北師大非線性電路混沌及其同步控制實(shí)驗(yàn)報(bào)告

非線性電路混沌及其同步控制指導(dǎo)教師：聶家財(cái)【摘要】本實(shí)驗(yàn)用伏安法測(cè)量得到了非線性電阻的伏安特性曲線，其特性曲線五個(gè)折線段中三段產(chǎn)生負(fù)阻效應(yīng)。利用蔡氏振蕩電路和示波器觀察1周期、2周期、4周期、陣法混沌、單吸引子、雙吸引子和穩(wěn)定雙吸引子的圖形，同時(shí)通過改變電容測(cè)定并計(jì)算出費(fèi)根鮑姆常數(shù)。最后搭建混沌同步實(shí)驗(yàn)電路，觀察并了記錄混沌同步、準(zhǔn)同步和去同步的李薩如圖?！娟P(guān)鍵詞】有源負(fù)阻非線性電路費(fèi)根鮑姆常數(shù)混沌同步引言非線性科學(xué)的真正建立是在20世紀(jì)六七十年代，被譽(yù)為繼相對(duì)論和量子力學(xué)后，20世紀(jì)物理學(xué)的“第三次重大革命”。由非線性科學(xué)所引起的對(duì)確定論和隨即論、有序與無序、偶然性與必然性等范疇和概念的重新認(rèn)識(shí)，形成了一種新的自然觀，將深刻的影響人類的思維方法，并涉及現(xiàn)代科學(xué)的邏輯體系的根本性問題。“線性”是指兩個(gè)量之間所存在的正比關(guān)系，在直角坐標(biāo)系中是一條直線，線性系統(tǒng)方程遵從疊加原理。“非線性”是指兩個(gè)量之間的關(guān)系不是“直線關(guān)系”在直角坐標(biāo)系中呈一條曲線。非線性方程的兩個(gè)解不再是原方程的解，疊加原理失效。非線性系統(tǒng)各部分之間彼此影響，發(fā)生耦合作用，這是產(chǎn)生非線性問題復(fù)雜性和多樣性的根本原因。迄今為止最豐富的混沌現(xiàn)象是在非線性振蕩電路中觀察到的。蔡氏電路是能產(chǎn)生混沌行為的最簡(jiǎn)單的電路，它熟悉和理解非線性現(xiàn)象的個(gè)典型電路。通過蔡氏電路參數(shù)的改變可以實(shí)現(xiàn)倍周期分叉到混沌，再到周期窗口的全過程?；煦缡欠蔷€性系統(tǒng)中存在的一種普遍現(xiàn)象，它也是非線性系統(tǒng)所特有的一種復(fù)雜狀態(tài)。自1990年提出實(shí)現(xiàn)混沌同步的驅(qū)動(dòng)一響應(yīng)方法，混沌的同步理論及其在保密通信的應(yīng)用成為研究熱點(diǎn)，混沌信號(hào)具有寬頻譜，類噪聲，容易產(chǎn)生和精確再生等特性，在保密通信具有良好的前景。本實(shí)驗(yàn)?zāi)康膶W(xué)習(xí)有源非線性負(fù)阻元件工作原理，借助蔡氏電路掌握非線性動(dòng)力學(xué)一般規(guī)律，了解混沌同步和控制概念。實(shí)驗(yàn)原理2.1.有源非線性負(fù)阻伏安特性曲線斜率倒數(shù)為正的電阻為正阻，為負(fù)的電阻稱為負(fù)阻。負(fù)阻是產(chǎn)能元件，由正阻和運(yùn)算放大器可以構(gòu)成一個(gè)負(fù)阻抗變換器電路，由于運(yùn)算放大器需要一定電壓，這種負(fù)阻稱為有源負(fù)阻。本實(shí)驗(yàn)采用圖1（a）所示的負(fù)阻抗變換器電路，圖（b）是其等效電路。(a)有源非線性負(fù)阻內(nèi)部結(jié)構(gòu)(b)(a)有源非線性負(fù)阻內(nèi)部結(jié)構(gòu)(b)有源非線性電阻等效電路用圖2電路可以測(cè)試圖1的有源非線性負(fù)阻伏安特性曲線，R0是可變電阻，Rn是待測(cè)的非線性負(fù)阻。測(cè)量結(jié)果如圖3測(cè)的非線性負(fù)阻。測(cè)量結(jié)果如圖3所示。圖4圖4蔡氏振蕩電路圖2非線性負(fù)阻伏安特性測(cè)試電路圖3非線性負(fù)阻伏安特性2.2.非線性電路圖4所示為蔡氏電路，由非線性負(fù)阻Rn、電感L、可調(diào)電阻R及電容器C1和C2組成。電感器L和電容器C2組成一個(gè)LC震蕩電路；電阻R和電容器C1串聯(lián)將振蕩器產(chǎn)生的正弦信號(hào)移相輸出；Rn有兩個(gè)作用：一是電路的損耗電阻R被抵消，使得輸出電流維持LC振蕩器等幅振蕩。另一個(gè)作用是使振蕩周期產(chǎn)生分岔和混沌等一系列非線性現(xiàn)象。rN是電路系統(tǒng)產(chǎn)生非線性運(yùn)動(dòng)的必要條件。L電路的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由L、R、C1和C2決定，與rn一起構(gòu)成非線性系統(tǒng)，取值決定電路的初始條件，導(dǎo)致電路最終的運(yùn)動(dòng)形式，得到不同的李薩如圖，其中X軸為C1的電壓，Y軸為(的電壓。系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)對(duì)初值及其敏感。從實(shí)驗(yàn)中可得發(fā)現(xiàn)，從局域角度看，系統(tǒng)每一次運(yùn)動(dòng)軌跡都不重復(fù)，表現(xiàn)出隨機(jī)性和不穩(wěn)定性。但是，從全局角度看，所有的軌跡最終都被捕捉到一個(gè)不變的集合，這就是所謂奇

