(2015-2017)三年高考真題專家解讀精編解析一專題19-拋物線

1.【2017課標(biāo)1，理10】已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點，直線l2與C交于D、E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為A．16 B．14 C．12 D．10【答案】A【解析】試題分析：設(shè)，直線方程為聯(lián)立方程得∴同理直線與拋物線的交點滿足由拋物線定義可知當(dāng)且僅當(dāng)（或）時，取得等號.【考點】拋物線的簡單性質(zhì)2.【2016年高考四川理數(shù)】設(shè)O為坐標(biāo)原點，P是以F為焦點的拋物線上任意一點，M是線段PF上的點，且=2,則直線OM的斜率的最大值為()（A）（B）（C）（D）1【答案】C【解析】試題分析：設(shè)（不妨設(shè)），則由已知得，，，，，故選C.考點：拋物線的簡單的幾何性質(zhì)，基本不等式的應(yīng)用．3.【2016年高考四川理數(shù)】設(shè)O為坐標(biāo)原點，P是以F為焦點的拋物線上任意一點，M是線段PF上的點，且=2,則直線OM的斜率的最大值為()（A）（B）（C）（D）1【答案】C【解析】試題分析：設(shè)（不妨設(shè)），則由已知得，，，，，故選C.考點：拋物線的簡單的幾何性質(zhì)，基本不等式的應(yīng)用．【名師點睛】本題考查拋物線的性質(zhì)，結(jié)合題意要求，利用拋物線的參數(shù)方程表示出拋物線上點的坐標(biāo)，利用向量法求出點的坐標(biāo)，是我們求點坐標(biāo)的常用方法，由于要求最大值，因此我們把斜率用參數(shù)表示出后，可根據(jù)表達式形式選用函數(shù)，或不等式的知識求出最值，本題采用基本不等式求出最值．中小題的熱點，在復(fù)習(xí)時不能遺漏相應(yīng)平面幾何知識的復(fù)習(xí).7.【2017課標(biāo)II，理16】已知是拋物線的焦點，是上一點，的延長線交軸于點。若為的中點，則。【答案】6【解析】試題分析：點A，【考點】拋物線的定義；梯形中位線在解析幾何中的應(yīng)用。【名師點睛】拋物線的定義是解決拋物線問題的基礎(chǔ)，它能將兩種距離(拋物線上的點到焦點的距離、拋物線上的點到準(zhǔn)線的距離)進行等量轉(zhuǎn)化。如果問題中涉及拋物線的焦點和準(zhǔn)線，又能與距離聯(lián)系起來，那么用拋物線定義就能解決問題。因此，涉及拋物線的焦半徑、焦點弦問題，可以優(yōu)先考慮利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點到準(zhǔn)線的距離，這樣就可以使問題簡單化。8.【2016高考天津理數(shù)】設(shè)拋物線，（t為參數(shù)，p＞0）的焦點為F，準(zhǔn)線為l.過拋物線上一點A作l的垂線，垂足為B.設(shè)C（p,0），AF與BC相交于點E.若|CF|=2|AF|，且△ACE的面積為，則p的值為_________.【答案】【解析】試題分析：拋物線的普通方程為，，，又，則，由拋物線的定義得，所以，則，由得，即，所以，，所以，．考點：拋物線定義【名師點睛】1.凡涉及拋物線上的點到焦點距離時，一般運用定義轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線距離處理．2．若P(x0，y0)為拋物線y2＝2px(p＞0)上一點，由定義易得|PF|＝x0＋eq\f(p,2)；若過焦點的弦AB的端點坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則弦長為|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2可由根與系數(shù)的關(guān)系整體求出；若遇到其他標(biāo)準(zhǔn)方程，則焦半徑或焦點弦長公式可由數(shù)形結(jié)合的方法類似地得到．9.【2016高考浙江理數(shù)】若拋物線y2=4x上的點M到焦點的距離為10，則M到y(tǒng)軸的距離是_______．【答案】【解析】試題分析：考點：拋物線的定義．【思路點睛】當(dāng)題目中出現(xiàn)拋物線上的點到焦點的距離時，一般會想到轉(zhuǎn)化為拋物線上的點到準(zhǔn)線的距離．解答本題時轉(zhuǎn)化為拋物線上的點到準(zhǔn)線的距離，進而可得點到軸的距離．10.【2017北京，理18】已知拋物線C：y2=2px過點P（1，1）.過點（0，）作直線l與拋物線C交于不同的兩點M，N，過點M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點A，B，其中O為原點.（Ⅰ）求拋物線C的方程，并求其焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（Ⅱ）求證：A為線段BM的中點.【答案】（Ⅰ）方程為，拋物線C的焦點坐標(biāo)為（，0），準(zhǔn)線方程為.（Ⅱ）詳見解析.【解析】試題分析：（Ⅰ）代入點求得拋物線的方程，根據(jù)方程表示焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為（），與拋物線方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系，直線ON的方程為，聯(lián)立求得點的坐標(biāo)，證明.