更新自動(dòng)控制原理(胡壽松)第五第五章

頻率特性分析法

，又稱為頻域分析法，是一種圖解的分析方法，它不必直接求解系統(tǒng)輸出的時(shí)域表達(dá)式，不需要求解系統(tǒng)的閉環(huán)特征根，具有較多的優(yōu)點(diǎn)。如：①根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性能揭示閉環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能,得到定性和定量的結(jié)論，可以簡(jiǎn)單迅速地判斷某些環(huán)節(jié)或者參數(shù)對(duì)系統(tǒng)閉環(huán)性能的影響,并提出改進(jìn)系統(tǒng)的方法。②時(shí)域指標(biāo)和頻域指標(biāo)之間有對(duì)應(yīng)關(guān)系，而且頻率特性分析中大量使用簡(jiǎn)潔的曲線、圖表及經(jīng)驗(yàn)公式，簡(jiǎn)化控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)。

頻率特性分析法的特點(diǎn)現(xiàn)在是1頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四③具有明確的物理意義，它可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)的方法，借助頻率特性分析儀等測(cè)試手段直接求得元件或系統(tǒng)的頻率特性，建立數(shù)學(xué)模型作為分析與設(shè)計(jì)系統(tǒng)的依據(jù)，這對(duì)難于用理論分析的方法去建立數(shù)學(xué)模型的系統(tǒng)尤其有利。④頻率分析法使得控制系統(tǒng)的分析十分方便、直觀，并且可以拓展應(yīng)用到某些非線性系統(tǒng)中。

本章重點(diǎn)介紹頻率特性的基本概念、幅相頻率特性(奈奎斯特圖)與對(duì)數(shù)頻率特性(波特圖)的繪制方法、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)、控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性、利用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)閉環(huán)性能的方法?，F(xiàn)在是2頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四5.1頻率特性的基本概念5.2幅相頻率特性及其繪制5.3對(duì)數(shù)頻率特性及其繪制5.4奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)5.5控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性5.6利用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的閉環(huán)性能5.7閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性本章內(nèi)容現(xiàn)在是3頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四5.1頻率特性的基本概念現(xiàn)在是4頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四5.1.1頻率響應(yīng)控制系統(tǒng)對(duì)正弦輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)正弦響應(yīng)。一個(gè)穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)，在正弦信號(hào)的作用下，穩(wěn)態(tài)時(shí)輸出仍是一個(gè)與輸入同頻率的正弦信號(hào)，且穩(wěn)態(tài)輸出的幅值與相位是輸入正弦信號(hào)頻率的函數(shù)。RC

RC網(wǎng)絡(luò)ui(t)u0(t)i(t)電路的時(shí)間常數(shù)T=RC，單位為s。

例5-1：求下述RC網(wǎng)絡(luò)在正弦信號(hào)輸入作用下的穩(wěn)態(tài)輸出。Ui與分別為輸入正弦信號(hào)的振幅與角頻率現(xiàn)在是5頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四輸出的拉氏變換為：

對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換可得輸出的時(shí)域表達(dá)式：輸出與輸入相位差：

=-arctanTω穩(wěn)態(tài)輸出與輸入幅值比A：二者均與輸入頻率，系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)與參數(shù)有關(guān)?，F(xiàn)在是6頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四

實(shí)際上，頻率響應(yīng)的概念具有普遍意義。對(duì)于穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)（或元件），當(dāng)輸入信號(hào)為正弦信號(hào)r(t)=sint

時(shí)，過(guò)渡過(guò)程結(jié)束后，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出必為

Css(t)=Asin(ωt+)，如圖所示。線性定常系統(tǒng)sintAsin(ωt+)tr（t）Css（t）

線性系統(tǒng)及頻率響應(yīng)示意圖A(ω)(ω)現(xiàn)在是7頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四5.1.2頻率特性1、定義

線性定常系統(tǒng)（或元件）在零初始條件下，當(dāng)輸入信號(hào)的頻率ω在0→∞的范圍內(nèi)連續(xù)變化時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出與輸入信號(hào)的幅值比A(ω)與相位差(ω)隨輸入頻率變化而呈現(xiàn)的變化規(guī)律為系統(tǒng)的頻率特性。A(ω)：幅頻特性。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)不同頻率的正弦輸入時(shí)在幅值上是放大(A＞1)還是衰減(A＜1)。(ω)：相頻特性。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)不同頻率的正弦輸入時(shí)在相位上是超前(＞0o)還是滯后(＜0o)。

頻率特性反映系統(tǒng)對(duì)不同頻率的輸入信號(hào)的跟蹤能力，在頻域內(nèi)全面描述系統(tǒng)的性能。

只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)有關(guān)，是線性定常系統(tǒng)的固有特性?，F(xiàn)在是8頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四RC網(wǎng)絡(luò)的幅頻特性和相頻特性的表達(dá)式分別為：A（ω）=

（ω）=-arctanTωRC

RC網(wǎng)絡(luò)ui(t)u0(t)i(t)控制系統(tǒng)的頻率傳遞函數(shù)恰好表示了系統(tǒng)的頻率特性，其幅值與相角分別為幅頻特性、相頻特性的表達(dá)式。頻率傳遞函數(shù)現(xiàn)在是9頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四G（jω）就是頻率特性通用的表示形式，是ω的函數(shù)。G（jω）=∣G（jω）∣·ej∠G（jω）=A（ω）·ej指數(shù)表示法G（jω）=A(ω)∠(ω)幅角表示法

當(dāng)ω是一個(gè)特定的值時(shí)，可以在復(fù)平面上用一個(gè)向量去表示G(jω)。向量的長(zhǎng)度為A(ω)，向量與正實(shí)軸之間的夾角為

(ω)，并規(guī)定逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?，即相角超前；?guī)定順時(shí)針?lè)较驗(yàn)樨?fù)，即相角滯后。2、頻率特性的表示方法現(xiàn)在是10頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四

另外還可以將向量分解為實(shí)數(shù)部分和虛數(shù)部分，即

G（jω）=R（ω）+jI（ω）

R(ω)稱為實(shí)頻特性，I(ω)稱為虛頻特性。A(ω)與R(ω)為ω的偶函數(shù)，

(ω)與I(ω)是ω的奇函數(shù)?，F(xiàn)在是11頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四線性定常系統(tǒng)，傳遞函數(shù)為G（s）G（jω）=

G（s）|s=jω=A(ω)·ejRsinωtA(ω)·R·sin[ωt+(ω)]A(ω)是幅頻特性，是相頻特性

系統(tǒng)的頻率特性可由系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G（s）將jω代替其中的s而得到。由拉氏變換可知，傳遞函數(shù)的復(fù)變量s=σ+jω。當(dāng)σ=0時(shí)，s=jω。所以G（jω）就是σ=0時(shí)的G（s）。即當(dāng)傳遞函數(shù)的復(fù)變量s用jω代替時(shí)，傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)轭l率特性，這就是求取頻率特性的解析法。由傳遞函數(shù)求取頻率特性現(xiàn)在是12頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四RC

RC網(wǎng)絡(luò)ui(t)u0(t)i(t)G(s)=

00.5/T1/T2/T3/T4/T5/T6/TA()10.890.710.450.320.240.200.160()0-26.6-45-63.5-71.5-76-78.7-80.5-90現(xiàn)在是13頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四5.1.4頻率特性的物理意義1.在某一特定頻率下，系統(tǒng)輸入輸出的幅值比與相位差是確定的數(shù)值，不是頻率特性。當(dāng)輸入信號(hào)的頻率ω在0→∞的范圍內(nèi)連續(xù)變化時(shí)，則系統(tǒng)輸出與輸入信號(hào)的幅值比與相位差隨輸入頻率的變化規(guī)律將反映系統(tǒng)的性能，才是頻率特性。2.頻率特性反映系統(tǒng)本身性能，取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)，與外界因素?zé)o關(guān)。3.頻率特性隨輸入頻率變化的原因是系統(tǒng)往往含有電容、電感、彈簧等儲(chǔ)能元件，導(dǎo)致輸出不能立即跟蹤輸入，而與輸入信號(hào)的頻率有關(guān)。4.頻率特性表征系統(tǒng)對(duì)不同頻率正弦信號(hào)的跟蹤能力，一般有“低通濾波”與“相位滯后”作用?，F(xiàn)在是14頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四5.1.5頻率特性的數(shù)學(xué)意義

