與軸對(duì)稱(chēng)相關(guān)的線段之和最短問(wèn)題

與軸對(duì)稱(chēng)相關(guān)的線段之和最短問(wèn)題與軸對(duì)稱(chēng)相關(guān)的線段之和最短問(wèn)題監(jiān)利縣第一初級(jí)中學(xué)劉光杰QQ1519819521一．問(wèn)題的引入：在學(xué)習(xí)了作軸對(duì)稱(chēng)圖形之后，人教版八年級(jí)上冊(cè)P42，有這樣一個(gè)問(wèn)題在這個(gè)問(wèn)題中，利用軸對(duì)稱(chēng)，將折線轉(zhuǎn)化為直線，再根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，“垂線段最短”，等相關(guān)的知識(shí)，得到最短線段，這一類(lèi)問(wèn)題也是當(dāng)今中考的熱點(diǎn)題型。通常會(huì)以：直線、角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圓、坐標(biāo)軸、拋物線等為載體。本文試圖對(duì)這一類(lèi)問(wèn)題進(jìn)行分類(lèi)，在每一類(lèi)中有若干題型，且給出了基本的解為方便歸類(lèi)，將以上三種情況統(tǒng)稱(chēng)為“兩邊之和大于第三邊型”4.如圖，點(diǎn)P，Q為∠MON內(nèi)的兩點(diǎn)，分別在OM，ON上作點(diǎn)A，B。使四邊形PAQB的周長(zhǎng)最小。為方便歸類(lèi)，將這種情況稱(chēng)為“兩點(diǎn)之間線段最短型”5.如圖，點(diǎn)A是∠MON外的一點(diǎn)，在射線ON上作點(diǎn)P，使PA與點(diǎn)P到射線OM的距離之和最小6..如圖，點(diǎn)A是∠MON內(nèi)的一點(diǎn)，在射線ON上作點(diǎn)P，使PA與點(diǎn)P到射線OM的距離之和最小為方便歸類(lèi)，將以上兩種情況，稱(chēng)為“垂線段最短型”三.兩邊之和大于第三邊型(一)直線類(lèi)1．如圖，A、B兩個(gè)小集鎮(zhèn)在河流CD的同側(cè)，分別到河的距離為AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，現(xiàn)在要在河邊建一自來(lái)水廠，向A、B兩鎮(zhèn)供水，鋪設(shè)水管的費(fèi)用為每千米3萬(wàn)，請(qǐng)你在河流CD上選擇水廠的位置M，使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最節(jié)省，并求出總費(fèi)用是多少？作點(diǎn)B關(guān)于直線CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B'，連接AB'，交CD于點(diǎn)M則AM+BM=AM+B'M=AB'，水廠建在M點(diǎn)時(shí)，費(fèi)用最小如右圖，在直角△AB'E中，AE=AC+CE=10+30=40EB'=30所以：AB'=50總費(fèi)用為：50×3=150萬(wàn)2．如圖，C為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC。已知AB=5，DE=1，BD=8，設(shè)CD=x.(1)用含x的代數(shù)式表示AC＋CE的長(zhǎng)；(2)請(qǐng)問(wèn)點(diǎn)C滿(mǎn)足什么條件時(shí)，AC＋CE的值最小?(3)根據(jù)(2)中的規(guī)律和結(jié)論，請(qǐng)構(gòu)圖求出代數(shù)式eq\r(x2+4)+eq\r((12-x)2+9)錯(cuò)誤！未定義書(shū)簽。的最小值(1)AC=eq\r((8-x)2+25)，CE=eq\r(x2+1)則AC+CE=eq\r((8-x)2+25)+eq\r(x2+1)(2)A、C、E三點(diǎn)共線時(shí)AC+CE最小連接AE，交BD于點(diǎn)C，則AE就是AC+CE的最小值最小值是10(3)如右圖，AE的長(zhǎng)就是這個(gè)代數(shù)式的最小值在直角△AEF中,AF=5EF=12根據(jù)勾股定理AE=133．求代數(shù)式eq\r(x2+1)+\r((4-x)2+4)（0≤x≤4）的最小值如右圖，AE的長(zhǎng)就是這個(gè)代數(shù)式的最小值在直角△AEF中AF=3EF=4則AE=5所以，這個(gè)代數(shù)式的最小值是5(二)角類(lèi)4．兩條公路OA、OB相交，在兩條公路的中間有一個(gè)油庫(kù)，設(shè)為點(diǎn)P，如在兩條公路上各設(shè)置一個(gè)加油站，，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)方案，把兩個(gè)加油站設(shè)在何處，可使運(yùn)油車(chē)從油庫(kù)出發(fā)，經(jīng)過(guò)一個(gè)加油站，再到另一個(gè)加油站，最后回到油庫(kù)所走的路程最短.分析這是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，我們需要把它轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，經(jīng)過(guò)分析，我們知道此題是求運(yùn)油車(chē)所走路程最短，OA與OB相交，點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)部，通常我們會(huì)想到軸對(duì)稱(chēng)，分別做點(diǎn)P關(guān)于直線OA和OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P1、P2，連結(jié)P1P2分別交OA、OB于C、D，C、D兩點(diǎn)就是使運(yùn)油車(chē)所走路程最短，而建加油站的地點(diǎn)，那么是不是最短的呢？我們可以用三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行說(shuō)明.

