2020屆高考二輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)專題透析數(shù)學(xué)理科專題3數(shù)列

旅k專題3數(shù)列

知識

Z整合

ZHISHIZHENGHE

一、等差數(shù)列

1.等差數(shù)列的概念及等差中項的概念是什么？

(1)如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列

就叫作等差數(shù)列.

數(shù)學(xué)語言表達(dá)式：a〃*iN:d為常數(shù)).

(2)若a,46成等差數(shù)列，則/叫作a力的等差中項，且片片.

2.等差數(shù)列的通項公式及前〃項和公式是什么？

Q)若等差數(shù)列｛為｝的首項是由,公差是d則其通項公式為an=的.

(2)前n項和公式為Sn=畸任磬=迎萼_.

3.等差數(shù)列的性質(zhì)有哪些？

Q)通項公式的推廣:(n-崎或n,meN).

(2)若｛a〃｝為等差數(shù)列，且k+/=m+n(k,/,m,n^N，，則ak+a尸am+an.

⑶若｛而是等差數(shù)列公差為d則為a*.g2m.MmWN)是公差為的等差數(shù)列.

若夕為等差數(shù)列｛劣｝的前"項和，則數(shù)列金…也是等差數(shù)列.

(4)5nsm-So,

⑸若S〃為等差數(shù)列｛為｝的前"項和，則數(shù)列閨也為等差數(shù)列.

二、等比數(shù)列

1.等比數(shù)列的概念及等比中項的概念是什么？

Q)如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于」^非零常數(shù)，那么這個

數(shù)列就叫作等比數(shù)列.

數(shù)學(xué)語言表達(dá)式:手N：q為非零常數(shù)).

an

(2)如果三個數(shù)a,G,b成等比數(shù)列，那么G叫作a與。的等比中項，其中G=_p[ab_.

2.等比數(shù)列的通項公式及前〃項和公式是什么？

(1)若等比數(shù)列｛%｝的首項為負(fù),公比是q,則其通項公式為an=西.

通項公式的推廣:詼

(2)等比數(shù)列的前"項和公式:當(dāng)q=l時,S=〃ai；當(dāng)中1時,$〃=強(qiáng)等L=2等

應(yīng)用等比數(shù)列的前〃項和公式時，應(yīng)先討論公式中的公比q是否等于1.

3.等比數(shù)列的性質(zhì)有哪些？

已知｛aj是等比數(shù)列,多是數(shù)列｛%｝的前n項和.

⑴若Z+/=6+n(q/6,〃eN),則有電句=aman.

⑵等比數(shù)列中相隔等距離的項組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即四加0同而…仍是等比數(shù)列，

公比為中.

⑶當(dāng)#-L或q=-l且〃為奇數(shù)時…仍成等比數(shù)列具公比為上二.

4.等差數(shù)列的單調(diào)性與什么有關(guān)?等比數(shù)列呢？

等差數(shù)列的單調(diào)性只取決于公差d的正負(fù)，而等比數(shù)列的單調(diào)性既要考慮公比q的取值，又要

考慮首項的的正負(fù).

三、數(shù)列求和

列舉數(shù)列求和的方法，各種方法的注意點(diǎn)是什么？

⑴公式法求和:要熟練掌握一些常見數(shù)列的前n項和公式.

（2）分組求和法:分組求和法是解決通項公式可以寫成的=為+為形式的數(shù)列求和問題的方法,

其中｛a〃｝與｛6〃｝是等差（比）數(shù)列或一些可以直接求和的數(shù)列.

（3）裂項相消法:將數(shù)列的通項公式分成兩個代數(shù)式子的差，即為=4〃+1）的形式，然后通

過累加抵消中間若干項的求和方法.形如｛就：｝（其中｛a〃｝是公差d鈍且各項均不為0的等差數(shù)

列,c為常數(shù)）的數(shù)列等.用裂項相消法求和時，易認(rèn)為只剩下首尾兩項.用裂項相消法求和時,要注意

所裂式與原式的等價性.

附:常見的裂項公式（其中N）.

②n（n+l）-nn+1"

②n(n+k)=%Gi~京)

11

埼丁3向T同廣

%日*訴）.

⑷錯位相減法:形如｛而也｝（其中｛亦｝為等差數(shù)列,｛為為等比數(shù)列）的數(shù)列求和.一般分三步②

巧拆分;恁構(gòu)差式;③求和?用錯位相減法求和時,易漏掉減數(shù)式的最后一項.

（5）倒序求和法:距首尾兩端等距離的兩項和相等，可以用此法.一般步驟:②求通項公式;既和

值;③I到序相加;毓和;囪導(dǎo)出結(jié)論.

考向

分析

KAOXIANGFENXI

15命題特點(diǎn)

從近三年的高考全國卷試題來看，數(shù)列一直是高考的熱點(diǎn)，數(shù)列部分的題型、難度和分值都保

持穩(wěn)定，考查的重點(diǎn)是等差數(shù)列及其前"項和、等比數(shù)列及其前〃項和、數(shù)列的通項、數(shù)列的前

〃項和等知識.考查內(nèi)容比較全面，解題時要注意基本運(yùn)算、基本能力的運(yùn)用，同時注意函數(shù)與方程、

轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用.

