矩陣論線性空間和內(nèi)積空間

矩陣論懷麗波目錄第一章線性空間與內(nèi)積空間（4學(xué)時）第二章線性映射與線性變換（4學(xué)時）第三章l矩陣與矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形（6學(xué)時）第四章矩陣的因子分解（8學(xué)時）第五章Hermite矩陣與正定矩陣（4學(xué)時）第六章范數(shù)與極限（6學(xué)時）教學(xué)目的：理解線性空間和內(nèi)積空間的概念掌握子空間與維數(shù)定理了解線性空間和內(nèi)積空間同構(gòu)的含義掌握正交基及子空間的正交關(guān)系掌握Gram-Schmidt正交化方法

線性空間是線性代數(shù)最基本的概念之一，是矩陣論中極其重要的概念之一。它是向量空間在元素和線性運(yùn)算上的推廣和抽象。線性空間中的元素可以是向量、矩陣、多項(xiàng)式、函數(shù)等，線性運(yùn)算可以是我們熟悉的一般運(yùn)算，也可以是各種特殊的運(yùn)算。例4次數(shù)不超過的所有實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式按通常多項(xiàng)式加法和數(shù)與多項(xiàng)式的乘法，構(gòu)成線性空間例3閉區(qū)間上的所有實(shí)值連續(xù)函數(shù)按通常函數(shù)的加法和數(shù)與函數(shù)的乘法，構(gòu)成線性空間例2所有階的實(shí)（復(fù)）矩陣按矩陣的加法和數(shù)乘，構(gòu)成線性空間。例1所有n維實(shí)（復(fù)）向量按向量的加法和數(shù)乘，構(gòu)成線性空間Rn(Cn)。例5集合不是一個線性空間。因?yàn)榧臃ú环忾]。例6線性非齊次方程組的解集不構(gòu)成線性空間，這里是對應(yīng)齊次方程組的一個基礎(chǔ)解系，為的一個特解。向量的線性相關(guān)性：

線性代數(shù)中關(guān)于向量的線性組合、線性表示、線性相關(guān)、線性無關(guān)、秩等定義和結(jié)論都可以推廣到一般線性空間。證明：取k1，k2，k3∈R，令k11+k22+k33

則有k1-k2=0,k2

+k3=0該方程組有非零解，所以1,2,3線性相關(guān).

證明：

取1=2=3=則1,2,3線性無關(guān).對線性空間V中的任一向量可表示成A==a11

1+a12

2+a22

3即A可由1,2,3線性表出。所以Dim（V）=3注:

（1）若把線性空間看作無窮個向量組成的向量組，那么的基就是向量組的極大無關(guān)組,的維數(shù)就是向量組的秩.

（2）個數(shù)與線性空間的維數(shù)相等的線性無關(guān)組都是的基.

線性空間是實(shí)數(shù)域上的二維空間，其基可取為，即C中任一復(fù)數(shù)k=a+bi（a,bR）都有a+bi=(1,i)(),所以(a,b)T即為k的坐標(biāo)。ab實(shí)數(shù)域R上的線性空間R[x]n中的向量組1，x，x2,…xn-1是基底，R[x]n的維數(shù)為n。實(shí)數(shù)域R上的線性空間的維數(shù)為nn，標(biāo)準(zhǔn)基為Eij：（i=1,2…n;j=1,2…n）第i行第j列的元素為1，其它的都為0。

在線性空間中，顯然是的一組基，此時多項(xiàng)式在這組基下的坐標(biāo)就是證明也是的基,并求及在此基下的坐標(biāo)。由題，在基下的坐標(biāo)為而且，基到基的過渡矩陣為所以例

已知矩陣空間的兩組基：求基(I)到基(II)的過渡矩陣。解引入的標(biāo)準(zhǔn)基：顯然類似地，則基(III)到基(I)的過渡矩陣為而基(III)到基(II)的過渡矩陣為所以從而因此基(I)到基(II)的過渡矩陣為注意：