解：分別做點(diǎn)P關(guān)于直線OA和OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P1、P2，連結(jié)P1P2分別交OA、OB于C、D，則C、D就是建加油站的位置.若取異于C、D兩點(diǎn)的點(diǎn)，則由三角形的三邊關(guān)系，可知在C、D兩點(diǎn)建加油站運(yùn)油車(chē)所走的路程最短.點(diǎn)評(píng)：在這里沒(méi)有詳細(xì)說(shuō)明為什么在C、D兩點(diǎn)建加油站運(yùn)油車(chē)所走的路程最短，請(qǐng)同學(xué)們思考弄明白。5．如圖∠AOB=45°，P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，PO=10，Q、P分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，求△PQR周長(zhǎng)的最小值．分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P1、P2，連接P1P2，交OA、OB于點(diǎn)Q，R，連接OP1，OP2，則OP=OP1=OP2=10且∠P1OP2=90°由勾股定理得P1P2=10eq\r(2)(三)三角形類(lèi)6．如圖，等腰Rt△ABC的直角邊長(zhǎng)為2，E是斜邊AB的中點(diǎn)，P是AC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則PB+PE的最小值為即在AC上作一點(diǎn)P，使PB+PE最小作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B'，連接B'E，交AC于點(diǎn)P，則B'E=PB'+PE=PB+PEB'E的長(zhǎng)就是PB+PE的最小值在直角△B'EF中，EF=1，B'F=3根據(jù)勾股定理，B'E=eq\r(10)7．如圖，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC邊的中點(diǎn)，E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，則EC＋ED的最小值為_(kāi)______。即是在直線AB上作一點(diǎn)E，使EC+ED最小作點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C'，連接DC'交AB于點(diǎn)E，則線段DC'的長(zhǎng)就是EC+ED的最小值。在直角△DBC'中DB=1，BC=2，根據(jù)勾股定理可得，DC'=eq\r(5)8．等腰△ABC中，∠A=20°，AB=AC=20，M、N分別是AB、AC上的點(diǎn)，求BN+MN+MC的最小值分別作點(diǎn)C、B關(guān)于AB、AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C’、B’，連接C’B’交AB、AC于點(diǎn)M、N，則BN+MN+MC=B’N+MN+MC’=B’C’，BN+MN+MC的最小值就是B’C’的值∵∠BAC’=∠BAC，∠CAB’=∠CAB∴∠B’AC’=60°∵AC’=AC，AB’=AB，AC=AB∴AC’=AB’∴△AB’C’是等邊三角形∴B’C’=209．如圖，在等邊△ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AC上的一點(diǎn)，M是AD上的一點(diǎn)，且AE=2，求EM+EC的最小值因?yàn)辄c(diǎn)C關(guān)于直線AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是點(diǎn)B，所以連接BE，交AD于點(diǎn)M，則ME+MD最小，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC于點(diǎn)H，則EH=AH–AE=3–2=1，BH=eq\r(BC2-CH2)=eq\r(62-32)=3eq\r(3)在直角△BHE中，BE=eq\r(BH2+HE2)=eq\r((3\r(3))2+12)=2eq\r(7)(四)正方形類(lèi)10．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一動(dòng)點(diǎn)，DN＋MN的最小值為_(kāi)________。即在直線AC上求一點(diǎn)N，使DN+MN最小故作點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B，連接BM，交AC于點(diǎn)N。則DN＋ＭＮ＝BN＋ＭＮ＝ＢＭ線段ＢＭ的長(zhǎng)就是DN＋ＭＮ的最小值在直角△ＢＣＭ中，ＣＭ＝６，ＢＣ＝８，則ＢＭ＝１０故DN＋ＭＮ的最小值是１０11．如圖所示，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P，使PD＋PE的和最小，則這個(gè)最小值為（ ）A．