一、選擇題和填空題的命題特點(diǎn)

等差（比）數(shù)列的基本運(yùn)算a,這五個量中已知其中的三個量,求另外兩個量.已知

數(shù)列的遞推關(guān)系式以及某些項，求數(shù)列的通項公式^前n項和等.

1.（2019年全國/卷理T9改編）記5為等差數(shù)列｛前的前,項和.已知S-0,企=5,則關(guān)的值為

（）.

A.7B.8C.5D.6

，由題意知,佟=+亨x4x3=0,解得收=3a=2〃-5禽=2乂6-5=7.故選人

la5=%+4d=5,E=2,

答冬A

2.（2019年全國■，理T5改編）已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛劣｝的前4項和為15,且

況=3為+4五則an=.

?設(shè)等比數(shù)列⑸的公比為a9>0）,則產(chǎn)［竺+虻:。同=15,

￡

Siq，=3arq+4alf

解得，?二L.—=a/

iq一4，

答案》2"1

3.（2019年全國/卷理T14改編）記S為等比數(shù)列｛莉的前〃項和.若的="㈤=電則

生=?

.設(shè)等比數(shù)列｛力｝的公比為q,因為仇g，諼=電所以（前3）2言我又就0,所以夕=3,所

以為三乂34=27.

?27

4.（2019年全國必卷，理T14改編）記分為等差數(shù)列｛加｝的前〃項和.若aH0,力=3/則

￡10_

$5---------,

?設(shè)等差數(shù)列｛a｝的公差為a

因為改=3抗，所以ai+d=3五即2a\=d,

所以為==12"=22

S55ai+爭25al25，

?-

25

5.（2018年全國/卷理T14改編）記S為數(shù)列｛莉的前〃項和若5>2/+1,則%=.

>當(dāng)2時,S-i=2a〃-i+1,所以&-S-i=2（a〃-a〃-i）,即3n=2.3n-i-

又說=夕=2&+1,所以=-1*0,

所以數(shù)列｛%｝是以-1為首項,2為公比的等比數(shù)列，

所以為=-2"-1禽=-26-1=-32.

?-32

二、解答題的命題特點(diǎn)

等差(比)數(shù)列的基本運(yùn)算dq)這五個量中已知其中的三個量,求另外兩個量.已知

數(shù)列的遞推關(guān)系式以及某些項，求數(shù)列的通項公式.已知等差(比)數(shù)列的某些項或前幾項的和，求其

通項公式.等差(比)數(shù)列的判斷與證明以及等差數(shù)列前n項和的最值問題等.

1.(2018年全國〃■卷，理T17改編)記分為等差數(shù)列｛而｝的前〃項和，已知出=-7,￡=-15.

(1)求｛a〃｝的通項公式；

⑵若5=20,求〃的值.

?(1)設(shè)等差數(shù)列｛分｝的公差為d,

由題意得3仇+34=-15.

由%=-7得d=2.

所以｛力｝的通項公式為為=2"-9.

(2)由(1)得Sn=m$n,令5=20,解得〃=10,所以〃的值為10.

2.(2018年全國必卷，理T17改編)等比數(shù)列｛而｝中庖=1,g=4兩

(1)求｛a〃｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛2"-、而｝的前〃項和Sn.

?(1)設(shè)等比數(shù)列｛劣｝的公比為q,

nA

由題設(shè)得an=q.

由已知得^=4g解得g=0倍去)々=-2或q=2.

nA

故a〃=(-2)"-i或an=2.

⑵消力=(-2)"-1,

n1n1

貝(]2-+an=2-+｛-2)〃T,

數(shù)列｛劣｝的前〃項和為其=疆(~2)〃,數(shù)列｛2"1｝的前〃項和為M=2"-L

3J1-Z

所以當(dāng)"為偶數(shù)時,S〃=|(2"-1);

QM+2ry

當(dāng)〃為奇數(shù)時,m=一.

潴而二2"-1廁2"-1+力=2",所以5=2"“2

15規(guī)律方法

L由前幾項歸納數(shù)列通項的常用方法及具體策略

Q)常用方法:觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知數(shù)列)、歸納、轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列)、聯(lián)想(聯(lián)

想常見的數(shù)列)等方法.

(2)具體策略:②觀察分式中分子、分母的特征;②觀察相鄰項的變化特征;③觀察拆項后的特

征;◎見察各項的符號特征和絕對值特征；@化異為同,對于分式還可以考慮對分子、分母各個擊破,

或?qū)ふ曳肿?、分母之間的關(guān)系;仍寸于符號交替出現(xiàn)的情況，可用(-段或(1戶1(在N)處理

fSn=1,

2.數(shù)列的通項為與前。項和S的關(guān)系是力二/1(q八>7四時，力若適合Sn$d

則n=l的情況可并入n>2時的通項an,(2^n=l時庖若不適合第Si則用分段函數(shù)的形式表

示.

3.由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式的常用方法

（1）已知況且a"-a"-i=4/7）,可用"累加法”求為.