頻率特性是描述系統(tǒng)固有特性的數(shù)學(xué)模型，與微分方程、傳遞函數(shù)之間可以相互轉(zhuǎn)換。

三種數(shù)學(xué)模型以不同的數(shù)學(xué)形式表達(dá)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)本質(zhì)，并從不同的角度揭示出系統(tǒng)的內(nèi)在規(guī)律，是經(jīng)典控制理論中最常用的數(shù)學(xué)模型。

微分方程（以t為變量）

傳遞函數(shù)（以s為變量）

頻率特性（以ω為變量）

控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系現(xiàn)在是15頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四1.幅相頻率特性曲線（奈氏曲線,奈氏圖）坐標(biāo)系為極坐標(biāo)。反映A(ω)與

(ω)隨ω變化的規(guī)律。2.對(duì)數(shù)頻率特性曲線(對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖，

波德圖)坐標(biāo)系為半對(duì)數(shù)坐標(biāo)。反映對(duì)數(shù)幅頻特性曲線L(ω)=20lgA(ω)和對(duì)數(shù)相頻特性曲線

(ω)隨ω變化的規(guī)律。3.對(duì)數(shù)幅相頻率特性曲線(尼柯?tīng)査箞D或?qū)?shù)幅相圖)

坐標(biāo)系為對(duì)數(shù)幅相坐標(biāo)。反映L(ω)=20lgA(ω)隨

(ω)的變化規(guī)律，主要用于求取閉環(huán)頻率特性。常用頻率特性曲線現(xiàn)在是16頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四2023/4/21現(xiàn)在是17頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四5.2幅相頻率特性及其繪制

現(xiàn)在是18頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四5.2.1奈氏圖的基本概念

繪制奈氏圖的坐標(biāo)系是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)系的重合。取極點(diǎn)為直角坐標(biāo)的原點(diǎn)，極坐標(biāo)軸為直角坐標(biāo)的實(shí)軸。當(dāng)ω在0→∞的范圍內(nèi)連續(xù)變化時(shí)，向量的幅值A(chǔ)()與相角()均隨之連續(xù)變化，不同ω下的向量的端點(diǎn)在復(fù)平面上掃過(guò)的軌跡即為該系統(tǒng)的奈氏曲線G(j2)Re(1)(2)A(1)A(2)G(j1)

極坐標(biāo)圖的表示方法

Im

把ω作為參變量，標(biāo)在曲線旁邊，并用箭頭表示頻率增大時(shí)曲線的變化軌跡，以便更清楚地看出該系統(tǒng)頻率特性的變化規(guī)律。G(jω)與G(-jω)互為共軛。相應(yīng)的奈氏圖曲線G(jω)必然與G(-jω)對(duì)稱于實(shí)軸。G(jω)=A(ω)·ej現(xiàn)在是19頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四

當(dāng)系統(tǒng)或元件的傳遞函數(shù)G(s)已知時(shí)，可以采用解析的方法先求取系統(tǒng)的頻率特性的具體步驟：1.用jω代替s，求出頻率特性G(jω)2.求出幅頻特性A(ω)與相頻特性(ω)的表達(dá)式，也可求出實(shí)頻特性R(ω)與虛頻特性I(ω)，幫助判斷G(jω)所在的象限。3.在0→∞的范圍內(nèi)選取不同的ω，分別計(jì)算出A(ω)與(ω)的值，在坐標(biāo)圖上描出對(duì)應(yīng)的向量G(jω)，將所有G(jω)的端點(diǎn)連接描出光滑的曲線即可得到所求的奈氏曲線。現(xiàn)在是20頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四典型環(huán)節(jié)的奈氏圖1、比例環(huán)節(jié)用j替換s，可求得比例環(huán)節(jié)的頻率特性表達(dá)式為

G(j)=KImRe0K→0→

比例環(huán)節(jié)的幅相頻率特性G(s)=K幅頻特性A(ω)=

|K|=K相頻特性（ω）=0o比例環(huán)節(jié)的幅頻特性、相頻特性均與頻率無(wú)關(guān)。所以當(dāng)由0變到,G(j)始終為實(shí)軸上一點(diǎn)。比例環(huán)節(jié)可以完全、真實(shí)地復(fù)現(xiàn)任何頻率的輸入信號(hào)，幅值上有放大或衰減作用；()=0o,表示輸出與輸入同相位，既不超前也不滯后。現(xiàn)在是21頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四2、積分環(huán)節(jié)頻率特性：幅頻特性：A()=|1/|=1/

，與角頻率ω成反比相頻特性：()=-90o

積分環(huán)節(jié)的幅相頻率特性→0→0ReIm0＜＜：幅相頻率特性與負(fù)虛軸重合。積分環(huán)節(jié)是低通濾波器，放大低頻信號(hào)、抑制高頻信號(hào)，輸入頻率越低，對(duì)信號(hào)的放大作用越強(qiáng)；并且有相位滯后作用，輸出滯后輸入的相位恒為90o。現(xiàn)在是22頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四3、微分環(huán)節(jié)G(s)=s頻率特性：G(j)=j幅頻特性:

A()=||=，與成正比。相頻特性：

()=90o。在0＜＜的范圍內(nèi),

奈氏圖與正虛軸重合。理想微分環(huán)節(jié)是高通濾波器，輸入頻率越高，對(duì)信號(hào)的放大作用越強(qiáng)；并且有相位超前作用，輸出超前輸入的相位恒為90o，說(shuō)明輸出對(duì)輸入有提前性、預(yù)見(jiàn)性作用。現(xiàn)在是23頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四4、慣性環(huán)節(jié)R()≥0，I()≤0:慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖必在坐標(biāo)系的第四象限。位于第四象限的半圓，圓心為(1/2,0),直徑為1。

比例系數(shù)變?yōu)镵時(shí)，圓心為(K/2,0),直徑為K。慣性環(huán)節(jié)為低通濾波器，且輸出滯后于輸入，相位滯后范圍為0o→-90o。00.5/T1/T2/T3/T4/T5/T6/TA()10.890.710.450.320.240.200.160()0-26.6-45-63.5-71.5-76-78.7-80.5-90現(xiàn)在是24頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四5、一階微分環(huán)節(jié)實(shí)頻特性恒為1，虛頻特性與輸入頻率成正比。平行于正虛軸向上無(wú)窮延伸的直線G(s)=(s+1)具有放大高頻信號(hào)的作用，輸入頻率越大，放大倍數(shù)越大；且輸出超前于輸入，相位超前范圍為0o→90o，輸出對(duì)輸入有提前性、預(yù)見(jiàn)性作用。是控制工程中常用的比例微分控制器（PD控制器），PD控制器常用于改善二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，但存在放大高頻干擾信號(hào)的問(wèn)題。00.5/1/2/A()11.121.412.36()028.74565.490現(xiàn)在是25頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四6、二階振蕩環(huán)節(jié)虛頻特性恒≤0，奈氏曲線必位于第三與第四象限。1＞2。與負(fù)虛軸的交點(diǎn)頻率為=1/T，幅值為1/(2)。相位滯后：輸出滯后于輸入的范圍為0o→-180o；的取值對(duì)曲線形狀的影響較大，可分為以下兩種情況

