宜賓市第四中學(xué)校2020屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）試題含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精四川省宜賓市第四中學(xué)校2020屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）試題含解析2019-2020學(xué)年秋四川省宜賓市第四中學(xué)高三期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題第I卷(選擇題共60分)一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每個(gè)小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，把正確選項(xiàng)的代號(hào)填在答題卡的指定位置。）1.已知全集，,，則（）A。 B。 C。 D。【答案】B【解析】【分析】化簡(jiǎn)集合B，根據(jù)集合交集運(yùn)算即可求解.【詳解】，，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的交集運(yùn)算，屬于容易題。2.為虛數(shù)單位，，若為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)A。-1 B。 C。1 D。2【答案】C【解析】【分析】由題意，根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，求得，再根據(jù)復(fù)數(shù)的概念，即可求解.【詳解】由題意,可得，有，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的基本概念和復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的基本概念和復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，合理準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題。3。甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員在10場(chǎng)比賽中得分的莖葉圖如圖所示，則“”是“甲運(yùn)動(dòng)員得分平均數(shù)大于乙運(yùn)動(dòng)員得分平均數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C。充分必要條件 D。既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【詳解】當(dāng)時(shí)，可得甲的平行數(shù)為，乙的平行數(shù)為，，可得甲的平行數(shù)大于乙的平行數(shù)；若甲的平行數(shù)大于乙的平行數(shù)可得，即或，所以“”是甲的平均分大于乙的平均分的充分不必要條件，故選A.4。已知等比數(shù)列中,,公比，則等于（）．A. B。 C. D.【答案】C【解析】分析：直接代入等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可.詳解：．故選．點(diǎn)睛：本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式，屬基礎(chǔ)題.5.函數(shù)的圖象大致是(）A。 B. C. D?！敬鸢浮緼【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性,結(jié)合特殊點(diǎn)的值的情況求解。【詳解】已知函數(shù)，==，即函數(shù)是偶函數(shù),故排除選項(xiàng)B,D;由，得或,當(dāng)x>0時(shí)，，，可排除選項(xiàng)C,故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了已知函數(shù)表達(dá)式，識(shí)別函數(shù)圖象，涉及了函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)的奇偶性；從函數(shù)的奇偶性可以判斷函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性，從特殊點(diǎn)的值的情況，可以排除不符合要求的選項(xiàng).6.某幾何體的三視圖如圖（虛線刻畫(huà)的小正方形邊長(zhǎng)為1）所示,則這個(gè)幾何體的體積為A。 B。 C。 D?！敬鸢浮緿【解析】【分析】先還原幾何體,再分割成兩個(gè)椎體，最后根據(jù)錐體體積公式求結(jié)果.【詳解】幾何體為如圖多面體PABCDE，所以體積為選D.【點(diǎn)睛】空間幾何體體積問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略（1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺(tái)體，則可直接利用公式進(jìn)行求解．（2）若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解．(3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解．7。在邊長(zhǎng)為的正方形中,為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍是(）A. B. C. D?！敬鸢浮緾【解析】【詳解】將正方形放入如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)E(x，0），0≤x≤1。又,C(1,1)，所以，所以，因?yàn)?≤x≤1，所以，即的取值范圍是.故選C。點(diǎn)睛:計(jì)算數(shù)量積的三種方法：定義、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積的幾何意義，要靈活選用，和圖形有關(guān)的不要忽略數(shù)量積幾何意義的應(yīng)用．8.