⑵已知火為，0）,且魯=胴）,可用"累乘法"求為.

n-1

（3）已知且力*i=qa〃+6,貝!］而“+Z=仇a”+苗（其中〃可用待定系數(shù)法確定），可轉(zhuǎn)化為｛a〃+?

為等比數(shù)列,求其通項公式即可得an.

（4）形如當(dāng)“=%（/,氏。為常數(shù)）的數(shù)列，可通過兩邊同時取倒數(shù)的方法構(gòu)造新數(shù)列求解.

4.證明數(shù)列是等差數(shù)列的主要方法

⑴定義法:對于n>2的任意自然數(shù)，驗證力-為一1為同一常數(shù).

（2）等差中項法:驗證2a"-i=a"+a〃-2（〃23,〃wN）都成立.

（3）通項公式法:為常數(shù)）o｛a〃｝是等差數(shù)列.

⑷前〃項和公式法5=力亦+劭（46為常數(shù)）=｛褊是等差數(shù)列.問題的最終判定還是利用定

義.

5.求等差數(shù)列前〃項和S的最值的常用方法

Q）函數(shù)法:利用等差數(shù)列前〃項和的函數(shù)表達(dá)式￡=<3汴+6爪弗0）,通過配方或借助圖象求

二次函數(shù)的最值，注意取得最值時n的值必須為正整數(shù).

（2）利用等差數(shù)列的單調(diào)性求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項，進(jìn)而求S〃的最值.

娟仇>0/<0時，滿足｛:吸M的項數(shù)”使得&取得最大值為S（當(dāng)時,5m.i也

為最大值）；

四仇<0。0時，滿足仁：+：20的項數(shù)6使得S取得最小值為5m（當(dāng)am+i=0時,5m*i也

為最小值）.

6.等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問題，等比數(shù)列中有五個量為,〃々,加,品一

般可以"知三求二"，通過列方程（組）便可迎刃而解.

7.等比數(shù)列的前〃項和公式涉及對公比q的分類討論，當(dāng)q=l時，等比數(shù)列｛劣｝的前〃項和

Sn=n應(yīng)當(dāng)爐1時，等比數(shù)列⑸的前〃項和5筌山二*

微專題

07等差數(shù)列與等比數(shù)列

基礎(chǔ)

<檢測

JICHUJIANCE

1.（2019北京市朝陽區(qū)二模）已知等差數(shù)列｛而｝的首項為為,公差以0.則"亂血兩成等比數(shù)列"

是"仇="的（）.

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

?若仇危自成等比數(shù)列廁送書為，即（的+2赤=仇（仇+8動,整理可得團(tuán)

則"為總總成等比數(shù)列"是"ax=d1的充分條件.

若ai=d貝!J況=m+2d=3。!西=西+8d=9&貝！|有。專=兩為,貝!J"出,為,為成等比數(shù)歹是

2=d的必要條件.

綜合可得，"為血兩成等比數(shù)列"是"為二"的充要條件.故選C.

?C

2.（2019四川省峨眉山市適應(yīng)性考試）在等差數(shù)列｛aj中，向心是方程M+24X+12力的兩根，則數(shù)

歹11｛而｝的前11項和等于（）.

A.66B.132C.-66D.-132

?因為由為是方程*+24X+12力的兩根，

所以為+為=-24.

又53+為=-24=2函所以as=-12,

所以Si=iix（a*iD=生篝=-132.

古嬤D.

?D

3.（2019甘肅省蘭州市模擬）已知正項等比數(shù)列｛a〃｝滿足力=1,力與弱的等差中項為捌仇的值

為（）.

A.4B.2C.3D.1

?設(shè)正項等比數(shù)列｛而｝的公比為q（q>Q）.

魂=1律與弱的等差中項為今

?a第=1,<35串4=1,即出力為之1,可得2）+3q-2=0,解得q=-2（舍去）或則的=4.

故選A.

?A

4.（2019黑龍江省三模）在各項均不為零的等差數(shù)列｛而中,2力oi7以加8+2力oi9力，數(shù)列｛切是等

比數(shù)列，且笈018=力01&則Iog2（仇）17公019）的值為（）.

A.lB.2C.4D.8

a因為等差數(shù)列｛a｝中，力017+力019=2曲)1&

所以2^2017"^2018+2力019=4力018-退018

又因為數(shù)列｛力｝的各項均不為零，所以的)18=4.

因為數(shù)列｛2｝是等比數(shù)列，

所以ZZ2O17*ZZ2O19=配018=諼018=16,

所以log2(Z?2oi7-Z?2oi9)=log216=4.?fi^C.

答案＞c

5.(2019山東省濰坊市三模)把正整數(shù)按一定的規(guī)則排成如圖所示的三角形數(shù)表(每行比上一行多

一個數(shù)).設(shè)是位于這個三角形數(shù)表中的從上往下數(shù)第，行，從左往右數(shù)第/列的數(shù)，如

q5,2)=12,貝！Ja(io,3)=?

1

23

456

78910

?易知第9行的最后T數(shù)為封等二45,所以3(10,3)=45,3=48.故填48.

?48

考能

探究

KAONENGTANJIU

能力1?等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算

15典型例題

(2019北京市東城區(qū)統(tǒng)考)已知等比數(shù)列｛a｝的首項為2,等差數(shù)列｛為｝的前"項和

為57,且為力力=6,2也徑=64,￡=3力.

