2016屆江蘇省南京市鹽城市高三第二次模擬考試數學試題（解析版）

2016屆江蘇省南京市、鹽城市高三第二次模擬考試數學試題（解析版）1．本試卷共4頁，包括填空題（第1題~第14題）、解答題（第15題~第20題）兩部分．本試卷滿分為160分，考試時間為120分鐘．2．答題前，請務必將自己的姓名、、班級、學號寫在答題紙的密封線內．試題的答案寫在答題紙上對應題目的答案空格內．考試結束后，交回答題紙．參考公式：錐體的體積公式：V＝eq\F(1,3)Sh，其中S為錐體的底面積，h為錐體的高．1．設集合A＝{x|－2＜x＜0}，B＝{x|－1＜x＜1}，則A∪B＝eq\o(▲,\s\do1(________))．【答案】{x|－2＜x＜1}【解析】A∪B＝{x|－2＜x＜0}∪{x|－1＜x＜1}={x|－2＜x＜1}【考點】集合的并集若復數z＝(1＋mi)(2－i)(i是虛數單位)是純虛數，則實數m的值為▲．【答案】【解析】因為z＝(1＋mi)(2－i)，所以【考點】復數概念將一骰子連續(xù)拋擲兩次，至少有一次向上的點數為1的概率是▲．【答案】【考點】古典概型概率4．如圖所示，一家面包銷售店根據以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖．若一個月以30天計算，估計這家面包店一個月內日銷售量不少于150個的天數為eq\o(▲,\s\do1(________))．（第4題圖）（第4題圖）【答案】【解析】【考點】頻率分布直方圖5．執(zhí)行如圖所示的流程圖，則輸出的k的值為▲．kk←1開始輸出k結束S＞16S←1YNS←S＋3k－1k←k＋1（第5題圖）【答案】【考點】循環(huán)結構流程圖設公差不為0的等差數列{aEQ\s\do2(n)}的前n項和為Sn．若S3＝，且S1，S2，S4成等比數列，則a10等于▲．【答案】【解析】設公差為，則由題意得，因此【考點】等差數列通項公式7．如圖，正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝4，AA1＝6．若E，F分別是棱BB1，CC1上的點，則三棱錐A—A1EF的體積是eq\o(▲,\s\do1(________))．（第7題圖）（第7題圖）ABCA1B1FC1E【答案】【考點】三棱錐體積已知函數f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，)的最小正周期為π，且它的圖象過點，則φ的值為eq\o(▲,\s\do1(________))．【答案】【解析】由題意得，或，因為，所以【考點】三角函數性質已知函數則不等式f(x)≥－1的解集是eq\o(▲,\s\do1(________))．【答案】【解析】由題意得或，解得或，即，解集為【考點】分段函數解集在平面直角坐標系xOy中，拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點為F，雙曲線的兩條漸近線分別與拋物線交于A，B兩點(A，B異于坐標原點O)．若直線AB恰好過點F，則雙曲線的漸近線方程是eq\o(▲,\s\do1(________)).【答案】【解析】由題意得：一條漸近線過點，因此斜率為，雙曲線的漸近線方程是【考點】拋物線性質，雙曲線漸近線在△ABC中，A＝120°，AB＝4．若點D在邊BC上，且，則AC的長為eq\o(▲,\s\do1(________))．【答案】【考點】向量數量積已知圓O：x2＋y2＝1，圓M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1．若圓M上存在點P，過點P作圓O的兩條切線，切點為A，B，使得∠APB＝60°，則實數a的取值范圍為eq\o(▲,\s\do1(________))．【答案】【解析】由題意得：，因此由兩圓有交點得：【考點】直線與圓位置關系13．已知函數f(x)＝ax2＋x－b(a，b均為正數)，不等式f(x)＞0的解集記為P，集合Q＝{x|－2－t＜x＜－2＋t}．若對于任意正數t，P∩Q≠，則的最大值是eq\o(▲,\s\do1(________))．【答案】【考點】一元二次不等式解集，利用導數求函數最值14．若存在兩個正實數x、y，使得等式x＋a(y－2ex)(lny－lnx)＝0成立，其中e為自然對數的底數，則實數a的取值范圍為eq\o(▲,\s\do1(________))．【答案】【解析】由題意得：，令，則當時；當時；因此；從而【考點】利用導數求函數值域二、解答題（本大題共6小題，計90分.解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟，請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內）15．(本小題滿分14分)已知α為銳角，cos(α＋)＝．