怪吸引子。奇怪吸引子的形成表明混沌有某種確定性和穩(wěn)定性，可以借助奇怪吸引子在狀態(tài)空間里區(qū)分混沌和噪聲。費(fèi)根鮑姆常數(shù)所謂混沌，是服從確定性規(guī)律但具有隨機(jī)性的運(yùn)動(dòng)，其主要特征是系統(tǒng)行為對(duì)初始條件的敏感性。通向混沌的最重要途徑是倍周期分岔指系統(tǒng)周期不斷加倍。費(fèi)根鮑姆發(fā)現(xiàn)，一個(gè)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中分岔點(diǎn)處參量p的取值|Jn的收斂服從普適規(guī)律，常數(shù)5=4.699201609為費(fèi)根鮑姆常數(shù)。本實(shí)驗(yàn)中，取n=2,p「p2，p3分別對(duì)應(yīng)2周期，4周期，8周期的電路參量，定義一個(gè)非線性參數(shù)，是費(fèi)根鮑姆常數(shù)的近似，即其值與0越接近，則系統(tǒng)進(jìn)入混沌就越快。混沌同步混沌同步是指一個(gè)系統(tǒng)的混沌動(dòng)力學(xué)軌道收斂于另一個(gè)系統(tǒng)的混沌動(dòng)力學(xué)軌道，以致兩個(gè)系統(tǒng)在以后的時(shí)間里始終保持步調(diào)一致。實(shí)驗(yàn)中的混沌同步系統(tǒng)由兩個(gè)相同的蔡氏電路和一個(gè)單向耦合系統(tǒng)構(gòu)成。兩個(gè)蔡氏電路元件參數(shù)盡可能接近；單向耦合系統(tǒng)由一個(gè)運(yùn)算放大器和一個(gè)可調(diào)電阻Rx構(gòu)成。單向的含義是：驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)只對(duì)響應(yīng)系統(tǒng)產(chǎn)生作用，而響應(yīng)系統(tǒng)不能對(duì)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)作用。混沌同步的實(shí)驗(yàn)電路如圖5所示。驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)ci兩端的電壓信號(hào)通過運(yùn)算放大器等值地傳輸?shù)絩x左側(cè)。由于單向耦合，rx的左右兩端分別為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的q信號(hào)和響應(yīng)系統(tǒng)的c「信號(hào)。當(dāng)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)不同步時(shí)，這兩個(gè)信號(hào)不相等，可以調(diào)節(jié)rx的大小來實(shí)現(xiàn)c"hc「上的電壓信號(hào)相等，實(shí)現(xiàn)兩個(gè)系統(tǒng)的同步。同步時(shí)，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)各對(duì)應(yīng)元件的電壓信號(hào)完全相同，此時(shí)的李薩如圖是一條直線，接近直線被稱為準(zhǔn)同步。系統(tǒng)由同步變成不同步的過程被稱為去同步，此時(shí)的李薩如圖是非規(guī)則圖形。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容實(shí)驗(yàn)電路圖如圖2、圖3和圖4所示。用到的實(shí)驗(yàn)儀器及電器元件有：直流電源、信號(hào)源、數(shù)字存儲(chǔ)示波器、模擬示波器、臺(tái)式萬用表、電阻箱、電感箱、電容箱、計(jì)算機(jī)。測(cè)量非線性電路的伏安特性曲線按圖2所示連接電路，改變可變電阻值，測(cè)量非線性電阻兩端的電流和電壓，得到其伏安特性曲線。觀察并記錄當(dāng)電阻變化時(shí)非線性電路的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)按照?qǐng)D4搭建蔡氏振蕩電路。改變可變電阻R，利用模擬示波器和數(shù)字示波器觀察記錄非線性電路的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。觀察并記錄當(dāng)電容變化時(shí)非線性電路的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，計(jì)算非線性參數(shù)5'利用電容箱改變^的值，選取兩個(gè)不同的可變電阻R值，觀察當(dāng)C2增加時(shí)非線性電路的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，記錄2周期,4周期和8周期狀態(tài)下電容值，計(jì)算非線性參數(shù)5‘。混沌同步實(shí)驗(yàn)按照?qǐng)D4搭建混沌同步電路。其中一個(gè)蔡氏電路作為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，另一個(gè)作為響應(yīng)系統(tǒng)。