⑴求｛“｛6｝的通項公式；

(2)設(shè)金=均，求數(shù)列｛&｝的前〃項和.

a⑴設(shè)數(shù)列｛為｝的公比為q數(shù)列｛為的公差為d.

由為士力=6彳導(dǎo)出+&q=6.

因為西二2,所以q=2,

nlnln

所以an=aiq=2-2=2.

由12bl+%=媒彳曰12bl+8=瓦+3d,

出區(qū)=3a2行卜瓦+3d=12,

解得｛屋

所以bn=bi+(〃-1)4=3〃-2.

n

(2)由Q)知an=2,bn=3n-2,

所以金通”=3x2"-2,

從而數(shù)歹」｛G｝的前〃項和Tn=3x(2i+22+...+2n)-2n=3x^->-2n=3x2^-2n-6.

1-Z

在等差(比)數(shù)列問題中，最基本的量是首項為和公差4公比⑦,在解題時往往根據(jù)已知條件建

立關(guān)于這兩個量的方程緘從而求出這兩個量，那么其他問題也就會迎刃而解，這就是解決等差(比)

數(shù)列問題的基本量的方法,其中蘊(yùn)含著方程思想的運(yùn)用.在應(yīng)用等比數(shù)列前n項和公式時,務(wù)必注

意公比q的取值范圍.

(2019北京市朝陽區(qū)二模)在等差數(shù)列｛/｝中，已知加+力=12,力+的=18.

(1)求數(shù)列｛詼｝的通項公式；

(2)求為+a&+朋+...+而.

?⑴因為｛*是等差數(shù)列冏+電=12,32+詡=18,所以｛羨黃二:斛得d=3,ai=3.

貝Uan=3+(n-l)x3N

⑵辦心，…,就構(gòu)成首項為力當(dāng)公差為9的等差數(shù)列,

19

貝！J由+%+的+...+癡=9。右"(。-1)*9=-(/T2+/7).

能力2等差、等比數(shù)列的基本性質(zhì)

15典型例題

(1)(2019山東省臨沂市二模)已知等差數(shù)列｛劣｝的前〃項和為S,且

a?-3A,-6,5S-5S-45,510aoM).

A.21B.27C.32D.56

(2)(2019安徽省十校聯(lián)考)已知等差數(shù)列｛a｝的前/7項和為S,且W<Sio<旦則滿足Sn>0的

正整數(shù)"的最大值為().

A.16B.17C.18D.19

”(1)設(shè)等差數(shù)列｛為｝的公差為d,

由力-西=6得3d玉,

又區(qū)-W=45,.：d6+力+%=3力=45,

?-ct1=15,

.?西o二刃+3d=15+6=21.故選A.

(^iov0,

(2)由W<S()v與得的>0,

。9+。10>°,

.,等差數(shù)列｛褊的公差d<0.

；S\7J(a丁17)="為>0$8二項。r8)二%為90)>0,$9=19出0<0,

.?滿足Sn>Q的正整數(shù)n的最大值為18.

故選C.

?(1)A(2)C

lE^SI

等差、等比數(shù)列的性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差、等比數(shù)列問題既快捷

又方便的工具，應(yīng)有意識地去應(yīng)用.但在應(yīng)用性質(zhì)時要注意性質(zhì)的前提條件，有時需要進(jìn)行適當(dāng)變

形.在解決等差、等比數(shù)列的運(yùn)算問題時，經(jīng)常采用"巧用性質(zhì)，整體考慮,減少運(yùn)算量”的思想.

1忸收到切,I

(1)(2019河北省石家莊市適應(yīng)性考試)設(shè)等差數(shù)列｛前的前〃項和為S〃,若曲疑是方程

M4x-3=0的兩個根，則W=().

A.18B.19C.20D.36

⑵(2019貴州省遵義航天高級中學(xué)高三沖刺)已知等比數(shù)列｛a〃｝中向=2,且4出血2改成等差

數(shù)列廁況=().

A.2B.2或32c.2或-32D.-1

?(1)ai,as是方程非-4x-3=0的兩個根"..力+%=4,

.5=駕幽=駕蛆=9x2=18.故選A.

⑵設(shè)等比數(shù)列｛a〃｝的公比為—),

.4a,為,2力成等差數(shù)列，二2力=2為+4出，

：ZW0,.4-q-2句,解得q=2或q=-l,

又as=aic^...as=2或32.故選B.

:.(1)A(2)B

能力3

15典型例題

(2019四川省成都七中模擬)已知數(shù)列｛a〃｝滿足%=0,a”i=2為，〃，設(shè)bn=an+n+l.

⑴求bi,b2.

⑵證明:數(shù)列｛6｝為等比數(shù)列.

(3)求｛a〃｝的通項公式.

?⑴當(dāng)〃=1時，力=2ai+l=l,E=ai+l+l=2;

當(dāng)〃=2時,坊=力+2+1=4.

