2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章隨機(jī)變量及其分布2.4正態(tài)分布習(xí)題新人教A版選修2-3

歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助!歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助!歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助!歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助!歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助!歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助!第二章2.4正態(tài)分布A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．已知一次考試共有60名同學(xué)參加，考生的成績(jī)X～N(110,52)，據(jù)此估計(jì)，大約應(yīng)有57人的分?jǐn)?shù)在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)(C)A．(90,110] B．(95,125]C．(100,120] D．(105,115][解析]由于X～N(110,52)，∴μ＝110，σ＝5．因此考試成績(jī)?cè)趨^(qū)間(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分別應(yīng)是0.6826,0.9544,0.9974．由于一共有60人參加考試，∴成績(jī)位于上述三個(gè)區(qū)間的人數(shù)分別是：60×0.6826≈41人，60×0.9544≈57人，60×0.9974≈60人．故選C．2．(2018·呼和浩特二模)有10000人參加某次考試，其成績(jī)X近似服從正態(tài)分布N(100,132)．P(61＜X＜139)＝0.997.則此次考試中成績(jī)不低于139分的人數(shù)約為(C)A．10 B．30C．15 D．23[解析]∵X近似服從正態(tài)分布N(100,132)，P(61＜X＜139)＝0.997．∴P(X≥139)＝eq\f(1,2)(1－0.997)＝0.0015，∴此次考試中成績(jī)不低于139分的人數(shù)約為10000×0.0015＝15．故選C．3．如圖是當(dāng)σ取三個(gè)不同值σ1，σ2，σ3時(shí)的三種正態(tài)曲線，那么σ1，σ2，σ3的大小關(guān)系是(D)A．σ1>1>σ2>σ3>0 B．0<σ1<σ2<1<σ3C．σ1>σ2>σ3>0 D．0<σ1<σ2＝1<σ3[解析]由正態(tài)曲線的特點(diǎn)知σ越大，其最大值越小，所以σ1<σ2<σ3，又eq\f(1,\r(2π)σ2)＝eq\f(1,\r(2π))，∴σ2＝1.故選D．4．某廠生產(chǎn)的零件外直徑X～N(8.0,0.0225)，單位mm，今從該廠上、下午生產(chǎn)的零件中各隨機(jī)取出一個(gè)，測(cè)得其外直徑分別為7.9mm和7.5mm，則可認(rèn)為(C)A．上、下午生產(chǎn)情況均為正常B．上、下午生產(chǎn)情況均為異常C．上午生產(chǎn)情況正常，下午生產(chǎn)情況異常D．上午生產(chǎn)情況異常，下午生產(chǎn)情況正常[解析]根據(jù)3σ原則，在(8－3×0.15,8＋3×0.15]即(7.55,8.45]之外時(shí)為異常．結(jié)合已知可知上午生產(chǎn)情況正常，下午生產(chǎn)情況異常．5．某市進(jìn)行一次高三教學(xué)質(zhì)量抽樣檢測(cè)，考試后統(tǒng)計(jì)的所有考生的數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布．已知數(shù)學(xué)成績(jī)平均分為90分，60分以下的人數(shù)占10%，則數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?0分至120分之間的考生人數(shù)所占百分比約為(D)A．10% B．20%C．30% D．40%[解析]由條件知μ＝90，P(ξ<60)＝0.1，∴P(ξ>120)＝0.1，∴P(90≤ξ<120)＝eq\f(1,2)[1－2P(ξ<60)]＝eq\f(1,2)×(1－0.2)＝0.4，故選D．6．以Φ(x)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在區(qū)間(－∞，x)內(nèi)取值的概率，若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則概率P(|ξ－μ|<σ)等于(B)A．Φ(μ＋σ)－Φ(μ－σ) B．Φ(1)－Φ(－1)C．Φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－μ,σ))) D．