2eq\r(3) B．2eq\r(6) C．3 D．eq\r(6)即在AC上求一點(diǎn)P，使PE+PD的值最小點(diǎn)D關(guān)于直線AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是點(diǎn)B，連接BE交AC于點(diǎn)P，則BE=PB+PE=PD+PE，BE的長(zhǎng)就是PD+PE的最小值BE=AB=2eq\r(3)12．在邊長(zhǎng)為2㎝的正方形ABCD中，點(diǎn)Q為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PQ，則△PBQ周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)___________㎝（結(jié)果不取近似值）.即在AC上求一點(diǎn)P，使PB+PQ的值最小因?yàn)辄c(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是D點(diǎn)，所以連接DQ，與AC的交點(diǎn)P就是滿(mǎn)足條件的點(diǎn)DQ=PD+PQ=PB+PQ故DQ的長(zhǎng)就是PB+PQ的最小值在直角△CDQ中，CQ=1，CD=2根據(jù)勾股定理，得，DQ=eq\r(5)13．如圖，四邊形ABCD是正方形，AB=10cm，E為邊BC的中點(diǎn)，P為BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PC+PE的最小值；連接AE，交BD于點(diǎn)P，則AE就是PE+PC的最小值在直角△ABE中，求得AE的長(zhǎng)為5eq\r(5)(五)矩形類(lèi)14．如圖，若四邊形ABCD是矩形，AB=10cm，BC=20cm，E為邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P為BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PC+PD的最小值；作點(diǎn)C關(guān)于BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C'，過(guò)點(diǎn)C'，作C'B⊥BC，交BD于點(diǎn)P，則C'E就是PE+PC的最小值直角△BCD中，CH=eq\f(20,\r(5))q\f(20,r\(5))錯(cuò)誤！未定義書(shū)簽。直角△BCH中，BH=8eq\r(5)△BCC'的面積為：BH×CH=160所以C'E×BC=2×160則CE'=16(六)菱形類(lèi)15．如圖，若四邊形ABCD是菱形，AB=10cm，∠ABC=45°，E為邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P為BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PC+PE的最小值；點(diǎn)C關(guān)于BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，交BD于點(diǎn)P，則AE就是PE+PC的最小值在等腰△EAB中，求得AE的長(zhǎng)為5eq\r(2)(七)直角梯形類(lèi)16．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，點(diǎn)P在BC上移動(dòng)，則當(dāng)PA+PD取最小值時(shí)，△APD中邊AP上的高為（）A、B、C、D、3作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'，連接A'D，交BC于點(diǎn)P則A'D=PA'+PD=PA+PDA'D的長(zhǎng)就是PA+PD的最小值S△APD=4在直角△ABP中，AB=4，BP=1根據(jù)勾股定理，得AP=eq\r(17)所以AP上的高為：2×eq\f(4,\r(17))=eq\f(8\r(17),17)(八)圓類(lèi)17．已知⊙O的直徑CD為4，∠AOD的度數(shù)為60°，點(diǎn)B是eq\o\ac(AD,\s\up10(︵))的中點(diǎn)，在直徑CD上找一點(diǎn)P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．即是在直線CD上作一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小作點(diǎn)A關(guān)于CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'，連接A'B，交CD于點(diǎn)P，則A'B的長(zhǎng)就是PA+PB的最小值連接OA'，OB，則∠A'OB=90°，OA'=OB=4根據(jù)勾股定理，A'B=4eq\r(2)18．如圖，MN是半徑為1的⊙O的直徑，點(diǎn)A在⊙O上，∠AMN＝30°，B為AN弧的中點(diǎn)，P是直徑MN上一動(dòng)點(diǎn)，則PA＋PB的最小值為(

)A

2eq\r(2)

B

eq\r(2)

C

1

D