(2)由題意知bn+i=an+i+n+l+1=an+i+n+2,

又因為a〃+i=2a"+〃所以bn+i=2an+n+n+2=2(an+n+l)=2bn,

由(1)知必=2,所以數(shù)列｛2｝是首項和公比均為2的等比數(shù)列.

n

⑶由⑵知仇=2",所以a"+〃+l=2",故an=2-n-l.

判斷或證明數(shù)列是否為等差、等比數(shù)列，一般是依據(jù)等差、等比數(shù)列的定義，或利用等差中項、

等比中項進(jìn)行判斷.利用嫉=an+van-An>2,n&N)來證明數(shù)列｛a〃｝為等比數(shù)列時，要注意數(shù)列中的

各項均不為0.

(2019江西省撫州市模擬)已知數(shù)列｛而｝中，為=m,且而+i=3a〃+2"-l也N)

Q)判斷數(shù)列｛端是否為等比數(shù)列，并說明理由.

(2)當(dāng)6=2時,求數(shù)列｛(-1)"雨的前2020項和So2o.

?(1)■.'an+i=3an+2n-l,.-.bn+x=an+i+n+l=3an+2n-Y+n+l=3(an+/i)=3bn,

②當(dāng)m=-l時，仇=0,故數(shù)列｛2｝不是等比數(shù)列；

四m^-1時，數(shù)列｛6〃｝是等比數(shù)列，其首項為也=6+1/0,公比為3.

(2)由⑴知，當(dāng)m=2時力〃=3",

n

又bn=an+nl.-.an=3-nl

：癡20=：河心曠2°U(-1+2)+(-3+4)+...+(-2019+2020)]

_-3+3202110]0_32021-4043

44'

.fSi(n=1),

能HB力/J41公亍“k\5n.i(n>Z,ntlN)

IE典型例題

(2019湖北省黃岡市聯(lián)考)已知正項數(shù)列｛為｝的前〃項和為S,且2als=W+an.

Q)求數(shù)列｛a〃｝的通項公式.

(2)若6〃=(]匕,求數(shù)列｛仇｝的前"項和Tn.

?⑴由題意得，當(dāng)n=l時,2域=講+如又a?>0,.-.ai=l;

當(dāng)n>2時，由2Sn=a1得/加口.

兩式相減得2an=cL^+%-/口,即(為+為-1)(a-8"[-1)=0,

又an>0,^n-an-l=1,

二數(shù)列｛a｝是以1為首項,1為公差的等差數(shù)列，

.'.B/7=/7.

(2)由(1)得bn=n■備,

%=1啕Z啕晨"喏廣

則*1唔）晨24八，（〃一1胞）》（曠

兩式相減得I*8唔）1.唔）nW瑞,

,-T-_32n+3

解這種題目的一般方法是用"退位相減法"消去&（或者a禽得到數(shù)列｛加｝的遞推公式（或者

是數(shù)列｛S〃｝的遞推公式），進(jìn)而求出a〃（或者S）與〃的關(guān)系式.

（2019山東省煙臺市適應(yīng)性測試）已知數(shù)列｛為｝的前"項和5滿足S=2a〃-2（〃eN）｛b〃｝是

等差數(shù)列，且為=d-2仇仇=a4.

（1）求｛力｝和｛6｝的通項公式.

（2）求數(shù)列｛（-1）喝｝的前2〃項和T2n.

?（1）因為Sn=2an-2,

所以當(dāng)n=l時向=2,

當(dāng)時S-i=2a〃-i-2,

作差得an=2an-i（n>2）,

所以數(shù)列｛為｝是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列,

所以為=2".

設(shè)等差數(shù)列｛d｝的公差為d,

因為必=4-2d戊=的

所以8=316=54優(yōu)

解得4=3,h=1,

所以bn=3n-2.

(2)&=(-bl+的+(-bl+必)+…，(4&i處乳)=3(6+bi]+3{bi+啕+…+3("-1+63==3(

bi+6+...+binj,

又因為bn=3n2,

所以T2n=3^3/7[1^3X(2/7)-2]-18/72-3/7.

對點(diǎn)

集訓(xùn)

DUIDIANJIXUN

一、選擇題

（2019貴州省貴陽市適應(yīng)性考試）已知面｝為遞增的等差數(shù)列3+加=2,打a=-8,則公差

d=（）.

A.6B.-6C.-2D.4

?：面｝為遞增的等差數(shù)列且鬲+&=2,g36=-8,

..35+36=2,.-.as,<36是方程足-2X-8=0的兩個根，且為<a&

.-as=-2,=4,..d=af>-as=6故選A.

>A

（2019浙江省杭州市模擬）若等差數(shù)列｛a〃｝、等比數(shù)列｛為滿足貝=仇=1,g=&,則由能取到的

最小整數(shù)是（）.

A.-1B.0C.2D.3

?設(shè)等差數(shù)列｛a｝的公差為d等比數(shù)列｛為｝的公比為a#0）,

由西=也=1,55=公,可得1+4<7=<72,

貝［|a=1+8d=l+2（<72-1）=2<72-1>-1,

可得心能取到的最小整數(shù)是0.故選B.

笞金B(yǎng)

觀察下列各圖，并閱讀圖形下面的文字.像這樣10條直線相交,最多可形成的交點(diǎn)的個數(shù)是

（）.