設(shè)g(x)的圖象是由函數(shù)f（x)＝cos2x的圖象向左平移個(gè)單位得到的，則g()等于(）A.1 B. C.0 D。－1【答案】D【解析】【分析】由條件直接利用左加右減的原則得到g(x)，再代入x=求值即可。【詳解】由f(x）＝cos2x的圖象向左平移個(gè)單位得到的是g（x)＝cos[2（x）]的圖象，則g（)＝cos[2（）］=cosπ=—1.故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的平移以及特殊三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題．9。若函數(shù)y＝f（x)滿(mǎn)足：集合A＝｛f（n）|n∈N＊}中至少有三個(gè)不同的數(shù)成等差數(shù)列，則稱(chēng)函數(shù)f(x)是“等差源函數(shù)”,則下列四個(gè)函數(shù)中,“等差源函數(shù)”的個(gè)數(shù)是（）①y＝2x＋1；②y＝log2x；③y＝2x＋1；④y＝sinA。1 B。2 C。3 D.4【答案】C【解析】①y＝2x＋1，n∈N＊，是等差源函數(shù);②因?yàn)閘og21，log22,log24構(gòu)成等差數(shù)列,所以y＝log2x是等差源函數(shù)；③y＝2x＋1不是等差源函數(shù)，因?yàn)槿羰?，則2（2p＋1)＝(2m＋1)＋（2n＋1)，則2p＋1＝2m＋2n，所以2p＋1－n＝2m－n＋1，左邊是偶數(shù)，右邊是奇數(shù),故y＝2x＋1不是等差源函數(shù)；④y＝sin是周期函數(shù),顯然是等差源函數(shù)。答案：C。10。在中，，，，則在方向上的投影是(）A。4 B.3 C?！? D.-3【答案】D【解析】分析：根據(jù)平面向量的數(shù)量積可得，再結(jié)合圖形求出與方向上的投影即可。詳解：如圖所示：，，，又，，在方向上的投影是：，故選D.點(diǎn)睛：本題考查了平面向量的數(shù)量積以及投影的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用問(wèn)題.11。已知a＞0,x，y滿(mǎn)足約束條件,若z=2x+y的最小值為1,則a=A。 B. C。1 D。2【答案】B【解析】【詳解】畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示:當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=2x+y表示的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，取得最小值，而點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,），所以，解得,故選B?！究键c(diǎn)定位】本小題考查線性規(guī)劃的基礎(chǔ)知識(shí),難度不大，線性規(guī)劃知識(shí)在高考中一般以小題的形式出現(xiàn)，是高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，幾乎年年必考.12.已知雙曲線的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，為其左右頂點(diǎn),以線段為直徑的圓與雙曲線的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為,且,則雙曲線的離心率為（）A. B。 C. D?！敬鸢浮緽【解析】分析：求出雙曲線的漸近線方程和圓的方程,求出交點(diǎn)，再由兩點(diǎn)的斜率公式，得到的關(guān)系，再由離心率公式即可得到所求值．詳解:雙曲線的漸近線方程為以為代入圓的方程，可得，（負(fù)的舍去）,，

即有又，

由于，則直線的斜率為又，則，

即有，

則離心率．

故選B．點(diǎn)睛:本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查直線和圓的位置關(guān)系，直線的斜率公式,考查離心率的求法，屬于基礎(chǔ)題．第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，滿(mǎn)分20分）13。已知向量，，若，則__________．【答案】【解析】,，.解得：m=?314.已知函數(shù)，則的值域?yàn)開(kāi)_____.【答案】?！窘馕觥糠治觯菏紫葘⒑瘮?shù)解析式利用平方關(guān)系化為關(guān)于的二次式，之后進(jìn)行配方運(yùn)算，結(jié)合題中所給的角的取值范圍，求得的取值范圍，最后結(jié)合二次函數(shù)在某個(gè)閉區(qū)間上的值域求得結(jié)果。詳解：，因?yàn)?，所以，所以，故函?shù)的值域?yàn)?。點(diǎn)睛：該題以三角函數(shù)為載體，考查二次函數(shù)在某個(gè)閉區(qū)間上的值域問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有同角三角函數(shù)關(guān)系中的平方關(guān)系，余弦函數(shù)在某個(gè)閉區(qū)間上的值域，二次函數(shù)在某個(gè)閉區(qū)間上的值域問(wèn)題，注意對(duì)知識(shí)點(diǎn)的靈活掌握。15。已知是定義在上的奇函數(shù)，對(duì)于任意且,都有成立，且,則不等式的解集為_(kāi)____【答案】【解析】【分析】先判斷在上遞減,根據(jù)奇偶性可得上遞減，,分兩種情況討論，解不等式組可得結(jié)論.【詳解】當(dāng)，恒成立,；當(dāng)，恒成立，恒成立，在遞減,又在上是奇函數(shù)，在和在上遞減，由不等式可得，或，不等式的解集為，故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查抽象函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用,屬于難題。