2Φ(μ＋σ)[解析]設(shè)η＝eq\f(|ξ－μ|,σ)，則P(|ξ－μ|<σ)＝P(|η|<1)＝P(－1<η<1)＝Φ(1)－Φ(－1)．故選B．二、填空題7．正態(tài)變量的概率密度函數(shù)f(x)＝eq\f(1,\r(2π))e－eq\f(x－32,2)，x∈R的圖象關(guān)于直線__x＝3__對(duì)稱(chēng)，f(x)的最大值為_(kāi)_eq\f(1,\r(2π))__．8．(2018·涼山州模擬)已知離散型隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N～(2,1)，且P(ξ＜3)＝0.968，則P(1＜ξ＜3)＝__0.936__．[解析]∵離散型隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N～(2,1)，∴P(ξ≤1)＝P(ξ≥3)＝1－0.968＝0.032，∴P(1＜ξ＜3)＝1－P(ξ≤1)－P(ξ≥3)＝1－0.032－0.032＝0.936．故答案為0.936．9．已知正態(tài)分布N(μ，σ2)的密度曲線是f(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)e－eq\f(x－μ2,2σ2)，x∈R.給出以下四個(gè)命題：①對(duì)任意x∈R，f(μ＋x)＝f(μ－x)成立；②如果隨機(jī)變量X服從N(μ，σ2)，且F(x)＝P(X<x)，那么F(x)是R上的增函數(shù)；③如果隨機(jī)變量X服從N(108,100)，那么X的期望是108，標(biāo)準(zhǔn)差是100；④隨機(jī)變量X服從N(μ，σ2)，P(X<1)＝eq\f(1,2)，P(X>2)＝p，則P(0<X<2)＝1－2p．其中真命題的序號(hào)是__①②④__.(寫(xiě)出所有真命題的序號(hào))[解析]畫(huà)出正態(tài)分布N(μ，σ2)的密度曲線如下圖：由圖可得：①圖象關(guān)于x＝μ對(duì)稱(chēng)；故①正確；②隨著x的增加，F(xiàn)(x)＝P(X<x)也隨著增加，故②正確；③如果隨機(jī)變量X服從N(108,100)，那么X的期望是108，標(biāo)準(zhǔn)差是10；④由圖象的對(duì)稱(chēng)性，可得④正確，故填：①②④．三、解答題10．某個(gè)工廠的工人月收入服從正態(tài)分布N(500,202)，該工廠共有1200名工人，試估計(jì)月收入在440元以下和560元以上的工人大約有多少？[解析]設(shè)該工廠工人的月收入為ξ，則ξ～N(500,202)，所以μ＝500，σ＝20，所以月收入在區(qū)間(500－3×20,500＋3×20)內(nèi)取值的概率是0.9974，該區(qū)間即(440,560)．因此月收入在440元以下和560元以上的工人大約有1200×(1－0.9974)＝1200×0.0026≈3(人)．B級(jí)素養(yǎng)提升一、選擇題1．設(shè)X～N(μ1，σeq\o\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq\o\al(2,2))，這兩個(gè)正態(tài)分布密度曲線如圖所示．下列結(jié)論中正確的是(C)A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C．對(duì)任意正數(shù)t，P(X≤t)≥P(Y≤t)D．對(duì)任意正數(shù)t，P(X≥t)≥P(Y≥t)[解析]由圖象可知μ1<μ2，σ1<σ2，∴P(Y≥μ2)＝eq\f(1,2)<P(Y≥μ1)，∴A錯(cuò)；P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，∴B錯(cuò)；對(duì)任意實(shí)數(shù)t，P(X≥t)<P(Y≥t)，∴D錯(cuò)，P(X≤t)≥P(Y≤t)，∴C正確，故選C．2．(2018·德陽(yáng)模擬)為弘揚(yáng)我國(guó)優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化，市教育局對(duì)全市所有中小學(xué)生進(jìn)行了“成語(yǔ)”聽(tīng)寫(xiě)測(cè)試，經(jīng)過(guò)大數(shù)據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)本次聽(tīng)寫(xiě)測(cè)試成績(jī)服從正態(tài)分布N(78,16)．試根據(jù)正態(tài)分布的相關(guān)知識(shí)估計(jì)測(cè)試成績(jī)不小于90的學(xué)生所占的百分比為()參考數(shù)據(jù)：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.9974.(A)A．0.13% B．1.3%C．3% D．3.3%[解析]由正態(tài)分布N(78,16)，可得μ＝78，σ＝4，則P(66＜X＜90)＝P(78－3×4＜X＜78＋3×4)＝0.9974．∴P(X≥90)＝eq\f(1,2)(1－0.9974)＝0.0013．