通過上面的例子可以看出線性空間的基底并不唯一，但是維數(shù)是唯一確定的。由維數(shù)的定義,線性空間可以分為有限維線性空間和無限維線性空間。目前，我們主要討論有限維的線性空間。N(A)稱為矩陣A的零子空間或核空間,也記為Ker(A)；對于任意一個有限維線性空間V，它必有兩個平凡的子空間，即由單個零向量構(gòu)成的子空間{0}和V本身。實(shí)數(shù)域R上的線性空間中全體上三角矩陣集合，全體下三角矩陣集合，全體反對稱矩陣集合分別都構(gòu)成的子空間。

設(shè)ARmn，記A={a1,a2,…an},其中aiRm，則k1a1+k2a2…+knan是Rm的子空間，稱為矩陣A的列空間（或值域）,記為R(A)或Im(A)。即R(A)={y|y=Ax,xRn}

注：判定非空集合是否為線性空間，要驗(yàn)算運(yùn)算的封閉性，以及8條運(yùn)算律，相當(dāng)?shù)芈闊?。至于判定線性空間的子集是否為線性子空間，則很方便.下面考慮兩個子空間的運(yùn)算：注意：線性空間V的兩個子空間的V1,V2并一般不是V的子空間；例

設(shè)是線性空間的子空間，且則證明

由子空間和的定義，有V1+V2=span(1,2…s)+span(1,2…t)={(k11+k22…+kss)+(l11+l22…+ltt)|ki,lj

P}=span(1,2…s,1,2…t)例設(shè)求的基與維數(shù)。所以可令設(shè)，則因此所以的基為，維數(shù)為解解關(guān)于的齊次方程組，得由例1.4.4

由前得即然而線性無關(guān)，這樣是的極大無關(guān)組，所以它也是的基，故定理（維數(shù)公式）設(shè)是數(shù)域P上線性空間的兩個有限維子空間，則它們的交與和都是有限維的，并且注意到例1.4.5中這并不是偶然的。

在維數(shù)公式中，和空間的維數(shù)不大于子空間維數(shù)之和。那么何時等號成立呢？例

設(shè)分別是階實(shí)對稱矩陣和反對稱矩陣的全體。顯然容易證明均為線性空間的子空間。試證明證明：因?yàn)槿我鈱?shí)方陣可以分解為一個實(shí)對稱矩陣和一個實(shí)反對稱矩陣的和，即又根據(jù)定理1.4.9可知結(jié)論成立。

這說明，維數(shù)是有限維線性空間的唯一的本質(zhì)特征。在同構(gòu)的意義下，n維向量空間Pn并不只是線性空間V的一個特殊例子，而是所有的n維線性空間的代表。即每一個數(shù)域P上的線性空間都與n維向量空間Pn同構(gòu)。因此n維向量空間Pn中的一些結(jié)論在任意線性空間也成立。

設(shè)V為內(nèi)積空間，V中向量的長度或范數(shù)定義為,長度為1的向量稱為單位向量注：如果0，則是單位向量。

(AB)H=BHAH;

如果A可逆:則(AH)-1=(A-1)H內(nèi)積空間就是增添了一個額外的結(jié)構(gòu)的向量空間。這個額外的結(jié)構(gòu)叫做內(nèi)積。這個增添的結(jié)構(gòu)允許我們談?wù)撓蛄康慕嵌群烷L度。內(nèi)積空間由歐幾里得空間抽象而來。

運(yùn)用正交化與單位化過程將向量組化為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。解：先正交化

再單位化

那么即為所求的標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。注：以上正交化方法的結(jié)果與向量的次序有關(guān)。其解空間的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基底。解：先求出其一個基礎(chǔ)解系下面對進(jìn)行正交化與單位化：

求下面齊次線性方程組即為其解空間的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基底。正交性的應(yīng)用主要是通過正交投影來實(shí)現(xiàn)的。無論是微分方程數(shù)值解中的有限元方法等譜方法及其大量應(yīng)用，還是最優(yōu)化理論（主要是極值問題）及其在控制、通信、雷達(dá)、時間序列分析、信號處理等諸多學(xué)科中的應(yīng)用，都與正交投影有密切聯(lián)系。一言以蔽之，這是人類試圖簡單化現(xiàn)實(shí)世界的一種思維方式。作業(yè):P41:6(5),11,15,19(1),24,27(1)總結(jié)

本章