⅱ)已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(5π,4)))＝eq\f(1,5)，則tanα＝________.解析：taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(5π,4)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(tanα－1,1＋tanα)＝eq\f(1,5)，解得tanα＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)2．(2015·江蘇高考)已知tanα＝－2，tan(α＋β)＝eq\f(1,7)，則tanβ的值為________．解析：tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝eq\f(tanα＋β－tanα,1＋tanα＋βtanα)＝eq\f(\f(1,7)－－2,1＋\f(1,7)×－2)＝3.答案：33．(2017·江蘇高考)若taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(1,6)，則tanα＝________.解析：tanα＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＋\f(π,4)))＝eq\f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＋tan\f(π,4),1－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))tan\f(π,4))＝eq\f(\f(1,6)＋1,1－\f(1,6))＝eq\f(7,5).答案：eq\f(7,5)4．(2018·全國卷Ⅱ)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，則sin(α＋β)＝________.解析：∵sinα＋cosβ＝1，①cosα＋sinβ＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sinαcosβ＋cosαsinβ)＋1＝1，∴sinαcosβ＋cosαsinβ＝－eq\f(1,2)，∴sin(α＋β)＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)5．(2018·全國卷Ⅲ改編)若sinα＝eq\f(1,3)，則cos2α＝________.解析：∵sinα＝eq\f(1,3)，∴cos2α＝1－2sin2α＝1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝eq\f(7,9).答案：eq\f(7,9)6．(2016·江蘇高考)在△ABC中，AC＝6，cosB＝eq\f(4,5)，C＝eq\f(π,4).(1)求AB的長；(2)求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A－\f(π,6)))的值．解：(1)因為cosB＝eq\f(4,5)，0＜B＜π，所以sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2)＝eq\f(3,5).由正弦定理知eq\f(AC,sinB)＝eq\f(AB,sinC)，所以AB＝eq\f(AC·sinC,sinB)＝eq\f(6×\f(\r(2),2),\f(3,5))＝5eq\r(2).(2)在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以A＝π－(B＋C)，于是cosA＝－cos(B＋C)＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,4)))＝－cosBcoseq\f(π,4)＋sinBsineq\f(π,4).又cosB＝eq\f(4,5)，sinB＝eq\f(3,5)，故cosA＝－eq\f(4,5)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(3,5)×eq\f(\r(2),2)＝－eq\f(\r(2),10).因為0＜A＜π，所以sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\f(7\r(2),10).因此，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A－\f(π,6)))＝cosAcoseq\f(π,6)＋sinAsineq\f(π,6)＝－eq\f(\r(2),10)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(7\r(2),10)×eq\f(1,2)＝eq\f(7\r(2)－\r(6),20).7．(2018·江蘇高考)已知α，β為銳角，tanα＝eq\f(4,3)，cos(α＋β)＝－eq\f(\r(5),5).(1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值．解：(1)因為tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(4,3)，所以sinα＝eq\f(4,3)cosα.因為sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝eq\f(9,25)，所以cos2α＝2cos2α－1＝－eq\f(7,25).(2)因為α，β為銳角，所以α＋β∈(0，π)．又因為cos(α＋β)＝－eq\f(\r(5),5)，所以sin(α＋β)＝eq\r(1－cos2α＋β)＝eq\f(2\r(5),5)，所以tan(α＋β)＝－2.因為tanα＝eq\f(4,3)，所以tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝－eq\f(24,7).所以tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝eq\f(tan2α－tanα＋β,1＋tan2αtanα＋β)＝－eq\f(2,11).命題點二解三角形1．(2018·江蘇高考)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分線交AC于點D，且BD＝1，則4a＋c的最小值為________．解析：如圖，∵S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，∴eq\f(1,2)ac·sin120°＝eq\f(1,2)c×1×sin60°＋eq\f(1,2)a×1×sin60°，∴ac＝a＋c.∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)＝1.∴4a＋c＝(4a＋c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,c)))＝eq\f(c,a)＋eq\f(4a,c)＋5≥2eq\r(\f(c,a)·\f(4a,c))＋5＝9，當且僅當eq\f(c,a)＝eq\f(4a,c)，即c＝2a時取等號．故4a＋c的最小值為9.答案：92．(2018·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若a＝eq\r(7)，b＝2，A＝60°，則sinB＝__________，c＝________.