2即在MN上求一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小作點(diǎn)A關(guān)于MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'，連接A'B，交MN于點(diǎn)P，則點(diǎn)P就是所要作的點(diǎn)A'B的長(zhǎng)就是PA+PB的最小值連接OA'、OB，則△OA'B是等腰直角三角形所以A'B=eq\r(2)(九)一次函數(shù)類(lèi)19．在平面直角坐標(biāo)系中，有A（3，－2），B（4，2）兩點(diǎn)，現(xiàn)另取一點(diǎn)C（1，n），當(dāng)n=______時(shí)，AC+BC的值最?。c(diǎn)C（1，n），說(shuō)明點(diǎn)C在直線x=1上，所以作點(diǎn)A關(guān)于直線x=1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'，連接A'B，交直線x=1于點(diǎn)C，則AC+BC的值最小設(shè)直線A'B的解析式為y=kx+b，則-2=-k+b2=4k+b解得：k=(4/5)b=-(6/5)所以：y=(4/5)x-(6/5)當(dāng)x=1時(shí)，y=-(2/5)故當(dāng)n=-(2/5)時(shí)，AC+BC的值最小20．一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x、y軸分別交于點(diǎn)A（2，0），B（0，4）．（1）求該函數(shù)的解析式；（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)OA、AB的中點(diǎn)分別為C、D，P為OB上一動(dòng)點(diǎn)，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．(1)由題意得：0=2x+b4=b解得k=-2，b=4，所以y=-2x+4(2)作點(diǎn)C關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C'，連接C'D，交y軸于點(diǎn)P則C'D=C'P+PD=PC+PDC'D就是PC+PD的最小值連接CD，則CD=2，CC'=2在直角△C'CD中，根據(jù)勾股定理C'D=2eq\r(2)求直線C'D的解析式，由C'(-1，0)，D(1，2)所以，有0=-k+b2=k+b解得k=1，b=1，所以y=x+1當(dāng)x=0時(shí)，y=1，則P(0，1)21．如圖，一次函數(shù)y=eq\f(1,2)x與反比例函數(shù)y=eq\f(k,x)交于點(diǎn)A，AM⊥x軸于點(diǎn)M，S△OAM=1(1)求k的值，(2)點(diǎn)B為雙曲線y=eq\f(k,x)上不與A重合的一點(diǎn)，且B(1，n)，在x軸上求一點(diǎn)P，使PA+PB最小(1)由S△OAM=1知，k=2(2)作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A’，連接A’B，交x軸于點(diǎn)P，連接PA，則PA+PB最小。用待定系數(shù)法求直線A’B的解析式為y=-3x+5，因?yàn)辄c(diǎn)P在x軸上，所以設(shè)y=0，即0=-3x+5，解得x=eq\f(5,3)所以P(eq\f(5,3)，0)22．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l是第一、三象限的角平分線．（1）由圖觀察易知A（0，2）關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（2，0），請(qǐng)?jiān)趫D中分別標(biāo)明B（5，3）、C（－2，5）關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′、C′的位置，并寫(xiě)出他們的坐標(biāo)：B′、C′；（2）結(jié)合圖形觀察以上三組點(diǎn)的坐標(biāo)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)：坐標(biāo)平面內(nèi)任一點(diǎn)P（a，b）關(guān)于第一、三象限的角平分線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（不必證明）；運(yùn)用與拓廣：（3）已知兩點(diǎn)D（1，－3）、E（－1，－4），試在直線l上確定一點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q到D、E兩點(diǎn)的距離之和最小，并求出Q點(diǎn)坐標(biāo)．(1)點(diǎn)B(5，3)、C(-2，5)關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B'(3，5)、C'(5，-2)(2)坐標(biāo)平面內(nèi)任一點(diǎn)P(a，b)關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P'的坐標(biāo)為(b，a)(3)作點(diǎn)E關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E'，連接DE'，交直線l于點(diǎn)Q則QE+QD的值最小設(shè)直線DE'的解析式為：y=kx+b，因?yàn)镈(1，-3)、E'(-4,-1)，則-3=k+b-1=-4k+b解得：k=-eq\f(2,5)，b=-eq\f(13,5)所以y=-eq\f(2,5)x-eq\f(13,5)當(dāng)x=y時(shí)，有x=y=-eq\f(13,7)則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(-eq\f(13,7)，-eq\f(13,7))(十)二次函數(shù)類(lèi)23．