2條直線相交最3條直線相交最4條直線相交最

多有1個交點(diǎn)多有3個交點(diǎn)多有6個交點(diǎn)

A.40B.45C.50D.55

>（法一）〃+1（小e）條直線相交，當(dāng)〃二123,時最多可形成的交點(diǎn)個數(shù)分別是

1,1+2,1+2+3,…,1+2,+3+...+k,....

?10條直線相交,最多可形成的交點(diǎn)的個數(shù)是1+2+...+9=45.

a3'a2—2,

。4口3=3,累加得

｛01。-。9=9,

的o~3i—2+3+…+9,.二為。=1+2+3+…+9=45^^選B.

答策aB

（2019山東省濰坊市三模）已知等差數(shù)列｛為｝的公差和首項都不為零，目力昌,九成等比數(shù)列，則

fll+a3_/

。2+。4

AgB.|C.|D.2

?設(shè)等差數(shù)列｛為｝的公差為吠*0）,則32=凱+d,ag+3d,%=譏+ld,

因為關(guān)島總成等比數(shù)列，

所以⑵+3d｝2=（出+6①+14

整理得到〃=的4

因為以0,所以d=ai,所以an=nai,

所以冷乏乏故選B.

做+。463

答?B

（2019山東省聊城市三模）我國古代的《洛書》中記載著世界上最古老的一個幻方.如圖，將

1,2，…,9填入3x3的方格內(nèi)，使三行、三列和兩條對角線上的三個數(shù)字之和都等于15.一般地，將

連續(xù)的正整數(shù)123，…,加填入〃個方格中，使得每行、每列和兩條對角線上的數(shù)字之和都相等,

這個正方形叫作〃階幻方.記〃階幻方的對角線上的數(shù)字之和為下圖三階幻方的M=15,那么

M的值為（）.

A.41B.45C.369D.321

?由題意,〃階幻方每行、每列和兩條對角線上的數(shù)字之和都為而n階幻方共有n

彳亍，故nN=l+2+...,4,即gQ+2+...+*、=”通（172）二嗎也.

nnn2z

故MW里2=9x41=369.故選C.

合菜》C

（2019安徽省聯(lián)考）已知首項為1的正項數(shù)列｛而滿足皿嚏警汕=吭若力=9；,則實數(shù)X

九十，3-2

的值為（）.

A.64B.60C.48D.32

?由題所導(dǎo)比=^±±^=（2）2+4*+2〃:也+2=（2+2）1

令6〃二2+2廁兩邊取對數(shù)得1g2*i=2lgb.

ann

又1gb=lg（^+2）=lg3〃：數(shù)列｛lg6｝是首項為Ig3,公比為2的等比數(shù)列.

.-.lgb"=2"』g3=lg32n"A=32"】,即:+2=32“T,

.a,,...力=H?

又力"￡〃"=26=64.

古姆A.

!?A

二、填空題

（2020屆湖北重點(diǎn)中學(xué)高三摸底）將正奇數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列：

1

357

911131517

19212325272931

則2019是第行從左向右數(shù)第個數(shù).

?根據(jù)排列規(guī)律可知，第一行有1個奇數(shù)，第2行有3個奇數(shù)，第3行有5個奇數(shù)，…,第

〃行有個奇數(shù)，

前n行共有四萼=〃個奇數(shù).

當(dāng)〃=31時共有亦461個奇數(shù)，當(dāng)n=32時，共有亦=1024個奇數(shù).

因為2019是第1010個奇數(shù)，所以2019是第32行第49個數(shù).

紇令3249

(2019河北省石家莊市適應(yīng)性考試)已知數(shù)列｛*的前〃項和為品滿足m=2a"2n(〃eN),則

3n=?

a由題意，數(shù)列｛a｝滿足S=2劣+2n(/7N￡)

=

貝(JSn-i2an-i^2(/7-l)(/7>2f/7GN3；

兩式相減可得S-S-i=2an-2anA+2｛n>2,nEiN)

即an=2an-2an-i+2(n>2,nE.NX

整理得為=2而I-2(〃22),即a?-2-2(a?.i-2)(n>2),BP-^-=2(n>2).

%々

當(dāng)n=l時51=2出+2,即出=2出+2,解得ai=-2.

所以數(shù)列｛劣-2｝是首項為抗-2=4,公比為2的等比數(shù)列，

所以%-2=4x2"-i=-2"“，

所以a〃=2-2〃*i.

?2-2n+1

(2019江蘇省蘇州市月考)若數(shù)列｛a〃｝是等差數(shù)列向=1,公差痣［1,2］,且a4+1也，如=15,則實

數(shù)/1的最大值為.

?因為胡+居0+&6=15,所以31+34"(抗+9功+&+154=15,所以/1=叔二盤2

因為慮［1,2］,所以令t1+9"怎［10,19］,因此4=4。*-2.當(dāng)歸［10,19］時，函數(shù)人氣是減函

數(shù)故當(dāng)仁10時，實數(shù)A取得最大值最大值為d0)=悔.

1

口口A~

三、解答題

(2019黑龍江省哈爾濱市二模)設(shè)數(shù)列｛力｝滿足=*〃+2,為=4.