將奇偶性與單調(diào)性綜合考查一直是命題的熱點(diǎn)，解這種題型往往是根據(jù)函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性，根據(jù)奇偶性判斷出函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的單調(diào)性(偶函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上單調(diào)性相反，奇函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間單調(diào)性相同)，然后再根據(jù)單調(diào)性列不等式求解。16.在三棱錐中，平面平面，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，其中，則該三棱錐外接球的表面積為_(kāi)____．【答案】【解析】【分析】本題首先可以通過(guò)題意畫(huà)出圖像,然后通過(guò)三棱錐的圖像性質(zhì)以及三棱錐的外接球的相關(guān)性質(zhì)來(lái)確定圓心的位置，最后根據(jù)各邊所滿(mǎn)足的幾何關(guān)系列出算式，即可得出結(jié)果．【詳解】如圖所示，作中點(diǎn)，連接、,在上作三角形的中心,過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，在垂線上取一點(diǎn)，使得．因?yàn)槿忮F底面是一個(gè)邊長(zhǎng)為的等邊三角形，為三角形的中心，所以三棱錐的外接球的球心在過(guò)點(diǎn)的平面的垂線上,因?yàn)椋?、兩點(diǎn)在三棱錐的外接球的球面上，所以點(diǎn)即為球心,因?yàn)槠矫嫫矫?，，為中點(diǎn),所以平面，,，，設(shè)球半徑為，則有，，，即，解得，故表面積．【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐的相關(guān)性質(zhì)，主要考查三棱錐的外接球的相關(guān)性質(zhì)，考查如何通過(guò)三棱錐的幾何特征來(lái)確定三棱錐的外接球與半徑，考查推理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是難題．三、解答題(共70分,解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟，第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。）17。在某校舉行的航天知識(shí)競(jìng)賽中，參與競(jìng)賽的文科生與理科生人數(shù)之比為，且成績(jī)分布在,分?jǐn)?shù)在以上（含）的同學(xué)獲獎(jiǎng)。按文理科用分層抽樣的方法抽取人的成績(jī)作為樣本,得到成績(jī)的頻率分布直方圖(見(jiàn)下圖）。（I)在答題卡上填寫(xiě)下面的列聯(lián)表,能否有超過(guò)的把握認(rèn)為“獲獎(jiǎng)與學(xué)生的文理科有關(guān)”？文科生理科生合計(jì)獲獎(jiǎng)不獲獎(jiǎng)合計(jì)（II)將上述調(diào)査所得的頻率視為概率，現(xiàn)從該校參與競(jìng)賽的學(xué)生中，任意抽取名學(xué)生,記“獲獎(jiǎng)”學(xué)生人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望。附表及公式：，其中?！敬鸢浮浚á瘢┐鸢敢?jiàn)解析；（Ⅱ)答案見(jiàn)解析.【解析】分析:(I）利用公式求得，與鄰界值比較，即可得到結(jié)論；(Ⅱ）的所有可能的取值為，且.（）。從而可得的分布列，利用期望公式可得數(shù)學(xué)期望。詳解：(I)文科生理科生合計(jì)獲獎(jiǎng)53540不獲獎(jiǎng)45115160合計(jì)50150200，所以有超過(guò)的把握認(rèn)為“獲獎(jiǎng)與學(xué)生的文理科有關(guān)”.（II)由表中數(shù)據(jù)可知,將頻率視為概率，從該校參賽學(xué)生中任意抽取一人,抽到獲獎(jiǎng)同學(xué)的概率為.的所有可能的取值為，且.(）.所以的分布列如下。點(diǎn)睛：求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟：①“判斷取值"，即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值以及取每個(gè)值所表示的意義;②“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式（常見(jiàn)的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率加法公式、獨(dú)立事件的概率公式以及對(duì)立事件的概率公式等），求出隨機(jī)變量取每個(gè)值時(shí)的概率；③“寫(xiě)分布列”，即按規(guī)范形式寫(xiě)出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或某事件的概率是否正確；④“求期望”,一般利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望．對(duì)于某些實(shí)際問(wèn)題中的隨機(jī)變量，如果能夠斷定它服從某常見(jiàn)的典型分布(如二項(xiàng)分布），則此隨機(jī)變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式(）求得．因此,應(yīng)熟記常見(jiàn)的典型分布的期望公式，可加快解題速度．18.在銳角中，角的對(duì)邊分別為,.（1）求角的大?。唬?）若，求的取值范圍.【答案】(1）；(2).【解析】【分析】（1）利用兩角和差的正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可,求角A的大小;（2）先求得B+C=，根據(jù)B、C都是銳角求出B的范圍，由正弦定理得到b=2sinB,c=2sinC,根據(jù)b2+c2=4+2sin（2B﹣）及B的范圍,得＜sin（2B﹣）≤1,從而得到b2+c2的范圍．【詳解】（1）由=得sinAcosB+sinAcosC=cosAsinB+cosAsinC,即sin(A﹣B）=sin（C﹣A），則A﹣B=C﹣A，即2A=C+B,即A=．.（2）當(dāng)a=時(shí)，∵B+C=，∴C=﹣B．由題意得，∴＜B＜．