如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），連結(jié)0A，將線段OA繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。，得到線段OB.（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過(guò)A、O、B三點(diǎn)的拋物線的解析式；（3）在（2）中拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)C，使△BOC的周長(zhǎng)最??？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（注意：本題中的結(jié)果均保留根號(hào)）(1)B(1，eq\r(3))(2)eqy=\f(\r(3),3)x2+\f(2\r(3),3)x(3)因?yàn)辄c(diǎn)O關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是點(diǎn)A，則連接AB，交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)C，則△BOC的周長(zhǎng)最小eqy=\f(\r(3),3)x2+\f(2\r(3),3)x，當(dāng)x=-1時(shí)，y=eq\f(\r(3),3)所以C(-1，eq\f(\r(3),3))24．如圖，拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，-eq\f(4\r(3),3))，交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C(0，-eq\r(3))．（1）求拋物線的表達(dá)式．（2）把△ABC繞AB的中點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°，得到四邊形ADBC．判斷四邊形ADBC的形狀，并說(shuō)明理由．（3）試問(wèn)在線段AC上是否存在一點(diǎn)F，使得△FBD的周長(zhǎng)最小，若存在，請(qǐng)寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G，連接DG，交AC于點(diǎn)F，則△FBD的周長(zhǎng)最小因?yàn)镃F∥BD，CG=eq\f(1,2)BD，所以F(eq-\f(1,2)，-\f(\r(3),2))25．如圖，拋物線y＝x2＋bx－2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且A(－1，0)．（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）判斷△ABC的形狀，證明你的結(jié)論；（3）點(diǎn)M(m,0)是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)MC＋MD的值最小時(shí)，求m的值．(1)y=eq\f(1,2)x2-\f(3,2)-2

(3)作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C’，連接C’D，交x軸于點(diǎn)M，則MC+MD的值最小，求出直線C’D的解析式，即可得到M點(diǎn)的坐標(biāo)eqm=\f(24,41)方法點(diǎn)撥：此類(lèi)試題往往以角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圓、坐標(biāo)軸、拋物線等為背景，但都有一個(gè)“軸對(duì)稱(chēng)性”的圖形共同點(diǎn)，解題時(shí)只有從變化的背景中提取出“建泵站問(wèn)題”的數(shù)學(xué)模型，再通過(guò)找定直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)把同側(cè)線段和轉(zhuǎn)換為異側(cè)線段和，利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，實(shí)現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直”即可解決。有時(shí)問(wèn)題是求三角形周長(zhǎng)或四邊形周長(zhǎng)的最小值，一般此時(shí)會(huì)含有定長(zhǎng)的線段，依然可以轉(zhuǎn)化為“建泵站問(wèn)題”。26．如圖，在直角坐標(biāo)系中，A，B，C的坐標(biāo)分別為（-1，0），（3，0），（0，3），過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線l，D為直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，(1)求拋物線的解析式；(2)求當(dāng)AD+CD最小時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)以點(diǎn)A為圓心，以AD為半徑作圓A；①證明：當(dāng)AD+CD最小時(shí)，直線BD與圓A相切；②寫(xiě)出直線BD與圓A相切時(shí)，點(diǎn)D的另一個(gè)坐標(biāo)。(2)連接BC，交直線l于點(diǎn)D，則DA+DC=DB+DC=BC，BC的長(zhǎng)就是AD+DC的最小值BC：y=-x+3則直線BC與直線x=1的交點(diǎn)D(1，2)，27．如圖，已知二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A（-1，