01/A()11/(2)0()0-90-180現(xiàn)在是26頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四1)

＞0.707

幅頻特性A()隨的增大而單調(diào)減小，如圖中1所對(duì)應(yīng)曲線，環(huán)節(jié)有低通濾波作用。當(dāng)＞1時(shí)，振蕩環(huán)節(jié)有兩個(gè)相異負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)。若足夠大，一個(gè)極點(diǎn)靠近原點(diǎn)，另一個(gè)極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸（對(duì)瞬態(tài)響應(yīng)影響很?。问锨€與負(fù)虛軸的交點(diǎn)的虛部為1/(2)≈0，奈氏圖近似于半圓，即振蕩環(huán)節(jié)近似于慣性環(huán)節(jié)。

現(xiàn)在是27頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四2)0≤≤0.707當(dāng)增大時(shí)，幅頻特性A()并不是單調(diào)減小，而是先增大，達(dá)到一個(gè)最大值后再減小直至衰減為0，這種現(xiàn)象稱為諧振。奈氏圖上距離原點(diǎn)最遠(yuǎn)處所對(duì)應(yīng)的頻率為諧振頻率r，所對(duì)應(yīng)的向量長(zhǎng)度為諧振峰值Mr=A(r)=A(r)/A(0)

。諧振表明系統(tǒng)對(duì)頻率r下的正弦信號(hào)的放大作用最強(qiáng)?，F(xiàn)在是28頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四隨的減小,諧振峰值Mr增大，諧振頻率r也越接近振蕩環(huán)節(jié)的無(wú)阻尼自然振蕩頻率n。諧振峰值Mr越大，表明系統(tǒng)的阻尼比越小，系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性就越差，單位階躍響應(yīng)的最大超調(diào)量σ%也越大。當(dāng)=0時(shí)，r≈n，Mr≈，即振蕩環(huán)節(jié)處于等幅振蕩狀態(tài)。

求諧振角頻率r和諧振峰值Mr，現(xiàn)在是29頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四7、延遲環(huán)節(jié)幅頻特性：A()=1相頻特性：()=-單位為弧度（rad）。或者()=G(s)=e-sG(j)=e-j故延遲環(huán)節(jié)的奈氏圖是一個(gè)以原點(diǎn)為圓心,半徑為1的圓。即延遲環(huán)節(jié)可以不失真地復(fù)現(xiàn)任何頻率的輸入信號(hào)，但輸出滯后于輸入，而且輸入信號(hào)頻率越高，延遲環(huán)節(jié)的輸出滯后就越大。

=時(shí)，()=-，即輸出相位滯后輸入為無(wú)窮大。當(dāng)從0連續(xù)變化至?xí)r，奈氏曲線沿原點(diǎn)作半徑為1的無(wú)窮次旋轉(zhuǎn)，τ越大，轉(zhuǎn)動(dòng)速度越大?，F(xiàn)在是30頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四在低頻區(qū)，頻率特性表達(dá)式根據(jù)泰勒公式展開為當(dāng)很小時(shí)，有

即在低頻區(qū)，延遲環(huán)節(jié)的頻率特性近似于慣性環(huán)節(jié)。從奈氏圖也可見(jiàn)，二者的曲線在低頻區(qū)基本重合?，F(xiàn)在是31頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四5.2.3開環(huán)奈氏圖的繪制1.定義系統(tǒng)的頻率特性有兩種，閉環(huán)頻率特性Ф(jω)與開環(huán)頻率特性Gk(jω)。由于系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)較易獲取，并與系統(tǒng)的元件一一對(duì)應(yīng)，在控制系統(tǒng)的頻率分析法中，分析與設(shè)計(jì)系統(tǒng)一般是基于系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性。幅值相乘、相位相加現(xiàn)在是32頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四2.開環(huán)奈氏圖的繪制(1)低頻段的確定(→0)：起點(diǎn)

低頻段的Gk(jω):()=-v90°向量相乘是幅值相乘、相位相加:低頻段的幅頻：低頻段的相頻：現(xiàn)在是33頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四開環(huán)系統(tǒng)奈氏圖低頻段的形狀（幅值與相位）均與系統(tǒng)的型別v與開環(huán)增益K有關(guān)。1)0型系統(tǒng)，v=0：A(0)

=K，(0)=0o;低頻特性為實(shí)軸上的一點(diǎn)(K,0)。2)Ⅰ型系統(tǒng)，v=1：A(0)=∞，(0)=-90o3)Ⅱ型系統(tǒng)，v=2：A(0)=∞，(0)=-180o系統(tǒng)的型別v每增加1，起點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)90度現(xiàn)在是34頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四(2)高頻段（→∞）：終點(diǎn)

不失一般性，假定系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)全為不相等的負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)與零點(diǎn)。m為分子多項(xiàng)式的階數(shù)，

n為分母多項(xiàng)式的階數(shù)，且一般m＜n

高頻段終止于坐標(biāo)原點(diǎn)；而最終相位為()=-(n-m)90，

現(xiàn)在是35頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四

①(n-m)=1,則()=-90,即幅相特性沿負(fù)虛軸進(jìn)入坐標(biāo)原點(diǎn)。②(n-m)=2,則()=-180,即幅相特性沿負(fù)實(shí)軸進(jìn)入坐標(biāo)原點(diǎn)。③(n-m)=3,則()=-270,即幅相特性沿正虛軸進(jìn)入坐標(biāo)原點(diǎn)?，F(xiàn)在是36頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四(3)奈氏圖與實(shí)軸、虛軸的交點(diǎn)將頻率特性表達(dá)式按照分母有理化的方法分解為實(shí)部與虛部。1）曲線與實(shí)軸的交點(diǎn)處的頻率由虛部為0求出

Im[G(j)]=I()=0求出交點(diǎn)處的，再代回頻率特性表達(dá)式求出交點(diǎn)的坐標(biāo)。2）曲線與虛軸的交點(diǎn)處的頻率由實(shí)部為0求出

Re[G(j)]=R()=0求出交點(diǎn)處的，再代回頻率特性表達(dá)式求出交點(diǎn)的坐標(biāo)?，F(xiàn)在是37頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四(1)分別寫出開環(huán)系統(tǒng)中各個(gè)環(huán)節(jié)的幅頻特性和相頻特性。(2)寫出開環(huán)系統(tǒng)的A(ω)和φ(ω)表達(dá)式。(3)分別求出ω=0和ω=的G(jω)H(jω)

。(4)求奈氏圖與實(shí)軸交點(diǎn)：可用Im[G(jω)H(jω)

]=0求出。(5)求奈氏圖與虛軸交點(diǎn)：可用Re[G(jω)H(jω)

]=0求出。(6)必要時(shí)再畫出中間幾點(diǎn)。(7)勾畫大致曲線（開環(huán)概略幅相曲線）總結(jié)：開環(huán)系統(tǒng)Nyquist圖的一般作圖方法現(xiàn)在是38頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四起點(diǎn)：A(0)=10,(0)=0終點(diǎn)：A()=0,()=-90-90=-180與虛軸的交點(diǎn)：G(j)()17.07-50.72.53.61-82.0351.75-105.2100.74-129.31000.01-173.7例1：繪制0型開環(huán)系統(tǒng)的奈氏圖現(xiàn)在是39頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四Ⅰ型系統(tǒng)G(j)()0.199.6-95.710.517.89-116.5722.24-153.4350.39-168.69100.1-174.29500.004-178.85例2已知開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性，試畫出奈氏圖現(xiàn)在是40頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四Ⅱ型系統(tǒng)例3G(j)()0.535.7-206.617.07-22521.12-243.4350.08-258.7100.01-264.3現(xiàn)在是41頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四0型3型2型1型值系統(tǒng)名稱奈氏圖起點(diǎn)奈氏圖終點(diǎn)=00型(K,j0)(1)分母階次大于分子階次：坐標(biāo)原點(diǎn)處；相位為-90(n-m)(2)分母階次等于分子階次：坐標(biāo)實(shí)軸上的有限值處=1I型相角為-90的無(wú)窮遠(yuǎn)處=2II型相角為-180的無(wú)窮遠(yuǎn)處奈氏圖起點(diǎn)：每增加一個(gè)積分環(huán)節(jié)，相位增加-90現(xiàn)在是42頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四下圖列出了常見(jiàn)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)與開環(huán)概略奈氏圖。