解析：由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得sinB＝eq\f(b,a)·sinA＝eq\f(2,\r(7))×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(21),7).由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得7＝4＋c2－4c×cos60°，即c2－2c－3＝0，解得c＝3或c＝－1(舍去)．答案：eq\f(\r(21),7)33．(2018·全國卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，則△ABC的面積為________．解析：∵bsinC＋csinB＝4asinBsinC，∴由正弦定理得sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC.又sinBsinC＞0，∴sinA＝eq\f(1,2).由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(8,2bc)＝eq\f(4,bc)＞0，∴cosA＝eq\f(\r(3),2)，bc＝eq\f(4,cosA)＝eq\f(8\r(3),3)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×eq\f(8\r(3),3)×eq\f(1,2)＝eq\f(2\r(3),3).答案：eq\f(2\r(3),3)4．(2018·北京高考)在△ABC中，a＝7，b＝8，cosB＝－eq\f(1,7).(1)求∠A；(2)求AC邊上的高．解：(1)在△ABC中，因為cosB＝－eq\f(1,7)，所以sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\f(4\r(3),7).由正弦定理得sinA＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(\r(3),2).由題設知eq\f(π,2)＜∠B＜π，所以0＜∠A＜eq\f(π,2).所以∠A＝eq\f(π,3).(2)在△ABC中，因為sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(\r(3),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,7)))＋eq\f(1,2)×eq\f(4\r(3),7)＝eq\f(3\r(3),14)，所以AC邊上的高為asinC＝7×eq\f(3\r(3),14)＝eq\f(3\r(3),2).5．(2015·江蘇高考)在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60°(1)求BC的長；(2)求sin2C的值．解：(1)由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA＝4＋9－2×2×3×eq\f(1,2)＝7，所以BC＝eq\r(7).(2)由正弦定理知，eq\f(AB,sinC)＝eq\f(BC,sinA)，所以sinC＝eq\f(AB,BC)·sinA＝eq\f(2sin60°,\r(7))＝eq\f(\r(21),7).因為AB＜BC，所以C為銳角，則cosC＝eq\r(1－sin2C)＝eq\r(1－\f(3,7))＝eq\f(2\r(7),7).因此sin2C＝2sinC·cosC＝2×eq\f(\r(21),7)×eq\f(2\r(7),7)＝eq\f(4\r(3),7).6．(2018·天津高考)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知bsinA＝acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－\f(π,6))).(1)求角B的大小；(2)設a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．解：(1)在△ABC中，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，可得bsinA＝asinB.又因為bsinA＝acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－\f(π,6)))，所以asinB＝acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－\f(π,6)))，即sinB＝eq\f(\r(3),2)cosB＋eq\f(1,2)sinB，所以tanB＝eq\r(3).因為B∈(0，π)，所以B＝eq\f(π,3).(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝eq\f(π,3)，得b2＝a2＋c2－2accosB＝7，故b＝eq\r(7).由bsinA＝acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－\f(π,6)))，可得sinA＝eq\f(\r(3),\r(7)).因為a＜c，所以cosA＝eq\f(2,\r(7)).所以sin2A＝2sinAcosA＝eq\f(4\r(3),7)，cos2A＝2cos2A－1＝eq\f(1,7).所以sin(2A－B)＝sin2AcosB－cos2AsinB＝eq\f(4\r(3),7)×eq\f(1,2)－eq\f(1,7)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),14).7．(2013·江蘇高考)如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點A處下山至C處有兩種路徑．一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50m/min.在甲出發(fā)2min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1min后，再從B勻速步行到C.假設纜車勻速直線運行的速度為130m/min，山路AC長為1260m，經(jīng)測量，cosA＝eq\f(12,13)，cosC＝eq\f(3,5).(1)求索道AB的長；(2)問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？(3)為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3分鐘，乙步行的速度應控制在什么范圍內(nèi)？解：(1)在△ABC中，因為cosA＝eq\f(12,13)，cosC＝eq\f(3,5)，所以sinA＝eq\f(5,13)，sinC＝eq\f(4,5).從而sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝eq\f(5,13)×eq\f(3,5)＋eq\f(12,13)×eq\f(4,5)＝eq\f(63,65).由正弦定理eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)，得AB＝eq\f(AC,sinB)×sinC＝eq\f(1260,\f(63,65))×eq\f(4,5)＝1040(m)．所以索道AB的長為1040m.(2)假設乙出發(fā)t分鐘后，甲、乙兩游客距離為d，此時，甲行走了(100＋50t)m，乙距離A處130tm，所以由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×eq\f(1