第一節(jié)系統(tǒng)微分方程

第一節(jié)系統(tǒng)微分方程第一頁，共22頁。一、控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型研究一個(gè)自動(dòng)控制系統(tǒng)，單是分析系統(tǒng)的作用原理及其大致的運(yùn)動(dòng)過程是不夠的，還必須同時(shí)進(jìn)行數(shù)量上的分析，才能做到深入掌握自動(dòng)控制系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的實(shí)質(zhì)，才能將理論有效的應(yīng)用到實(shí)際工程中去。

第二頁，共22頁。1、什么是控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型描述系統(tǒng)輸入、輸出物理量，以及內(nèi)部物理量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。2、線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)：系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型能用線性微分方程描述的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。否則為非線性系統(tǒng)第三頁，共22頁。第四頁，共22頁。4、數(shù)學(xué)模型的類型第五頁，共22頁。5、系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立方法

分析法：從元件或系統(tǒng)所依據(jù)的物理或化學(xué)規(guī)律出發(fā)，建立數(shù)學(xué)模型并經(jīng)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。如電學(xué)上的歐母定律，力學(xué)上的牛頓定律等

實(shí)驗(yàn)法：根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，擬合出比較接近實(shí)際的數(shù)學(xué)模型。如：對(duì)實(shí)際系統(tǒng)加入一定形式的輸入信號(hào)，用求取系統(tǒng)輸出響應(yīng)的方法建立數(shù)學(xué)模型。第六頁，共22頁。二、列寫系統(tǒng)微分方程式的一般方法

系統(tǒng)微分方程(differentialequation)是描述控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的一種數(shù)學(xué)模型。為使所建立的數(shù)學(xué)模型即簡(jiǎn)單又具有足夠的精度，在推演系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型時(shí)，必須對(duì)系統(tǒng)作全面深入考察，以求能把那些對(duì)系統(tǒng)性能影響較小的一些次要因數(shù)略去。用解析法推演系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型的前提是對(duì)系統(tǒng)的作用原理和系統(tǒng)中個(gè)元件的物理屬性有著深入的了解。第七頁，共22頁。用解析法建立系統(tǒng)微分方程式的一般步驟是：

確定系統(tǒng)和各元件的輸入量和輸出量；(2)根據(jù)基本的物理、化學(xué)等定律，列寫出系統(tǒng)中每個(gè)元件的輸入與輸出的微分方程式；在所有元件的方程中消去中間變量，從而求得描述系統(tǒng)輸入與輸出關(guān)系的微分方程式。整理所得的微分方程。將與輸出有關(guān)的項(xiàng)放在方程的左側(cè)，與輸入有關(guān)的項(xiàng)放在方程的右側(cè)，各階導(dǎo)數(shù)按降冪排列第八頁，共22頁。第九頁，共22頁。1.電學(xué)系統(tǒng)例3-1

圖3-1為一電路，試寫出輸入電壓與輸出電壓之間的微分方程式。解:根據(jù)基爾霍爾夫定律，可寫出下列方程組圖3-1電路網(wǎng)絡(luò)第十頁，共22頁。

消去中間i變量,則得

或?qū)懽魇街?，式?-1）就是圖3-1所示電路的數(shù)學(xué)模型，它描述了該電路在作用下電容兩端電壓

的變化規(guī)律。

（3—1）第十一頁，共22頁。例3-2已知一R-C網(wǎng)絡(luò)如圖所示，試寫出該網(wǎng)絡(luò)輸入與輸出之間的微分方程。解

當(dāng)后級(jí)的輸入阻抗很大，即對(duì)前級(jí)網(wǎng)絡(luò)的影響可以忽略不計(jì)時(shí)，由基爾霍夫電流定律寫出下列的方程組圖3-2兩級(jí)R-C電路第十二頁，共22頁。消去中間變量,得或?qū)憺椋?-2）第十三頁，共22頁。kd-反電勢(shì)常數(shù)Km-電磁力矩常數(shù)例3-3:圖3-3第十四頁，共22頁。圖3－3第十五頁，共22頁。2.機(jī)械系統(tǒng)2.機(jī)械系統(tǒng)例:3-4圖3－4機(jī)械系統(tǒng)第十六頁，共22頁。例:3-5圖3－5機(jī)械系統(tǒng)第十七頁，共22頁。三、非線性微分方程的線性化第十八頁，共22頁。例:3-6圖3－6液壓伺服機(jī)械第十九頁，共22頁。第二十頁