（1）求tan(α＋)的值；（2）求sin(2α＋)的值．（1）2（2）解：（1）因為α∈(0，），所以α＋∈(，)，所以sin(α＋)＝，…………………3分所以tan(α＋)＝………………6分（2）因為sin(2α＋)＝sin[2(α＋)]＝2sin(α＋)cos(α＋)＝，…9分cos(2α＋)＝cos[2(α＋)]＝2cos2(α＋)－1＝，……………12分所以sin(2α＋)＝sin[(2α＋)－]＝sin(2α＋)cos－cos(2α＋)sin＝．…………14分同角三角函數關系，兩角差的正弦公式及二倍角公式16．(本小題滿分14分)如圖，在三棱錐P—ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，M，N分別為AB，PA的中點．（1）求證：PB∥平面MNC；（2）若AC＝BC，求證：PA⊥平面MNC.（第16題圖）（第16題圖）（1）（2）證：（1）因為M，N分別為AB，PA的中點，所以MN∥PB．…………………2分因為MN平面MNC，PB平面MNC，所以PB∥平面MNC.……4分（2）因為PA⊥PB，MN∥PB，所以PA⊥MN.……………6分因為AC＝BC，AM＝BM，所以CM⊥AB.……………8分因為平面PAB⊥平面ABC，CM平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，所以CM⊥平面PAB．…………………12分因為PA平面PAB，所以CM⊥PA．因為PA⊥MN，MN平面MNC，CM平面MNC，MN∩CM＝M，所以PA⊥平面MNC.……………………14分線面平行判定定理，面面垂直性質定理,線面垂直判定及性質定理17．(本小題滿分14分)如圖，某城市有一塊半徑為1（單位：百米）的圓形景觀，圓心為C，有兩條與圓形景觀相切且互相垂直的道路．最初規(guī)劃在拐角處（圖中陰影部分）只有一塊綠化地，后來有眾多市民建議在綠化地上建一條小路，便于市民快捷地往返兩條道路．規(guī)劃部門采納了此建議，決定在綠化地中增建一條與圓C相切的小道AB．問：A，B兩點應選在何處可使得小道AB最短？當A，B兩點離道路的交點都為2－(百米)時，小道AB最短．由條件可知，建立直角坐標系研究數量關系較為方便，實質轉化為直線與圓相切位置關系.利用直線截距式設AB方程，利用圓心到直線距離等于半徑得等量關系：ab＝2(a＋b)－2．而，利用基本不等式求出a＋b取值范圍，從而得到函數最值.因為0＜a＜1，0＜b＜1，所以0＜a＋b＜2，于是AB＝2－(a＋b)．直線與圓位置關系，基本不等式應用18．(本小題滿分16分)在平面直角坐標系xOy中，點C在橢圓M：(a＞b＞0)上．若點A(－a，0)，B(0，)，且．（1）求橢圓M的離心率；（2）設橢圓M的焦距為4，P，Q是橢圓M上不同的兩點，線段PQ的垂直平分線為直線l，且直線l不與y軸重合．①若點P(－3，0)，直線l過點(0，－)，求直線l的方程；②若直線l過點(0，－1)，且與x軸的交點為D，求D點橫坐標的取值范圍．（1）（2）①y＝－x＋或y＝x＋，②(－，0)∪(0，)．（1）求橢圓離心率，只需列出一個關于獨立條件：由可用表示點C坐標，而C在橢圓上，其坐標滿足橢圓方程，因此可得條件a2＝b2，解得（2）①本題屬于弦中點問題，可利用點差法得弦中點與弦斜率之間關系式：設PQ中點為，則有，解得PQ斜率為1或，②同①本題屬于弦中點問題，可利用點差法得弦中點與弦斜率之間關系式：設PQ中點為，則有，解得－＜k＜，且k≠0，而直線l與x軸的交點D點橫坐標為－k∈(－，0)∪(0，)．解：（1）設C(x0，y0)，則＝(a，)，＝(x0，y0－)．因為，所以(a，)＝(x0，y0－)＝(x0，y0－)，得………2分代入橢圓方程得a2＝b2．因為a2－b2＝c2，所以e＝．………4分將②代入①化簡得y02－y0＝0，解得y0＝0（舍），或y0＝．將y0＝代入①得x0＝±，所以Q為(±，)，所以PQ斜率為1或，直線l的斜率為－1或，所以直線l的方程為y＝－x＋或y＝x＋．……………10分19．(本小題滿分16分)對于函數f(x)，在給定區(qū)間[a，b]內任取n＋1(n≥2，n∈N*)個數x0，x1，x2，…，xn，使得a＝x0＜x1＜x2＜…＜xn－1＜xn＝b，記S＝|f(xi＋1)－f(xi)|．若存在與n及xi(i≤n，i∈N)均無關的正數A，使得S≤A恒成立，則稱f(x)在區(qū)間[a，b]上具有性質V．（1）若函數f(x)＝－2x＋1，給定區(qū)間為[－1，1]，求S的值； （2）若函數f(x)＝，給定區(qū)間為[0，2]，求S的最大值；（3）對于給定的實數k，求證：函數f(x)＝klnx－x2在區(qū)間[1，e]上具有性質V．（1）4，（2），（3）詳見解析（1）解：因為函數f(x)＝－2x＋1在區(qū)間[－1，1]為減函數，所以f(xi＋1)＜f(xi)，所以|f(xi＋1)－f(xi)|＝f(xi)－f(xi＋1)．