如果系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)沒(méi)有開環(huán)零點(diǎn)，則在由0增大到過(guò)程中，頻率特性的相位單調(diào)連續(xù)減?。筮B續(xù)增加），特性曲線平滑地變化。奈氏曲線應(yīng)該是從低頻段開始幅值逐漸減小，沿順時(shí)針?lè)较蜻B續(xù)變化最后終于原點(diǎn)?，F(xiàn)在是43頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四(4)開環(huán)零點(diǎn)對(duì)曲線的影響1）如果系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)沒(méi)有開環(huán)零點(diǎn)，則在由0增大到過(guò)程中，頻率特性的相位單調(diào)連續(xù)減?。筮B續(xù)增加），特性曲線平滑地變化。奈氏曲線應(yīng)該是從低頻段開始幅值逐漸減小，沿順時(shí)針?lè)较蜻B續(xù)變化最后終于原點(diǎn)。2）如果系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)有開環(huán)零點(diǎn)，則在由0增大到過(guò)程中，特性的相位不再是連續(xù)減小。視開環(huán)零點(diǎn)的時(shí)間常數(shù)的數(shù)值大小不同，特性曲線的相位可能在某一頻段范圍內(nèi)呈增加趨勢(shì)，此時(shí)，特性曲線出現(xiàn)凹部。

現(xiàn)在是44頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四若該系統(tǒng)增加一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)，開環(huán)頻率特性表達(dá)式為此系統(tǒng)仍為Ⅱ型系統(tǒng)，當(dāng)→0時(shí)，幅值趨于無(wú)窮大,而相角位移為-180，即奈氏圖的起點(diǎn)基本未變。在→時(shí)，A()=0，()=-(n-m)90=-290=-180，奈氏圖沿負(fù)實(shí)軸終止于原點(diǎn)。

由于增加了開環(huán)零點(diǎn)，所以奈氏曲線從低頻段到高頻段連續(xù)變化時(shí)，相位先滯后增加，達(dá)到一個(gè)滯后最大值后，相位滯后又開始減?。聪辔辉黾樱?，整條曲線出現(xiàn)了凹凸?，F(xiàn)在是45頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四現(xiàn)在是46頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四

根據(jù)以上繪制規(guī)律，可以方便地繪制系統(tǒng)的開環(huán)概略奈氏圖。

在０＜＜的區(qū)段，奈氏曲線的形狀與所有典型環(huán)節(jié)及其參數(shù)有關(guān)，但通過(guò)奈氏曲線并不能非常直觀地顯示出系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)。

奈氏圖的用途：判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性作業(yè)：p.2375-6p.2385-8,5-9現(xiàn)在是47頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四2023/4/21現(xiàn)在是48頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四5.3對(duì)數(shù)頻率特性及其繪制現(xiàn)在是49頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四5.3.1對(duì)數(shù)頻率特性曲線（Bode圖）基本概念坐標(biāo)系為半對(duì)數(shù)坐標(biāo)。反映對(duì)數(shù)幅頻特性曲線L(ω)=20lgA(ω)和對(duì)數(shù)相頻特性曲線

(ω)隨ω變化的規(guī)律。1.Bode圖的坐標(biāo)系橫坐標(biāo)：對(duì)取以10為底的對(duì)數(shù)lg進(jìn)行分度。十倍頻程（decade，dec）：每變化十倍,

1gω就增加一個(gè)單位長(zhǎng)度。標(biāo)注ω的真值,以方便讀數(shù)。橫坐標(biāo)對(duì)于ω是不均勻的，但對(duì)1gω卻是均勻的線性分度。由于0頻無(wú)法表示，橫坐標(biāo)的最低頻率是由所需的頻率范圍來(lái)確定的。ω1與ω2的距離不是ω2-ω1，而是lgω2-lgω1現(xiàn)在是50頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四對(duì)數(shù)幅頻特性縱坐標(biāo)：(dB)

，用L()=20lgA(ω)表示。對(duì)數(shù)相頻特性圖縱坐標(biāo)：對(duì)相角進(jìn)行線性分度，單位為度（o）

,仍用

()表示。2.伯德（Bode）圖的構(gòu)成G(j)=G1(j)G2(j)…Gn(j)=

A()ej()

A()=A1()A2()…An()；()=1()+2()+…+n()

L()=20lgA()=20lgA1()+20lgA2()+…+20lgAn()=L1()+L2()+…+Ln()現(xiàn)在是51頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四3．Bode圖法的特點(diǎn)（1）橫坐標(biāo)按頻率取對(duì)數(shù)分度，低頻部分展寬，而高頻部分縮小。與對(duì)實(shí)際控制系統(tǒng)（一般為低頻系統(tǒng)）的頻率分辨要求吻合。（2）幅頻特性取分貝數(shù)（20Lg|GH|）后，使各因子間的乘除運(yùn)算變?yōu)榧訙p運(yùn)算，在Bode圖上則變?yōu)楦饕蜃臃l特性曲線的疊加，大大簡(jiǎn)化了作圖過(guò)程，使系統(tǒng)設(shè)計(jì)和分析變得容易。（3）可采用由直線段構(gòu)成的漸近特性（或稍加修正）代替精確Bode圖，使繪圖十分簡(jiǎn)便。（4）在控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和調(diào)試中,開環(huán)放大系數(shù)K是最常變化的參數(shù)。而K的變化不影響對(duì)數(shù)幅頻特性的形狀，只會(huì)使幅頻特性曲線作上下平移?，F(xiàn)在是52頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四5.3.2典型環(huán)節(jié)的伯德圖

1.比例環(huán)節(jié)（K）

比例環(huán)節(jié)可以完全、真實(shí)地復(fù)現(xiàn)任何頻率的輸入信號(hào)，幅值上有放大或衰減作用；

()=0o,表示輸出與輸入同相位，既不超前也不滯后?，F(xiàn)在是53頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四2.積分環(huán)節(jié)(1/s)

402000.010.111020100.010.11

頻率每增加10倍，幅頻特性下降20dB，故積分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性是一條斜率為-20dB/dec的斜線,并且在=1這一點(diǎn)穿過(guò)0dB線。積分環(huán)節(jié)是低通濾波器，放大低頻信號(hào)、抑制高頻信號(hào)，輸入頻率越低，對(duì)信號(hào)的放大作用越強(qiáng)；并且有相位滯后作用，輸出滯后輸入的相位恒為90o?，F(xiàn)在是54頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四3.微分環(huán)節(jié)（s）

1微分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性是一條斜+20dB/dec的斜線,并且在=1這一點(diǎn)穿過(guò)0dB線。理想微分環(huán)節(jié)是高通濾波器，輸入頻率越高，對(duì)信號(hào)的放大作用越強(qiáng)；并且有相位超前作用，輸出超前輸入的相位恒為90o，說(shuō)明輸出對(duì)輸入有提前性、預(yù)見(jiàn)性作用。積分環(huán)節(jié)與理想微分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性相比較，只相差正負(fù)號(hào)，二者以軸為基準(zhǔn)，互為鏡象；同理，二者的相頻特性互以軸為鏡象?，F(xiàn)在是55頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四4.慣性環(huán)節(jié)(1)對(duì)數(shù)幅頻特性