調(diào)節(jié)電路參數(shù)，使兩個(gè)電路都處于1周期。采用單向耦合電路將兩個(gè)電路連接起來，觀察同步現(xiàn)象。調(diào)節(jié)響應(yīng)系統(tǒng)中的可變電阻，觀察電路參數(shù)對(duì)同步的影響。改變耦合電阻，觀察并記錄混沌同步和去同步狀態(tài)。數(shù)據(jù)處理測(cè)量非線性電路的伏安特性曲線將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)1轉(zhuǎn)換到第四象限，連接第二第四象限曲線得到完整的非線性負(fù)阻伏安特性曲線如圖6所示。對(duì)圖6進(jìn)行線性擬合，得到5段線段的方程分別為第1段：I=2.4472U+30.786第2段：I=-0.4066U+0.636第3段：I=-0.7989U+2E-17第4段：I=-0.4066U-0.636第5段：I=2.4472U-30.786由直線方程可知，5段直線中第2,3,4段折線區(qū)域產(chǎn)生負(fù)阻效應(yīng)。七有兩個(gè)作用：一是電路的損耗電阻R被抵消，使得輸出電流維持LC振蕩器等幅振蕩。另一個(gè)作用是使振蕩周期產(chǎn)生分岔和混沌等一系列非線性現(xiàn)象。rn是電路系統(tǒng)產(chǎn)生非線性運(yùn)動(dòng)的必要條件。觀察并記錄當(dāng)電阻變化時(shí)非線性電路的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)調(diào)節(jié)蔡氏振蕩電路中可變電阻，用示波器觀察記錄得到1周期、2周期、4周期、陣法混沌、單吸引子、雙吸引子和穩(wěn)定雙吸引子的圖形如圖7所示。圖7非線性電路混沌運(yùn)動(dòng)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果（依次為1周期、2周期、4周期、陣發(fā)混亂、單吸引子、雙吸引子和穩(wěn)定雙吸引子）由圖7可知系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律，即由周期振蕩通過倍周期分岔進(jìn)入混沌，具體發(fā)展路徑為周期振蕩一2周期一?2n周期…一陣發(fā)混沌一單吸引子一雙吸引子一穩(wěn)定雙吸引子。同時(shí)發(fā)現(xiàn)，R的取值只要發(fā)生微小變化，運(yùn)動(dòng)就可以從一個(gè)態(tài)變到另一個(gè)態(tài)。測(cè)量并記錄當(dāng)電容變化時(shí)非線性電路的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，并計(jì)算非線性參數(shù)5'由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)3得到表1，可計(jì)算費(fèi)根鮑姆常數(shù)02周期電容/pF4周期電容/pF8周期電容/pF費(fèi)根鮑姆常數(shù)平均值R10.10340.105730.106214.8541666674.887401R20.12880.131900.132534.920634921表1費(fèi)根鮑姆常數(shù)計(jì)算由表1數(shù)據(jù)可知，費(fèi)根鮑姆常數(shù)6’=4.887401，與理論值較符合，都是很容易達(dá)到混沌的狀態(tài)。同時(shí)可看出，與理論值越接近，越容易達(dá)到混沌。誤差分析：實(shí)驗(yàn)中，由于示波器的延遲以及調(diào)節(jié)電容是在判斷狀態(tài)變化瞬間有偏差造成了較小的誤差。4.4.觀察并記錄混沌同步達(dá)到同步后，調(diào)節(jié)響應(yīng)系統(tǒng)中的可變電阻，只有響應(yīng)系統(tǒng)的圖像發(fā)生改變；調(diào)節(jié)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)可變電阻，兩個(gè)系統(tǒng)的圖像都有所改變。調(diào)節(jié)耦合電阻，可觀察并記錄混沌同步和去同步狀態(tài)。如圖8所示。（a）同步（b）準(zhǔn)同步（c）去同步圖8混沌同步、準(zhǔn)同步、去同步由圖8可知，混沌同步時(shí)，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)各對(duì)應(yīng)元件的電壓信號(hào)完全相同，此時(shí)的李薩如圖是一條直線，接近直線被稱為準(zhǔn)同步。系統(tǒng)由同步變成不同步的過程被稱為去同步，此時(shí)的李薩如圖是非規(guī)則圖形混沌特征總結(jié)混沌主要特征是系統(tǒng)行為對(duì)初始條件的敏感性，當(dāng)初始條件改變較小時(shí)，系統(tǒng)就有可能從一種狀態(tài)變到另一種狀態(tài)；同時(shí)混沌還具有內(nèi)在隨機(jī)性以及非規(guī)則的有序的特征，混沌不是純粹的無序，而是不具備周期性和其他明顯對(duì)稱特征的有序態(tài)。實(shí)驗(yàn)結(jié)