高考數(shù)學(xué)：有關(guān)任意、存在、至少、恒成立問題

PAGEPAGE1有關(guān)任意、存在、至少、恒成立問題1．（本小題滿分14分）已知函數(shù)。（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。（Ⅱ）若上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍（求f(x)的最大值）（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，對(duì)任意的，求證：。解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，恒成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞增；………2分當(dāng)時(shí)，由，則則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．…4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得：當(dāng)時(shí)顯然不成立；當(dāng)時(shí)，,只需即可．…………．6分令,則，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．，即對(duì)恒成立，也就是對(duì)恒成立，∴解得，…………9分∴若在上恒成立，=1．……………10分分析;即求的取值范圍，因?yàn)橐淮笥?，而是小于或等于0，所以只有，解得，(Ⅲ）,………11分由得,由（Ⅱ）得：,………12分則,則原不等式成立．…………14分2（本小題共14分）已知函數(shù)（Ⅰ）若，求函數(shù)的極值和單調(diào)區(qū)間；(II)若在區(qū)間上至少存在一點(diǎn)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（I）因?yàn)?，?分當(dāng)，，令，得， …3分又的定義域?yàn)?，，隨的變化情況如下表：0極小值所以時(shí)，的極小值為1.…5分的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；…6分（II）解法一：因?yàn)?所以，只需…7分令，只要在區(qū)間上的最小值小于0即可因?yàn)椋?，得?分（1）當(dāng)時(shí)：極大值因?yàn)闀r(shí)，，而，只要，得，即…11分（2）當(dāng)時(shí)：極小值所以，當(dāng)時(shí)，極小值即最小值為，由，得，即.………13分綜上，由(1)（2）可知，有.………14分3[2011·山東青島一模]已知函數(shù)．(1)若,令函數(shù),求函數(shù)在上的極大值、極小值；(2)若函數(shù)在上恒為單調(diào)遞增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：(1)，所以．由得或．所以函數(shù)在處取得極小值；在處取得極大值．(２)因?yàn)榈膶?duì)稱軸為．①若即時(shí)，要使函數(shù)在上恒為單調(diào)遞增函數(shù)，則有，解得：，所以；②若即時(shí)，要使函數(shù)在上恒為單調(diào)遞增函數(shù)，則有，解得：，所以．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．4．（本小題共14分）已知，函數(shù)，，.（Ⅰ）當(dāng)時(shí),求函數(shù)在點(diǎn)的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)在的極值;（Ⅲ）若在區(qū)間上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍．解:由求導(dǎo)得，.…………1分（Ⅰ）當(dāng)時(shí),…………3分所以在點(diǎn)的切線方程是…………4分（Ⅱ）令,(1)當(dāng)即時(shí)(-1,0)0+0-0+↗極大值↘極小值↗………6分故的極大值是;極小值是;…………7分(2)當(dāng)即時(shí)在上遞增,在上遞減,…………8分所以的極大值為,無極小值.…………9分（Ⅲ）設(shè).對(duì)求導(dǎo)，得，……………10分因?yàn)?，，所以，在區(qū)間上為增函數(shù)，則.……12分依題意，只需，即，即，解得或（舍去）.所以正實(shí)數(shù)的取值范圍是.……14分5.（本小題滿分14分）已知函數(shù).(Ⅰ)若，求曲線在處切線的斜率；(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）設(shè)，若對(duì)任意，均存在，使得，求的取值范圍.轉(zhuǎn)化為.解：(Ⅰ)由已知，………………2分.故曲線在處切線的斜率為.………………4分(Ⅱ).………………5分①當(dāng)時(shí)，由于，故，所以，的單調(diào)遞增區(qū)間為.………………6分②當(dāng)時(shí)，由，得.在區(qū)間上，，在區(qū)間上，所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.………………8分（Ⅲ）由已知，轉(zhuǎn)化為.………………9分………………10分由(Ⅱ)知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，值域?yàn)?，故不符合題意.(或者舉出反例：存在，故不符合題意.)………………11分當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故的極大值即為最大值，，………13分所以，解得.………………14分6．（本小題共14分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若函數(shù)在區(qū)間（，0）上至少有一個(gè)極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解（Ⅰ）當(dāng)時(shí)， 1分 ， 2分 令得 3分 ∴在（－，1）上單調(diào)遞增 4分 （Ⅱ）， 5分 =1\*GB3①當(dāng)時(shí)，，易知在處取得極小值，適合題意；=2\*GB3②時(shí)，函數(shù)在區(qū)間（-，0）上至少有一個(gè)極值，則說明的圖像穿過軸負(fù)半軸； 為二次函數(shù)，則或 11分解得或 13分 綜上，時(shí)滿足題意 14分7(2011海淀一模理18).（本小題共13分）已知函數(shù)，（Ⅰ）若，求函數(shù)的極值；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(Ⅲ)若在（）上存在一點(diǎn)，使得成立，求的取值范圍.解：（Ⅰ）的定義域?yàn)?，……?分當(dāng)時(shí)，，，………2分………3分…………4分（Ⅱ），………6分=1\*GB3①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上，在上，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；………7分②當(dāng)，即時(shí)，在上，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增.…………8分（=3\*ROMANIII）在上存在一點(diǎn)，使得成立，即在上存在一點(diǎn)，使得，即函數(shù)在上的最小值小于零.………9分由（Ⅱ）可知=1\*GB3①即，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以的最小值為，由可得，因?yàn)?，所以；……?0分②當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以最小值為，由可得；………11分③當(dāng)，即時(shí)，可得最小值為，因?yàn)椋?，故此時(shí)，不成立.………12分綜上討論可得所求的范圍是：或.………13分8（本小題滿分14分）已知函數(shù),，其中.（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）若在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）設(shè)函數(shù),當(dāng)時(shí)，若，，總有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解】（Ⅰ）的定義域?yàn)椋?，………?分當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；…………2分②當(dāng)時(shí)，由，得；由，得；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.…………4分（Ⅱ），的定義域?yàn)椤?分因?yàn)樵谄涠x域內(nèi)為增函數(shù)，所以，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以…………8分（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，，