1)低頻段：T<<1(或<<1/T)，T0低頻漸近線：0dB的直線，現(xiàn)在是56頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四2)高頻段

:T>>1(或>>1/T)3）轉(zhuǎn)折點(diǎn)：低頻與高頻漸近線的交點(diǎn)。

轉(zhuǎn)折頻率T：

T

=1/T。

繪制慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性時(shí)的一個(gè)重要參數(shù)。高頻漸近線：斜率為-20dB/dec的直線，現(xiàn)在是57頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四（2）對(duì)數(shù)相頻特性()=-arctan(ωT)；對(duì)數(shù)相頻特性曲線將對(duì)應(yīng)于ω=1/T及()=-45°這一點(diǎn)斜對(duì)稱。在整個(gè)頻率范圍內(nèi)，()呈滯后持續(xù)增加的趨勢(shì)，極限為-90?，F(xiàn)在是58頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四

當(dāng)慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)T改變時(shí)，其轉(zhuǎn)折頻率1/T將在Bode圖的橫軸上向左或向右移動(dòng)。與此同時(shí)，對(duì)數(shù)幅頻特性及對(duì)數(shù)相頻特性曲線也將隨之向左或向右移動(dòng)，但它們的形狀保持不變?，F(xiàn)在是59頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四5．一階微分環(huán)節(jié)（s＋1）

(1)

低頻漸近線：<<1(或<<1/)；近似用零分貝線表示。(2)高頻漸近線：>>1(或>>1/)；斜率為20dB/dec的斜線。(3)轉(zhuǎn)折頻率:T=1/。1)對(duì)數(shù)幅頻特性

現(xiàn)在是60頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四一階微分環(huán)節(jié)的bode圖與慣性環(huán)節(jié)互以橫軸為鏡像。一階微分環(huán)節(jié)具有放大高頻信號(hào)的作用；輸出超前于輸入，0o→90o，輸出對(duì)輸入有提前性、預(yù)見(jiàn)性作用。一階微分環(huán)節(jié)（PD控制器）：改善二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，但存在放大高頻干擾信號(hào)的問(wèn)題。2)相頻特性

3)特點(diǎn)

現(xiàn)在是61頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四

6．二階振蕩環(huán)節(jié)（1）對(duì)數(shù)幅頻特性

1)低頻段：T<<1(或<<1/T)時(shí)，L()20lg1=0dB。(0≤≤1)2)高頻段：T>>1(或>>1/T)時(shí),并考慮到（0≤≤1），有L()-20lg(T)2=-40lg(T)=-40lgT-40lgdB這說(shuō)明高頻段是一條斜率為-40dB/dec的斜線。3)T=1/T為轉(zhuǎn)折頻率，也就是環(huán)節(jié)的無(wú)阻尼自然振蕩頻率n?，F(xiàn)在是62頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四0.4時(shí)，漸近線需要加尖峰修正。隨的減小,諧振峰值Mr增大，系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性就越差，單位階躍響應(yīng)的最大超調(diào)量σ%也越大。諧振頻率r也越接近n。當(dāng)=0時(shí)，r≈n，Mr≈，即振蕩環(huán)節(jié)處于等幅振蕩狀態(tài)。

高頻漸近線:-40dB/dec低頻漸近線:0dB現(xiàn)在是63頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四（2）相頻特性

當(dāng)ω=0時(shí)，()=0ω=1/T時(shí)，()=-90°ω→∞時(shí)，()→-180°

振蕩環(huán)節(jié)具有相位滯后的作用，輸出滯后于輸入的范圍為0o→-180o；同時(shí)的取值對(duì)曲線形狀的影響較大。振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性曲線將對(duì)應(yīng)于ω=1/T及()=-90°這一點(diǎn)斜對(duì)稱?，F(xiàn)在是64頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四7．延遲（滯后）環(huán)節(jié)（e-Ts）

()是呈指數(shù)規(guī)律下降的曲線，隨ω增加而滯后無(wú)限增加，現(xiàn)在是65頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四控制系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為：5.3.3開環(huán)伯德圖的繪制順序斜率疊加法在繪制系統(tǒng)Bode圖時(shí)，應(yīng)先將系統(tǒng)傳遞函數(shù)分解為典型環(huán)節(jié)乘積的形式，再逐步繪制。不必將各個(gè)典型環(huán)節(jié)的L(ω)繪出,而使用從低頻到高頻逐次變換斜率的方法繪出L(ω)曲線,Ф(ω)曲線描點(diǎn)或疊加求取。G(j)=G1(j)G2(j)…Gn(j)=

A()ej()

A()=A1()A2()…An()；()=1()+2()+…+n()

L()=20lgA()=20lgA1()+20lgA2()+…+20lgAn()=L1()+L2()+…+Ln()現(xiàn)在是66頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四1.基本規(guī)律（1）由于系統(tǒng)開環(huán)幅頻特性的漸近線是由各典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性疊加而成，而直線疊加就是斜率相加，所以L()的漸近線必為由不同斜率的線段組成的折線。（2）低頻漸近線（及其延長(zhǎng)線）的確定()=-v90°斜率:-20vdB/dec;與積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)v有關(guān)=1時(shí),有L(1)=20lgK。現(xiàn)在是67頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四（3）轉(zhuǎn)折頻率及轉(zhuǎn)折后斜率變化量的確定在慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率1/T處，斜率-20dB/dec；在一階微分環(huán)節(jié)G(s)=(s+1)的轉(zhuǎn)折頻率1/處，斜率+20dB/dec；在振蕩環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率1/T處，斜率-

40dB/dec（4）最終斜率與最終相位滯后與n-m的關(guān)系()=-(n–m)·90°斜率為-20（n-m）dB/dec的斜線。高頻段Bode圖與（n-m）有關(guān)?！鷷r(shí),由于n＞m，現(xiàn)在是68頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四2．Bode圖繪制步驟1)開環(huán)傳遞函數(shù)寫成時(shí)間常數(shù)表達(dá)式，確定各典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率。2)選定Bode圖坐標(biāo)系所需頻率范圍，一般最低頻率為系統(tǒng)最低轉(zhuǎn)折頻率的1/10左右，而最高頻率為最高轉(zhuǎn)折頻率的10倍左右。3)在橫坐標(biāo)上，由小到大標(biāo)注各典型環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)折頻率。4)確定低頻漸近線（由積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)v與開環(huán)傳遞系數(shù)K決定），找到橫坐標(biāo)為ω=1、縱坐標(biāo)為20lgK的點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)作斜率為-20vdB/dec的斜線。5)由低頻向高頻延伸，每到一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率,斜率根據(jù)具體環(huán)節(jié)作相應(yīng)的改變，最終斜率為-20（n-m）dB/dec。6)如有必要，可對(duì)分段直線進(jìn)行修正，以得到精確的對(duì)數(shù)幅頻特性。通常只需修正各轉(zhuǎn)折頻率處以及轉(zhuǎn)折頻率的二倍頻和1/2倍頻處的幅值就可以了?，F(xiàn)在是69頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四7）系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性L()通過(guò)0分貝線,即

L(c)=0或A(c)=1時(shí)的頻率c稱為幅值穿越頻率。是分析與設(shè)計(jì)時(shí)的重要參數(shù)。8)在對(duì)數(shù)相頻特性圖上，分別畫出各典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性曲線，將各典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性曲線沿縱軸方向迭加，便可得到系統(tǒng)的對(duì)數(shù)相頻特性曲線。也可求出()的表達(dá)式，逐點(diǎn)描繪。低頻時(shí)有()=-v(90)，最終相位為()=-(n-m)90。9)若系統(tǒng)串聯(lián)有延遲環(huán)節(jié)，不影響系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性，只影響系統(tǒng)的對(duì)數(shù)相頻特性，則可以求出相頻特性的表達(dá)式，直接描點(diǎn)繪制對(duì)數(shù)相頻特性曲線?，F(xiàn)在是70頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四(1)確定Bode圖坐標(biāo)系例5.3.1：求開環(huán)傳遞函數(shù)的Bode圖0.1110100204060(2)將各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)角頻率由低到高依次標(biāo)于橫軸上：=1,=2。2(3)繪制低頻漸近線。I型系統(tǒng)；斜率為-20dB/dec