試題解析：解：（Ⅰ）由拋物線C：過點P（1，1），得.所以拋物線C的方程為.拋物線C的焦點坐標(biāo)為（，0），準(zhǔn)線方程為.，所以.故A為線段BM的中點.【考點】1.拋物線方程；2.直線與拋物線的位置關(guān)系【名師點睛】本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)換與化歸能力，當(dāng)看到題目中出現(xiàn)直線與圓錐曲線時，不需要特殊技巧，只要聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，借助根與系數(shù)關(guān)系，找準(zhǔn)題設(shè)條件中突顯的或隱含的等量關(guān)系，把這種關(guān)系“翻譯”出來，有時不一定要把結(jié)果及時求出來，可能需要整體代換到后面的計算中去，從而減少計算量.11.【2016高考江蘇卷】（本小題滿分10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線，拋物線（1）若直線l過拋物線C的焦點，求拋物線C的方程；（2）已知拋物線C上存在關(guān)于直線l對稱的相異兩點P和Q.①求證：線段PQ的中點坐標(biāo)為；②求p的取值范圍.【答案】（1）（2）①詳見解析，②【解析】值范圍。（2）設(shè)，線段PQ的中點因為點P和Q關(guān)于直線對稱，所以直線垂直平分線段PQ,于是直線PQ的斜率為，則可設(shè)其方程為①由消去得因為P和Q是拋物線C上的相異兩點，所以從而，化簡得.方程（*）的兩根為，從而因為在直線上，所以因此，線段PQ的中點坐標(biāo)為②因為在直線上所以，即由①知，于是，所以因此的取值范圍為考點：直線與拋物線位置關(guān)系12.【2017浙江，21】（本題滿分15分）如圖，已知拋物線，點A，，拋物線上的點．過點B作直線AP的垂線，垂足為Q．（Ⅰ）求直線AP斜率的取值范圍；（Ⅱ）求的最大值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】試題分析：（Ⅰ）由兩點求斜率公式可得AP的斜率為，由，得AP斜率的取值范圍；（Ⅱ）聯(lián)立直線AP與BQ的方程，得Q的橫坐標(biāo)，進而表達與的長度，通過函數(shù)求解的最大值．試題解析：（Ⅰ）設(shè)直線AP的斜率為k，則，∵，∴直線AP斜率的取值范圍是．（Ⅱ）聯(lián)立直線AP與BQ的方程解得點Q的橫坐標(biāo)是，因為|PA|==|PQ|=，所以|PA||PQ|=令，因為，所以f(k)在區(qū)間上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，因此當(dāng)k=時，取得最大值．的最大值。13.【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】已知拋物線：的焦點為，平行于軸的兩條直線分別交于兩點，交的準(zhǔn)線于兩點．（I）若在線段上，是的中點，證明；（II）若的面積是的面積的兩倍，求中點的軌跡方程.【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）．【解析】試題分析：（Ⅰ）設(shè)出與軸垂直的兩條直線，然后得出的坐標(biāo)，然后通過證明直線與直線的斜率相等即可證明結(jié)果了；（Ⅱ）設(shè)直線與軸的交點坐標(biāo)，利用面積可求得，設(shè)出的中點，根據(jù)與軸是否垂直分兩種情況結(jié)合求解．試題解析：由題設(shè).設(shè)，則，且.記過兩點的直線為，則的方程為......3分（Ⅰ）由于在線段上，故.記的斜率為，的斜率為，則，所以.......5分（Ⅱ）設(shè)與軸的交點為，則.由題設(shè)可得，所以（舍去），.設(shè)滿足條件的的中點為.當(dāng)與軸不垂直時，由可得.而，所以.當(dāng)與軸垂直時，與重合，所以，所求軌跡方程為.....12分考點：1、拋物線定義與幾何性質(zhì)；2、直線與拋物線位置關(guān)系；3、軌跡求法．與從動點。14.【2015高考新課標(biāo)1，理20】在直角坐標(biāo)系中，曲線C：y=與直線(＞0)交與M,N兩點，（Ⅰ）當(dāng)k=0時，分別求C在點M和N處的切線方程；（Ⅱ）y軸上是否存在點P，使得當(dāng)k變動時，總有∠OPM=∠OPN？說明理由.【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）存在【解析】試題分析：（Ⅰ）先求出M,N的坐標(biāo)，再利用導(dǎo)數(shù)求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用設(shè)而不求思想即將代入曲線C的方程整理成關(guān)于的一元二次方程，設(shè)出M,N的坐標(biāo)和P點坐標(biāo)，利用設(shè)而不求思想，將直線PM，PN的斜率之和用表示出來，利用直線PM，PN的斜率為0,即可求出關(guān)系，從而找出適合條件的P點坐標(biāo).試題解析：（Ⅰ）由題設(shè)可得，，或，.∵，故在=處的到數(shù)值為，C在處的切線