即估計(jì)測(cè)試成績(jī)不小于90的學(xué)生所占的百分比為0.13%．故選A．二、填空題3．(2018·黔東南州一模)黔東南州雷山西江千戶苗寨，是目前中國(guó)乃至全世界最大的苗族聚居村寨，每年來(lái)自世界各地的游客絡(luò)繹不絕．假設(shè)每天到西江苗寨的游客人數(shù)ξ是服從正態(tài)分布N(2000,10000)的隨機(jī)變量．則每天到西江苗寨的游客人數(shù)超過(guò)2100的概率為_(kāi)_0.1587__.(參考數(shù)據(jù)：若ξ服從N(μ，δ2)，有P(μ－δ＜ξ≤μ＋δ)＝0.6826，P(μ－2δ＜ξ≤μ＋2δ)＝0.9544，P(μ－3δ＜ξ≤μ＋3δ)＝0.9974)[解析]∵服從正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機(jī)變量在區(qū)間(μ－σ，μ＋σ)內(nèi)取值的概率分別為0.6826，隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2000,1002)，∴每天到西江苗寨的游客人數(shù)超過(guò)2100的概率為eq\f(1,2)×(1－0.6826)＝0.1587，故答案為0.1587．4．設(shè)某城市居民私家車(chē)平均每輛車(chē)每月汽油費(fèi)用為隨機(jī)變量ξ(單位為：元)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得ξ～N(520,14400)，從該城市私家車(chē)中隨機(jī)選取容量為10000的樣本，其中每月汽油費(fèi)用在(400,640)之間的私家車(chē)估計(jì)有__6826__輛．(附：若ξ～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝0.9974)[解析]由已知得：μ＝520，σ＝120，∴P(400<ξ<640)＝P(520－120<ξ<520＋120)＝0.6826，∴每月汽油費(fèi)用在(400,640)之間的私家車(chē)估計(jì)有：0.6826×10000＝6826．三、解答題5．一投資者在兩個(gè)投資方案中選擇一個(gè)，這兩個(gè)投資方案的利潤(rùn)X(萬(wàn)元)分別服從正態(tài)分布N(8,32)和N(7,12)，投資者要求“利潤(rùn)超過(guò)5萬(wàn)元”的概率盡量大，那么他應(yīng)該選擇哪一個(gè)方案？[解析]對(duì)于第一個(gè)方案有X～N(8,32)，其中μ＝8，σ＝3，P(X>5)＝eq\f(1－P5<X≤11,2)＋P(5<X≤11)＝eq\f(1＋P5<X≤11,2)＝eq\f(1＋0.6826,2)；對(duì)于第二個(gè)方案有X～N(7,12)，其中μ＝7，σ＝1，P(x>5)＝eq\f(1＋P7－2<X≤7＋2,2)＝eq\f(1＋0.9544,2)．顯然第二個(gè)方案“利潤(rùn)超過(guò)5萬(wàn)元”的概率比較大，故他應(yīng)該選擇第二個(gè)方案．6．某市教育局為了了解高三學(xué)生體育達(dá)標(biāo)情況，對(duì)全市高三學(xué)生進(jìn)行了體能測(cè)試，經(jīng)分析，全市學(xué)生體能測(cè)試成績(jī)X服從正態(tài)分布N(80，σ2)(滿分為100分)，已知P(X<75)＝0.3，P(X≥95)＝0.1，現(xiàn)從該市高三學(xué)生中隨機(jī)抽取三位同學(xué)．(1)求抽到的三位同學(xué)該次體能測(cè)試成績(jī)?cè)趨^(qū)間[80,85)，[85,95)，[95,100]內(nèi)各有一位同學(xué)的概率；(2)記抽到的三位同學(xué)該次體能測(cè)試成績(jī)?cè)趨^(qū)間[75,85]的人數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E(ξ)．[解析](1)P(80≤X<85)＝eq\f(1,2)－P(X≤75)＝0.2，P(85≤X<95)＝P(X≥85)－P(X≥95)＝P(X<75)－P(X≥95)＝0.3－0.1＝0.2，所以所求概率P＝Aeq\o\al(3,3)×0.2×0.2×0.1＝0.024．(2)P(75≤X≤85)＝1－2P(X<75)＝0.4，所以ξ服從二項(xiàng)分布B(3,0.4)，P(ξ＝0)＝0.63＝0.216，P(ξ＝1)＝3×0.4×0.62＝0.432，P(ξ＝2)＝3×0.42×0.6＝0.288，P(ξ＝3)＝0.43＝0.064，所以隨機(jī)變量ξ的分布列是：ξ0123P0.2160.4320.2880.064E(ξ)＝3×0.4＝1.2(人)．C級(jí)能力拔高某磚瓦廠生產(chǎn)的磚的抗斷強(qiáng)度X服從正態(tài)分布N(30，0.82)，質(zhì)檢人員從該廠某一天生產(chǎn)的1000塊磚中隨機(jī)抽查一塊，測(cè)得它的抗斷強(qiáng)度為27.5，你認(rèn)為該廠這一天生產(chǎn)的這批磚是否合格？為什么？[解析]解決本題的關(guān)鍵是看隨機(jī)抽查的一塊磚的抗斷強(qiáng)度是否符合3σ原則，若符合，則認(rèn)為這批磚合格，否則不合