0）和點(diǎn)B（0，-5）．（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）已知該函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸上存在一點(diǎn)△AB點(diǎn)(1)y=x2–4x-5(2)BC：y=x-5P(2，-3)28．已知等腰三角形ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)分別是A(0，1)、B(0，3)，第三個(gè)頂點(diǎn)C在x軸的正半軸上．關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過(guò)A、D(3，－2)、P三點(diǎn)，且點(diǎn)P關(guān)于直線AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在x軸上．(1)求直線BC的解析式；(2)求拋物線y＝ax2＋bx＋c的解析式及點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)設(shè)M是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PM＋CM的取值范圍．(1)以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作圓，交x軸的正半軸于點(diǎn)C，在直角△ACO中OA=1，AC=2根據(jù)勾股定理，得OC=eq\r(3)故C(eq\r(3)，0)設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，則3=b0=eq\r(3)k+b解得k=-eq\r(3)，b=3(2)因?yàn)閽佄锞€關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，所以設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+c，則1=c-2=9a+c解得a=-eq\f(1,3)，c=1在直角△ACO中AC=2，OA=1，則∠ACO=30°在直角△BCO中OC=eq\r(3)，OB=3，則∠BCO=60°所以CA是∠BCO的角平分線即直線BC和x軸關(guān)于直線AC對(duì)稱(chēng)因?yàn)辄c(diǎn)P關(guān)于直線AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在ｘ軸上故點(diǎn)P應(yīng)在直線BC和拋物線上，則有方程組y=-eq\r(3)x+3y=-eq\f(1,3)x2+1解得x1=eq\r(3)y1=0x2=2eq\r(3)y2=-3所以P(eq\r(3)，0)，或(2eq\r(3)，-3)(3)當(dāng)點(diǎn)M在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PM+CM沒(méi)有最大值，只有最小值，所以求PM+CM的取值范圍，就是要求PM+CM的最小值當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，即Ｐ（eq\r(3)，０）點(diǎn)M在原點(diǎn)，PM+CM的值最小，PM+CM=2eq\r(3)所以PM+CM≥2eq\r(3)當(dāng)點(diǎn)P(2eq\r(3)，-3)時(shí)作點(diǎn)C關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為F在直角△EFP中，EF=3eq\r(3)，PF=3根據(jù)勾股定理，得EP=6所以PM+CM的最小值是6，則PM+CM≥629．如圖，在矩形OABC中，已知A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(4，0)、C(0，2)，D為OA的中點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)P是∠AOC平分線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)O重合）．（1）試證明：無(wú)論點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處，PC總與PD相等；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)B的距離最小時(shí)，試確定過(guò)O、P、D三點(diǎn)的拋物線的解析式；（3）設(shè)點(diǎn)E是（2）中所確定拋物線的頂點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，△PDE的周長(zhǎng)最??？求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)和△PDE的周長(zhǎng)；（4）設(shè)點(diǎn)N是矩形OABC的對(duì)稱(chēng)中心，是否存在點(diǎn)P，使∠CPN=90°？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．