的直線；

=1處的幅值為20lg100=40(dB)。-20dB/dec(4)由低頻到高頻順序繪出對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線。在低頻漸近線的基礎(chǔ)上，每遇到一個(gè)環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率,根據(jù)該環(huán)節(jié)的性質(zhì)作一次斜率變化，直至最后一個(gè)環(huán)節(jié)完成為止。-40dB/dec-20dB/dec>1:[-20][-40]>2:[-40][-20]28c(5)幅值穿越頻率c?現(xiàn)在是71頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四畫開環(huán)傳遞函數(shù)的相頻bode圖-108.4-95.592023/4/21現(xiàn)在是72頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四例5.3.2系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

繪制Bode圖。解：(1)頻率特性(3)轉(zhuǎn)折頻率：=2,10現(xiàn)在是73頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四0.1121020()-92.86-110.85-123.69-123.69-110.85-90現(xiàn)在是74頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四0.112103010002040-20-90L(ω)/dBω[-20][-40]14[-40]-2620-14[-20]-100-110-120(ω)/現(xiàn)在是75頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四例：繪制開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻漸近特性曲線低頻段(<0.5)：轉(zhuǎn)折頻率：0.5230斜率：-40-20-40時(shí)為38db時(shí)為52db解：開環(huán)傳遞函數(shù)為現(xiàn)在是76頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四0.10.51210301000db20db40db-20db-40dbL(ω)ω[-20][-40][-20][-40]低頻段：時(shí)為38db轉(zhuǎn)折頻率：0.5230斜率：-40-20-40時(shí)為52db

L()曲線38db14db-6db現(xiàn)在是77頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四例5.3.4：繪制開環(huán)系統(tǒng)的對(duì)數(shù)頻率曲線。解：對(duì)數(shù)幅頻：低頻段：-20dB/dec,=1時(shí)，20lgK=20lg20=26dB對(duì)數(shù)相頻：相頻特性的畫法為：起點(diǎn)，終點(diǎn)，轉(zhuǎn)折點(diǎn)。 環(huán)節(jié)角度：

轉(zhuǎn)折頻率：1510斜率：-400-40現(xiàn)在是78頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四1101000.10db20db40db-20db-40dbL(ω)/dBω5-90-180對(duì)數(shù)幅頻：低頻段：-20dB/dec,20lgK=26dB

轉(zhuǎn)折頻率：1510

斜率：-400-40修正值：

-114.7-93.7-137.5[-20]26db46db8.14db[-40][-40]-14db現(xiàn)在是79頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四畫開環(huán)系統(tǒng)Bode圖的步驟：(1)寫出開環(huán)頻率特性的時(shí)間常數(shù)表達(dá)式，把其所含各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率由小到大依次標(biāo)注在頻率軸上。(2)確定各轉(zhuǎn)折頻率前后分段直線的斜率：低頻段（<min)的斜率為-20dB/dec（為積分環(huán)節(jié)數(shù)）。同時(shí)利用在=1處，L()=20lgK確定低頻漸近線的位置。沿著頻率增大的方向，每遇到一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率就改變一次分段直線的斜率，取決于對(duì)應(yīng)的典型環(huán)節(jié)的種類（p.203表5-2）。高頻漸近線（分段直線最后一段）的斜率為-20(n-m)dB/dec，其中n、m分別為開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)的極點(diǎn)數(shù)和零點(diǎn)數(shù)。(3)作出分段直線表示的漸近線后，如果需要，再按照各典型因子的誤差曲線對(duì)相應(yīng)的分段直線進(jìn)行修正，就可得到實(shí)際的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線。如對(duì)二階振蕩環(huán)節(jié)，標(biāo)出Mr值。(4)作相頻特性曲線，根據(jù)開環(huán)相頻特性的表達(dá)式，在低頻、中頻和高頻區(qū)域各選擇若干個(gè)頻率進(jìn)行計(jì)算，然后連成曲線?，F(xiàn)在是80頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四由Bode圖確定傳遞函數(shù)1、系統(tǒng)的類型與Bode圖低頻漸近線斜率的對(duì)應(yīng)關(guān)系1）0型系統(tǒng)0型系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅頻特性低頻漸近線為一條20lgKdB的水平線。2）I型系統(tǒng)

低頻漸近線斜率為-20dB/dec開環(huán)增益K在數(shù)值上等于低頻漸近線（或延長(zhǎng)線）與0dB線相交點(diǎn)的頻率值。

低頻漸近線（或延長(zhǎng)線）在ω=1處的相交坐標(biāo)值為20lgK。現(xiàn)在是81頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四3）Ⅱ型系統(tǒng)

低頻漸近線的斜率為-40dB/dec。

低頻漸近線（或延長(zhǎng)線）在ω=1處的坐標(biāo)值為20lgK。

開環(huán)增益K在數(shù)值上等于低頻漸近線（或延長(zhǎng)線）與0dB線相交點(diǎn)頻率值的平方?，F(xiàn)在是82頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四例5.3.5某最小相位系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性的漸近線如圖所示，確定該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。2、舉例28現(xiàn)在是83頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四例5.3.5某最小相位系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性的漸近線如圖所示，確定該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)?，F(xiàn)在是84頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四作業(yè)：p.238:5-11；5-12現(xiàn)在是85頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四5.3.4最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)

“最小相位”這一概念來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)理論。它是指具有相同幅頻特性的一些環(huán)節(jié),其中相角位移有最小可能值的,稱為最小相位環(huán)節(jié);反之,其中相角位移大于最小可能值的環(huán)節(jié)稱為非最小相位環(huán)節(jié)。1.基本概念（1）如果系統(tǒng)傳遞函數(shù)在右半S平面上沒(méi)有極點(diǎn)和零點(diǎn)，則稱該系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)（由除延遲環(huán)節(jié)之外的典型環(huán)節(jié)組成），如（2）系統(tǒng)傳遞函數(shù)在右半s平面上有一個(gè)(或多個(gè))零點(diǎn)或極點(diǎn)，稱為非最小相位系統(tǒng)；

現(xiàn)在是86頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四

顯然G1（s）屬于最小相位系統(tǒng)。這兩個(gè)系統(tǒng)幅值相同，具有同一個(gè)幅頻特性，但它們卻有著不同的相頻特性。下面以一個(gè)簡(jiǎn)單例子來(lái)說(shuō)明最小相位系統(tǒng)的慨念?，F(xiàn)在是87頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四1()=arctan-arctanT2()=-arctan-arctanTG1(s)具有較小的相位變化范圍(0°,-90°),為最小相位環(huán)節(jié)；而G2(s)為非最小相位環(huán)節(jié)，相位變化范圍較大(0°，-180°)現(xiàn)在是88頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四2、性質(zhì)☆