由=2,得b=2sinB,c=2sinC,∴b2+c2=4（sin2B+sin2C）=4+2sin（2B﹣）．∵＜B＜,∴＜sin（2B﹣)≤1,∴1≤2sin(2B﹣）≤2．∴5＜b2+c2≤6．故的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的恒等變換,正弦定理的應(yīng)用,其中判斷sin（2B﹣）的取值范圍是本題的難點(diǎn)．19。如圖，在三棱柱中,，，平面平面，為中點(diǎn)。（1）求證：；(2）若直線與平面所成角為,求平面與平面所成銳二面角的余弦值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2)【解析】分析：(1)過(guò)點(diǎn)作交于，欲證，只需證明平面;（2）可利用向量法求解二面角的余弦值.詳解：(1)過(guò)點(diǎn)做交于，因?yàn)槊?，所以，故，又因?yàn)?，所以，?因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以面，故．?）以坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo),，設(shè)面的法向量為，則令，得；設(shè)面的法向量為,則令得；面與面所成銳二面角的余弦值為．點(diǎn)睛：采用向量法求解二面角大小時(shí)需要注意以下兩個(gè)問(wèn)題:（1)建系方便簡(jiǎn)單,在書(shū)寫(xiě)點(diǎn)坐標(biāo)，及求解平面的法向量時(shí)要準(zhǔn)確；（2）確定所求的二面角為銳角還是鈍角。20.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為．(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率;（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)滿(mǎn)足，求證：由點(diǎn)構(gòu)成的曲線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)．【答案】（Ⅰ），離心率；（Ⅱ)見(jiàn)解析【解析】【分析】（Ⅰ）由已知,得a，c＝1,所以，由，所以b，即可求出橢圓方程及離心率；（Ⅱ）設(shè)A（x1，y1）,B(x2，y2），，分兩種情況,借助韋達(dá)定理和向量的運(yùn)算，求出點(diǎn)M構(gòu)成的曲線L的方程為2x2+3y2﹣2y＝0,即可證明．【詳解】（Ⅰ）由已知，得,所以,又，所以所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,離心率.（Ⅱ）設(shè)，，，①直線與軸垂直時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，．因?yàn)椋?，，所以．所以，即點(diǎn)與原點(diǎn)重合；②當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，由得,．所以。則，因?yàn)?，，所以．所以,．，，消去得．綜上，點(diǎn)構(gòu)成的曲線的方程為對(duì)于曲線的任意一點(diǎn),它關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為．把的坐標(biāo)代入曲線的方程的左端：．所以點(diǎn)也在曲線上．所以由點(diǎn)構(gòu)成的曲線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)?！军c(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，點(diǎn)的軌跡方程,考查計(jì)算能力，屬于中檔題．21.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍，并證明．【答案】(1)當(dāng)時(shí)，在處取得的極大值;函數(shù)無(wú)極小值.（2）證明見(jiàn)解析【解析】試題分析：（1）求出，令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，令求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間，從而可得函數(shù)的極值；（2）對(duì)進(jìn)行討論：，，，，針對(duì)以上四種情況,分別利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用單調(diào)性討論函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)情況，排除不是兩個(gè)零點(diǎn)的情況,可得有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是，由(1）知在單調(diào)遞減,故只需證明即可,又，只需利用導(dǎo)數(shù)證明即可.試題解析：（1）由得，當(dāng)時(shí)，,若；若，故當(dāng)時(shí),在處取得的極大值；函數(shù)無(wú)極小值。(2）當(dāng)時(shí)，由（1）知在處取得極大值，且當(dāng)趨向于時(shí)，趨向于負(fù)無(wú)窮大，又有兩個(gè)零點(diǎn)，則,解得。當(dāng)時(shí)，若；若；若，則在處取得極大值,在處取得極小值，由于，則僅有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，，則僅有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，若；若；若，則在處取得極小值，在處取得極大值，由于，則僅有一個(gè)零點(diǎn)。綜上，有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是.兩零點(diǎn)分別在區(qū)間和內(nèi)，不妨設(shè).欲證，需證明，又由(1)知在單調(diào)遞減，故只需證明即可.，又，所以，令，則，則在上單調(diào)遞減,所以,即，所以。（二）選考題：共10分，請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按