S＝|f(xi＋1)－f(xi)|＝[f(x0)－f(x1)]+[f(x1)－f(x2)]+…+[f(xn-1)－f(xn)]＝f(x0)－f(xn)＝f(－1)－f(1)＝4．…………2分(2)解：由f′(x)＝＝0，得x＝1．當x＜1時，f′(x)＞0，所以f(x)在(－∞，1)為增函數；當x＞1時，f′(x)＜0，所以f(x)在(1，＋∞)為減函數；所以f(x)在x＝1時取極大值．………………4分設xm≤1＜xm＋1，m∈N，m≤n－1，則S＝|f(xi＋1)－f(xi)|＝|f(x1)－f(0)|＋…＋|f(xm)－f(xm－1)|＋|f(xm＋1)－f(xm)|＋|f(xm＋2)－f(xm＋1)|＋…＋|f(2)－f(xn－1)|＝[f(x1)－f(0)]＋…＋[f(xm)－f(xm－1)]＋|f(xm＋1)－f(xm)|＋[f(xm＋1)－f(xm＋2)]＋…＋[f(xn－1)－f(2)]＝[f(xm)－f(0)]＋|f(xm＋1)－f(xm)|＋[f(xm＋1)－f(2)]．…………6分因為|f(xm＋1)－f(xm)|≤[f(1)－f(xm)]＋[f(1)－f(xm＋1)]，當xm＝1時取等號，所以S≤f(xm)－f(0)＋f(1)－f(xm)＋f(1)－f(xm＋1)＋f(xm＋1)－f(2)＝2f(1)－f(0)－f(2)＝.所以S的最大值為．…………8分②當k≤1時，k－x2≤0恒成立，即f′(x)≤0恒成立，所以f(x)在[1，e]上為減函數，所以S＝|f(xi＋1)－f(xi)|＝[f(x0)－f(x1)]+[f(x1)－f(x2)]+…+[f(xn-1)－f(xn)]＝f(x0)－f(xn)＝f(1)－f(e)＝e2－k－．因此，存在正數A＝e2－k－，都有S≤A，因此f(x)在[1，e]上具有性質V．…………12分綜上，對于給定的實數k，函數f(x)＝klnx－x2在區(qū)間[1，e]上具有性質V．……………16分絕對值不等式性質，利用導數研究函數單調性20．(本小題滿分16分)已知數列{an}的前n項和為Sn，且對任意正整數n都有an＝(－1)nSn＋pn(p為常數，p≠0)．（1）求p的值；（2）求數列{an}的通項公式；（3）設集合An＝{a2n－1，a2n}，且bn，cnAn，記數列{nbn}，{ncn}的前n項和分別為Pn，Qn．若b1≠c1，求證：對任意n∈N*，Pn≠Qn．（1）－（2）（3）詳見解析（1）（2）（3）解：（1）由a1＝－S1＋p，得a1＝．………2分由a2＝S2＋p2，得a1＝－p2，所以＝－p2．又p≠0，所以p＝－．…………3分（3）An＝{－，}，由于b1≠c1，則b1與c1一正一負，不妨設b1＞0，則b1＝，c1＝－．則Pn＝b1＋2b2＋3b3＋…＋nbn≥－(＋+…＋)．……………12分附加題A．選修4—1：幾何證明選講如圖，在Rt△ABC中，AB＝BC．以AB為直徑的⊙O交AC于點D，過D作DEBC，垂足為E，連接AE交⊙O于點F．求證：BECE＝EFEA．AABCEFDO詳見解析由切割線定理得：,因此要證BECE＝EFEA，只需證明；因為DEBC，只需證明,而AB為直徑，所以,又AB＝BC，,所以,證明：連接BD．因為AB為直徑，所以BD⊥AC．因為AB＝BC，所以AD＝DC．……4分因為DEBC，ABBC，所以DE∥AB，…………6分所以CE＝EB．………8分因為AB是直徑，ABBC，所以BC是圓O的切線，所以BE2＝EFEA，即BECE＝EFEA．…………10分切割線定理B．選修4—2：矩陣與變換已知a，b是實數，如果矩陣A＝所對應的變換T把點(2，3)變成點(3，4)．（1）求a，b的值．（2）若矩陣A的逆矩陣為B，求B2．（1）a＝－1，b＝5．（2）解：（1）由題意，得，得6＋3a＝3，2b－6＝4，…4分所以a＝－1，b＝5．…………6分（2）由（1），得．由矩陣的逆矩陣公式得……8分所以……………10分逆矩陣，矩陣運算C．選修4—4：坐標系與參數方程在平面直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系．直線l的極坐標方程為橢圓C的參數方程為(t為參數)．（1）求直線l的直角坐標方程與橢圓C的普通方程；（2）若直線l與橢圓C交于A，B兩點，求線段AB的長．（1），（2）（1）先根據將直線極坐標方程化為直角坐標方程：橢圓C：（2）D．選修4—5：不等式選講解不等式：|x－2|＋x|x＋2|＞2{x|－3＜x＜－1或x＞0}．解：當x≤－2時，不等式化為(2－x)＋x(－x－2)＞2，解得－3＜x≤－2；………………3分當－2＜x＜2時，不等式化為(2－x)＋x(x＋2)＞2，解得－2＜x＜－1或0＜x＜2；…………………6分當x≥2時，不等式化為(x－2)＋x(x＋2)＞2,解得x≥2；………………