⑴求證｛力-3｝是等比數(shù)列，并求an,

(2)求數(shù)列｛當(dāng)｝的前〃項和Tn.

?(1)加〃*1="而+2,&=4,

?-3=；(力-3),

故｛為-3｝是首項為1,公比為"的等比數(shù)列，

/I\M-1

,3=3+6),

⑵3=3+(曠，

卡)。+⑶+…+咪

=3〃用=3問1一就.

15

｛｝

已知數(shù)列a〃的前〃項和為品且Sn=an^-2,ai=2.

(1)證明｛a〃｝是等比數(shù)列，并求其通項公式；

⑵若數(shù)列｛兒｝滿足4%工43I..../，，】二瘠(作N。，證明:｛6｝是等差數(shù)列.

?

(1)當(dāng)n>2時，由Sn=an+i-2,

得S-i=a“-2,

兩式相減彳導(dǎo)a〃+i=2a〃，即皿=2.

an

又$=為-2,出=2,

.a=S+2=4,滿足詈=2.

ai

?:皿=2對任意的nWN都成立.

.?數(shù)列｛而是首項為2,公比為2的等比數(shù)列.

n

..an=2.

⑵：4AT4b2，...4%T=a3

｛

.'2[bi+bi+...+br^-ri\=n-bn,?

--2[(Z>i+6+...+bn*。Y"+1)]=("+1)仇"1.②

由。導(dǎo)

②-2(Z??+i-1)=(n+l)bn+i-nbn,

即(〃-l)6"*i-/?6"+2=0,③

「?nbn+2-(n+1)bn+i+2力.④

1｛

由④-③導(dǎo)nbn+2-2nbn+i+nbn^O,

.-.bn+2-2bn+l+bn=Q,

即bn+2-bn+\=bn+l-brknGN)

.,?｛z｝是等差數(shù)列.

微專題

08數(shù)列求和的方法

基礎(chǔ)

檢測

............................................BHzma........................................

1.(2019山東省四校聯(lián)考)已知等差數(shù)列｛而｝的公差不為零$為其前/7項和54,且

.32-1,33-1,a5-1構(gòu)成等比數(shù)列則W=().

A.15B.-15C.30D.25

?設(shè)等差數(shù)列｛為｝的公差為4*0),

3al+3d=9,

由題意得

2

+2d-l)=+d-l)((z1+4d-l),

%=1

解得

d=2,

.5=5*1歿、2=25.

古嬤D.

?D

2.(2019山東省德州市月考)已知數(shù)列｛褊是公比不為1的等比數(shù)列,S〃為其前"項和，若為=2,且

16抗,9扇,2小成等差數(shù)列則$=().

A.5B.6C.7D.9

:濁設(shè)數(shù)列⑸的公比為西用油題意得舐12'=16ai+2ad解得心生，

則￡=a=7.故選C.

AC

3.(2019陜西省八校聯(lián)考)記S為數(shù)列｛a｝的前〃項和，若5=2為+1/4=().

A.2026B.-2026

C.1023D.-1023

a當(dāng)時,，=2&+1,二仇二-1;

當(dāng)欣2時$=2⑸S.iHL

二9包=2.

S?l-1

...數(shù)列｛分［是首項為2公比為2的等比數(shù)列，

則5>-1=-2",

--S?—1~2”,

故So=1-2］。=-1023.

?D

4.(2019福建省龍巖市質(zhì)檢)若數(shù)列｛a〃｝滿足出=1,為+17"-1=2",則an=.

?因為數(shù)列｛a｝滿足出=La〃+ia-1=2〃，

所以時出=1+2］，

力-力—1+22,

的他=1/23,

3n-3n-l=1+2。~,

以上各式相加得為-&=n-l+(2"22+23人.+2吵，

n

所以an=2+n-2.

a2n-t-n-2

考能

探究

KAONENGTANJIU

能力1，會用分組求和法求和

15典型例題

(2019山東省濰坊市三模)已知數(shù)列｛而｝是以3為首項,4d>0)為公差的等差數(shù)列,

且力,3隗自成等比數(shù)列.

⑴求數(shù)列通｝的通項公式；

(2)設(shè)b〃=a〃-2",求數(shù)列｛6｝的前〃項和Sn.

?(1)因為血3遍,畫成等比數(shù)列，

所以力0=45,即(由+動(出+3功=45.

因為&=3,所以(3+動(1+勸=15,

即〃+44-12力，

所以d=2或4=￡倍去)，所以a〃=2n+l.

(2)由(1)知仇=(2〃+1)-2",

所以$=/?!+0+…+bn

—3+5+...+(2/7+1)-(2+4+...+2")

_3+2n+l2(1-2”)

2n1-2

=(〃+2>〃Y2"*i-2)

=-2n+1+ri1+2n+2.

方法歸納

某些數(shù)列的求和是將數(shù)列轉(zhuǎn)化為若干個可求和的新數(shù)列的和或差,從而求得原數(shù)列的和.注意

在含有字母的數(shù)列中對字母的討論.

Q)若數(shù)列&｝的通項公式為且｛a〃｝,｛仇｝為等差數(shù)列或等比數(shù)列廁可以采用分組求

和法求數(shù)列｛G,｝的前"項和.