(1)最小相位系統(tǒng)的對(duì)數(shù)相頻特性和對(duì)數(shù)幅頻特性是一一對(duì)應(yīng)的。也就是說(shuō)，對(duì)于最小相位系統(tǒng)，一條對(duì)數(shù)幅頻特性只有一條對(duì)數(shù)相頻特性與之對(duì)應(yīng)，知道其對(duì)數(shù)幅頻特性，也就知道其對(duì)數(shù)相頻特性。因此，利用Bode圖對(duì)最小相位系統(tǒng)進(jìn)行分析時(shí)，往往只分析其對(duì)數(shù)幅頻特性L()。(2)最小相位系統(tǒng)的對(duì)數(shù)相頻特性和對(duì)數(shù)幅頻特性的變化趨勢(shì)相同，即若L()的斜率減?。ɑ蛟龃螅?，則()的相位也相應(yīng)地減小（或增大）；如果在某一頻率范圍內(nèi),對(duì)數(shù)幅頻特性L()的斜率保持不變,則在這些范圍內(nèi),相位也幾乎保持不變。現(xiàn)在是89頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四5.4奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)現(xiàn)在是90頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四

除勞斯判據(jù)外，分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的另一種常用判據(jù)為奈奎斯特(Nyquist)判據(jù)。Nyquist穩(wěn)定判據(jù)是奈奎斯特于1932年提出的，是頻率法的重要內(nèi)容，簡(jiǎn)稱奈氏判據(jù)。奈氏判據(jù)的主要特點(diǎn)有1.根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性，來(lái)研究閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性，而不必求閉環(huán)特征根；2.能夠確定系統(tǒng)的穩(wěn)定程度（相對(duì)穩(wěn)定性）。3.可用于分析系統(tǒng)的瞬態(tài)性能，利于對(duì)系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)；4.基于系統(tǒng)的開環(huán)奈氏圖，是一種圖解法。

現(xiàn)在是91頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四一、

簡(jiǎn)化奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

1.繪制由0變到+

時(shí)的開環(huán)幅相頻率特性G(j)

由0變到+

時(shí)的開環(huán)幅相頻率特性G(j)順時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)為N，已知系統(tǒng)開環(huán)右極點(diǎn)數(shù)為P

，則系統(tǒng)閉環(huán)右極點(diǎn)個(gè)數(shù)為Z

（不包括虛軸上的極點(diǎn)）：

Z=P+2N

當(dāng)Nyquist曲線G(jω)通過(guò)(-l,j0)點(diǎn)時(shí),表明在s平面虛軸上有閉環(huán)極點(diǎn)，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，屬于不穩(wěn)定?，F(xiàn)在是92頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四2.采用穿越的概念簡(jiǎn)化復(fù)雜曲線包圍次數(shù)的計(jì)算由0變到+

時(shí)開環(huán)頻率特性曲線要形成對(duì)(-1,j0)點(diǎn)的一次包圍，勢(shì)必穿越（-∞，-1）區(qū)間一次。開環(huán)頻率特性曲線逆時(shí)針穿越（-∞，-1）區(qū)間時(shí)，隨ω增加，頻率特性的相角值增大，稱為一次正穿越N’+。開環(huán)頻率特性曲線順時(shí)針穿越（-∞，-1）區(qū)間時(shí)，隨ω增加，頻率特性的相角值減小，則稱為一次負(fù)穿越N’-。由0變到+

時(shí)的開環(huán)幅相頻率特性G(j)對(duì)(-1,j0)點(diǎn)的總包圍次數(shù)為N=N’--

N’+

Z=P+2(N’--

N’+

)利用正、負(fù)穿越情況的奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)敘述為：現(xiàn)在是93頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四3.半次穿越

奈氏曲線始于或止于(-1,j0)點(diǎn)以左負(fù)實(shí)軸，稱為一個(gè)半次穿越。由于曲線始于(-3，j0)點(diǎn)，故順時(shí)針包圍(-1，j0)的次數(shù)為1/2，N’-=1/2。開環(huán)右極點(diǎn)數(shù)為P=0，故

Z=P+2(

N’--0)

=P+2N’-=1閉環(huán)系統(tǒng)有一個(gè)右極點(diǎn)，閉環(huán)不穩(wěn)定。例某系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。現(xiàn)在是94頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四例5.4.2經(jīng)實(shí)驗(yàn)測(cè)得某最小相位系統(tǒng)的開環(huán)奈氏圖如圖所示，判斷閉環(huán)穩(wěn)定性。由圖可以看出,當(dāng)由0變到+時(shí),G(j)矢量在(-1,j0)點(diǎn)以左負(fù)實(shí)軸上正負(fù)穿越次數(shù)各一次。

Z=P+2（N’-

-N’+

）

=0。

故由奈氏穩(wěn)定判據(jù)知該閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

由于為最小相位系統(tǒng)，開環(huán)右極點(diǎn)數(shù)P=0，且為0型系統(tǒng)，故直接利用開環(huán)頻率特性G(j)的軌跡判斷穩(wěn)定性?，F(xiàn)在是95頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四4.型別v≥1系統(tǒng)開環(huán)頻率特性G(j)曲線的處理原有曲線的起點(diǎn)對(duì)應(yīng)于=0+。在=0附近,幅相特性以為半徑,逆時(shí)針補(bǔ)畫=v·90°的圓弧，添加圓弧后相當(dāng)于得到新的開環(huán)頻率特性G(j)曲線。系統(tǒng)在虛軸上的0值開環(huán)極點(diǎn)作左極點(diǎn)處理。

Z=P+2（N’--

N’+

）開環(huán)系統(tǒng)型別過(guò)高會(huì)影響穩(wěn)定性.而串聯(lián)比例微分調(diào)節(jié)器可以改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性，起到校正的作用，但要選擇合適的參數(shù)。現(xiàn)在是96頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四例5.4.3判斷圖示系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性b圖所示系統(tǒng)為一Ⅰ型二階系統(tǒng)，該系統(tǒng)為非最小相位系統(tǒng)，P=1，在=0附近,曲線以為半徑,逆時(shí)針補(bǔ)畫=1·90°=90°的圓弧與負(fù)實(shí)軸相交。由0變到+

時(shí)，順時(shí)針包圍（-1，j0）點(diǎn)半次，有N’-=1/2。則Z=P+2N’-=2，閉環(huán)系統(tǒng)有兩個(gè)右極點(diǎn)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。Z=P+2（N’--

N’+

）現(xiàn)在是97頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四例5.4.4系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為畫出開環(huán)系統(tǒng)的奈氏圖，并用奈氏穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性開環(huán)系統(tǒng)存在一階微分環(huán)節(jié)，奈氏圖穿越負(fù)實(shí)軸。開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，但閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，有2個(gè)極點(diǎn)在[s]平面的右半平面?，F(xiàn)在是98頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四二、

奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)在伯德圖上的應(yīng)用

由于系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線的繪制較奈奎斯特曲線更為簡(jiǎn)單、方便，自然使用伯德圖來(lái)進(jìn)行系統(tǒng)穩(wěn)定性判別就更適用。該判據(jù)不但可以回答系統(tǒng)穩(wěn)定與否的問(wèn)題，還可以研究系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量（相對(duì)穩(wěn)定性），以及研究系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響?，F(xiàn)在是99頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四（1）在G(j)平面上,|G(j)|=1的單位圓,對(duì)應(yīng)于對(duì)數(shù)幅頻特性的0dB線;

單位圓外部如(-,-1)區(qū)段，對(duì)應(yīng)L()>0dB，單位圓內(nèi)部對(duì)應(yīng)L()<0dB。

（2）從對(duì)數(shù)相頻特性來(lái)看,G(j)平面上的負(fù)實(shí)軸,對(duì)應(yīng)于對(duì)數(shù)相頻特性上的()=-180°。（3）(-1,j0)點(diǎn)的向量表達(dá)式為1∠-180°，對(duì)應(yīng)于波德圖上穿過(guò)0dB線，并同時(shí)穿過(guò)()=-180°的點(diǎn)。二、

奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)在伯德圖上的應(yīng)用

1、奈氏圖與伯德圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系現(xiàn)在是100頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四2、穿越在波德圖上的含義（1）穿越：在L()>0dB的頻率范圍內(nèi)，相頻特性曲線穿過(guò)-180°；在L()<0dB的頻率范圍內(nèi)，相頻特性曲線穿過(guò)-180°不是穿越。（2）正穿越N+ˊ：產(chǎn)生正的相位移，這時(shí)，相頻特性應(yīng)由下部向上穿越-180°線。（3）負(fù)穿越N-ˊ：產(chǎn)生負(fù)的相位移,這時(shí),相頻特性應(yīng)由上部向下穿越-180°線。正、負(fù)穿越的定義和前面的定義實(shí)際上是一致的。正穿越負(fù)穿越-270-90現(xiàn)在是101頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四3、對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的奈氏判據(jù)根據(jù)上述對(duì)應(yīng)關(guān)系，結(jié)合使用正、負(fù)穿越情況的穩(wěn)定判據(jù)，在伯德圖上使用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)時(shí)，就是在L()>0dB的頻率范圍內(nèi)，根據(jù)相頻曲線穿越-180o的相位線的次數(shù)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性做出判定?？蓪?duì)數(shù)頻率特性判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的奈氏穩(wěn)定判據(jù)表述如下:

設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面上的極點(diǎn)數(shù)為P，則L()>0dB的頻率范圍內(nèi)，當(dāng)頻率增加時(shí)對(duì)數(shù)相頻特性曲線對(duì)-180o的相位線的正、負(fù)穿越次數(shù)為N’+與N’-

，閉環(huán)右極點(diǎn)個(gè)數(shù)為

Z=P+2（N’--N’+）

現(xiàn)在是102頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四[例6]設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線如圖所示，試判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解：由系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)可知，開環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即P=0，在L()>0dB的頻率范圍內(nèi)，相頻特性曲線()不穿越-180o的相位線，即正、負(fù)穿越次數(shù)差為0，由Z=P+2N′可知，Z=0，故閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

現(xiàn)在是103頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四

對(duì)于型別v≥1（v為系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)在原點(diǎn)處的極點(diǎn)數(shù)）的系統(tǒng)，應(yīng)將Bode圖對(duì)數(shù)相頻特性在ω→0處附加一段自上而下的、變化范圍為-v·90°的曲線與相頻特性曲線在ω→0處相連。相頻特性經(jīng)過(guò)處理后，再使用上述穩(wěn)定性判據(jù)?，F(xiàn)在是104頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四作業(yè)：p.2385-14(不交）；p.2395-16；p.2405-17現(xiàn)在是105頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四5.5控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性

（計(jì)算系統(tǒng)穩(wěn)定裕度：

相角裕量和幅值裕量hg）

現(xiàn)在是106頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四一、相位裕量γ,

幅值穿越頻率ωc相角裕量γ:使系統(tǒng)達(dá)到臨界穩(wěn)定需要增加的相角:

γ=(c)-

(-180o)=(c)+180o穩(wěn)定系統(tǒng)：γ>0,γ越大,系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性越高。

相位裕度是設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)的一個(gè)重要依據(jù)，描述系統(tǒng)的阻尼程度。幅值穿越頻率(或截止頻率)ωc:G(j)曲線與單位圓(0dB線)交接處的頻率；現(xiàn)在是107頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四二、

幅值裕量hg，

相位穿越頻率ωg幅值裕量hg：Nyquist曲線與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)處幅值的倒數(shù)穩(wěn)定系統(tǒng)：hg>1,Lh(dB)>0,hg越大，相對(duì)穩(wěn)定性越高。相位穿越頻率(相位交接頻率)ωg：G(j)曲線曲線與負(fù)實(shí)軸(-180o線)交接處的頻率。現(xiàn)在是108頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四三、系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量?jī)H用相位裕量或幅值裕量都不足以充分說(shuō)明系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對(duì)于非最小相位系統(tǒng)，只有當(dāng)γ、Lh均為正時(shí)，系統(tǒng)才是穩(wěn)定的。對(duì)最小相位系統(tǒng)，有時(shí)僅需兩者之一即可，一般取γ。為了確保系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性，使系統(tǒng)具有滿意的性能，γ、Lh都應(yīng)該有合適的取值。從控制工程實(shí)踐得出，系統(tǒng)應(yīng)具有30~60的相位裕量，幅值裕量大于6dB（即hg>2）。要求相位裕量應(yīng)在30~60之間,意味著開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性在穿越頻率c上的斜率必須小于-40dB/十倍頻,通常取-20dB/dec，且具有一定的寬度。適當(dāng)?shù)南辔辉Ａ亢头翟Ａ?可以防止系統(tǒng)中元件的參數(shù)和特性在工作過(guò)程中的變化對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性產(chǎn)生不良的影響，并可以提高系統(tǒng)抗高頻干擾的能力?，F(xiàn)在是109頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四例：系統(tǒng)開環(huán)傳函為分別畫出K=5、20系統(tǒng)的Bode圖，并求幅值裕度hg，相位裕度。K=5：=12o，L(h)=6dBK=20：

=-12o，L(h)=-6dB解：(1)作出bode圖；（2）由圖讀相應(yīng)的數(shù)據(jù)(3)計(jì)算法：現(xiàn)在是110頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四例5.5.2典型二階系統(tǒng)如圖所示：試確定其相角裕度。R(s)C(s)_截止頻率c相角裕度截止頻率c是n的增函數(shù)和的減函數(shù)相角裕度只與阻尼比有關(guān)，且為的增函數(shù)現(xiàn)在是111頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四現(xiàn)在是112頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四現(xiàn)在是113頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四現(xiàn)在是114頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四作業(yè)：p.2405-21,5-22,5-23現(xiàn)在是115頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四5.6利用開環(huán)頻率特性

分析系統(tǒng)的性能現(xiàn)在是116頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四

幅值穿越頻率c與相位穿越頻率g，相位裕量與幅值裕量hg都是控制系統(tǒng)的開環(huán)頻域指標(biāo)，頻域指標(biāo)是表征系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的間接指標(biāo)。由于時(shí)域指標(biāo)（穩(wěn)態(tài)誤差ess、最大超調(diào)量σ%、調(diào)節(jié)時(shí)間ts等）反映系統(tǒng)性能更為直接、正確。因此需要探討開環(huán)頻域指標(biāo)與時(shí)域指標(biāo)之間的關(guān)系，以便于由開環(huán)頻域指標(biāo)分析閉環(huán)系統(tǒng)的性能。

對(duì)于最小相位系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，對(duì)數(shù)幅頻特性與對(duì)數(shù)相頻特性存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，反映系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)，能夠據(jù)此推出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。因此，根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性L()，就能了解系統(tǒng)的靜態(tài)和動(dòng)態(tài)性能。

本節(jié)介紹開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性L()的形狀與系統(tǒng)性能的關(guān)系，并研究頻域指標(biāo)與時(shí)域指標(biāo)的關(guān)系，以及根據(jù)頻域指標(biāo)估算系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)性能的方法?，F(xiàn)在是117頁(yè)\一共有135頁(yè)\編輯于星期四一、開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性L()中頻段

與系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的關(guān)系

由開環(huán)頻率特性來(lái)研究系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能,一般是用對(duì)數(shù)幅頻特性的幅值穿越頻率c和相位裕量這兩個(gè)特征量，這兩個(gè)特征量都與系統(tǒng)中頻段的形狀有關(guān)。開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性L()的中頻段是指L()曲線在幅值穿越頻率c附近的區(qū)段，在波德圖一般是L()從大約+30dB過(guò)渡到約-15dB的范圍內(nèi)。下面以一例題來(lái)說(shuō)明系統(tǒng)開環(huán)波德圖中頻段形狀與系統(tǒng)穩(wěn)定性之間的關(guān)系?，F(xiàn)在是11