⑵若數(shù)列｛金｝的通項公式為金』"加為奇數(shù)'且數(shù)列⑸,｛勿是等比數(shù)列或等差數(shù)列廁可以

Ifon.n為偶數(shù)，

采用分組求和法求數(shù)列｛金｝的前"項和.

(3)若數(shù)列的通項式中有(-1)"等特征，根據(jù)正號、負(fù)號分組求和.

i^ioi

(2019四川省高三模擬)已知正項等比數(shù)列｛為｝的前"項和為5s=30+1575,且的0是8為

和6a6的等差中項.

Q)求數(shù)列｛a〃｝的通項公式；

⑵令bn=a^+log2a〃，求數(shù)列｛6〃｝的前"項和.

?(1)設(shè)正項等比數(shù)列｛為｝的公比為7(7>0).

由出o是8力和6a6的等差中項，可得2如=8為+6%,即2團(tuán)^=8為/631/,

所以<7^3^4力，解得gH

由區(qū)=30+15口,可得^^=30+15近，

解得西=41.

所以為二(e)〃.

(2)由⑴知bn=W+\og2an=2嗚n,

故數(shù)列｛房｝的前〃項和為

(2+4+...+2")4(1+2+...+ri)=2""-2吊(加+功.

能力2

15典型例題

(2019遼寧省朝陽市四模)已知等差數(shù)列｛為｝的公差不為零，其前"項和為S,若

￡=12,且出，血加成等比數(shù)列.

(1)求加及Sn,

⑵設(shè)小笆；求數(shù)列｛為的前〃項和Tn.

?(1)設(shè)等差數(shù)列｛為｝的公差為4^0).

因為$=12,且仇，力自成等比數(shù)列，

cr-pif^3=3a2=12,

"[al=ata4,

即(之二%4'”…解得抗=d=2,

所以an=ai+(n-l)d=2n,

(2)由(1)可得小=哈=迎乎竺=(〃+1>4",

23

所以Tn=bi+bi+戾+...+bn=2-4+3-4+4-4+...

n+1

因此45=242+3.43+4.44+…+(n+Y)A,

兩式相減得-3。=2-4+42弘3+44+...+4"乂/7+1>4"%

整理得/;=◎智上士

IE^E3I

(1)一般地,若數(shù)列｛a〃｝是等差數(shù)列,｛仇｝是等比數(shù)列,求數(shù)列｛a〃?①｝的前"項和，則可以采用錯位

相減法求和.一般是先將和式兩邊同乘以等比數(shù)列｛房｝的公比，然后作差求解.

⑵在寫出"S"與"夕￡’的表達(dá)式時，應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊"，以便下一步準(zhǔn)確寫

出“Sn_qS；的表達(dá)式.

(3)在應(yīng)用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況

求解.

(2019山東省臨沂、棗莊市二模)設(shè)數(shù)列｛為｝滿足的=2,冊+1=2而，數(shù)列｛切的前〃項和

Sn^rP+ri).

⑴求數(shù)列｛aj和｛為的通項公式；

⑵若，求數(shù)列｛金｝的前〃項和Tn.

?⑴數(shù)列｛力｝滿足a=2同媚=2%則皿=2,

an

所以數(shù)列｛為｝是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列，

所以數(shù)列｛麗｝的通項公式為加=2-2"-1=2".

又?jǐn)?shù)列｛為的前"項和Sn=W+ri),

所以當(dāng)n=l時公=1;

2

當(dāng)n>2^,bn=Sn-Sn-i=^rF-+ri]-^(/7-l)^(n-l)=n.

因為首項bi=l符合通項bn=n,

所以數(shù)列｛2｝的通項公式為bn=n.

n

(2)由Q)得cn=anbn=n-2,

所以Tn=L2i+2?2+...+介2%①

2W+223+...+O2"%②

?！鰣F(tuán)導(dǎo)-勿=(21+22+…+2》-仆2叫

解得勿=("-1)?2〃入2.

能力3,會用裂項相消法求和

15典型例題

(2019安徽省馬鞍山市三模)已知正項數(shù)列｛劣｝的前〃項和為

SnASn=aii+4=-1,出=1.

Q)求數(shù)列｛a｝的通項公式；

(2)設(shè)｛%｝是遞增數(shù)列d7；為數(shù)列｛為的前“項和，若7；/恒成立，求實數(shù)6的取值

范圍.

?(1)當(dāng)n>2時,4劣=4514$一1=成+4〃-1-［a；］+4(〃-1)口,整理得(為-2)2=4「

-an>0,

--3n~3n-l—2或3n+3n-l—2.

當(dāng)an-an-i=2時，數(shù)列｛而是首項為1,公差為2的等差數(shù)列|「而=1+2(〃-1)=2"-1.

當(dāng)3n^~3n-l—2時,：，的—1,.1.

(2)：⑸｝是遞增數(shù)列「由⑴知an=2n-l.

b=1=1_1(1__

n

an-?n+i(2n-l)(2n+l)22n-l2n+l'

數(shù)列｛為的前〃項和它(1黑?…舄焉)41一高".

“理恒^立,.全￡,解得623.

O