(1)△OCP≌△ODP(2)過(guò)點(diǎn)B作∠AOC的平分線的垂線于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求過(guò)點(diǎn)P作PM⊥BC于點(diǎn)M，則PM=eq\f(1,2)BF=1所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3，又因?yàn)辄c(diǎn)P在∠AOC的平分線上，則P(3，3)因?yàn)閽佄锞€過(guò)原點(diǎn)，故設(shè)y=ax2+bx又拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3，3)，D(2，0)所以eq\b\lc\{(\a(9a+3b=3,4a+2b=0))解得a=1，b=-2則拋物線的解析式為y=x2–2x(3)點(diǎn)D關(guān)于∠AOC的平分線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是點(diǎn)C，連接CE交OF于點(diǎn)P，則△PDE的周長(zhǎng)最小拋物線的解析式為y=x2–2x的頂點(diǎn)E(1，-1)，C(0，2)設(shè)直線CE的解析式為y=kx+b，則eq\b\lc\{(\a\al(-1=k+b,2=b))解得k=-3，b=2直線CE的解析式為y=-3x+2點(diǎn)P的坐標(biāo)滿(mǎn)足eq\b\lc\{(\a\al(y=-3x+2,x=y))解得x=eq\f(1,2),y=eq\f(1,2)所以P(eq\f(1,2)，eq\f(1,2))△PDE的周長(zhǎng)即是CE+DE=eq\r(10)+eq\r(2)(4)存在這樣的點(diǎn)P，使∠CPN=90°，坐標(biāo)是(eq\f(1,2)，eq\f(1,2))或(2，2)30．已知：拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對(duì)稱(chēng)軸為x=-1，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中A(-3，0)、C(0，-2)（1）求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式．（2）已知在對(duì)稱(chēng)軸上存在一點(diǎn)P，使得△PBC的周長(zhǎng)最?。?qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．（3）若點(diǎn)D是線段OC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)O、點(diǎn)C重合）．過(guò)點(diǎn)D作DE∥PC交x軸于點(diǎn)E，連接PD、PE．設(shè)CD的長(zhǎng)為m，△PDE的面積為S．求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式．試說(shuō)明S是否存在最大值，若存在，請(qǐng)求出最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(1)由題意得eq\b\lc\{(\a\al(\f(b,2a)=1,9a-3b+c=0,c=-2))解得a=eq\f(2,3)，b=eq\f(4,3)，c=-2∴拋物線的解析式為y=eq\f(2,3)x2+\f(4,3)x-2(2)點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是點(diǎn)A，連接AC交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)P，則△PBC的周長(zhǎng)最小設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，因?yàn)锳(-3，0)，C(0，-2)，則eq\b\lc\{(\a\al(0=-3k+b,-2=b))解得k=eq-\f(2,3)，b=-2所以直線AC的解析式為y=eq-\f(2,3)x–2把x=-1代入得y=eq-\f(4,3)，所以P(-1，eq-\f(4,3))(3)S存在最大值∵DE∥PC，∴eq\f(OE,OA)=\f(OD,OC)，即eq\f(OE,3)=\f(2-m,2)OE=3-eq\f(3,2)m，AE=OA–OE=eq\f(3,2)m方法一，連接OPS=S四邊形PDOE–S△OED=S△POE+S△POD–S△OED=eq\f(1,2)×(3-\f(3,2)m)×\f(4,3)+eq\f(1,2)×(2-m)×1-eq\f(1,2)×(3-\f(3,2)m)×(2-m)=eq-\f(3,4)m2+\f(3,2)m=eq-\f(3,4)(m-1)2+\f(3,4)所以，當(dāng)m=1時(shí)，S最大=eq\f(3,4)方法二，S=S△OAC–S△AEP–S△OED–S△PCD=eq-\f(3,4)m2+\f(3,2)m=eq-\f(3,4)(m-1)2+\f(3,4)(十一)建橋選址類(lèi)31．如圖，村莊A、B位于一條小河的兩側(cè)，若河岸a、b彼此平行，現(xiàn)在要建設(shè)一座與河岸垂直的橋CD，問(wèn)橋址應(yīng)如何選擇，才能使A村到B村的路程最近？作法：設(shè)a、b的距離為r。①把點(diǎn)B豎直向上平移r個(gè)單位得到點(diǎn)B'；②連接AB'，交a于C；③過(guò)C作CDb于D；④連接AC、BD。證明：∵BB'∥CD且BB'＝CD，∴四邊形BB'CD是平行四邊形，∴CB'＝BD∴AC＋CD＋DB＝AC＋CB'＋B'B＝AB'＋B'B在a上任取一點(diǎn)C'，作C'D'，連接AC'、D'B，C'B'同理可得AC'＋C'D'＋D'B＝AC'＋C'B'＋B'B而AC'＋C'B'>AB'∴AC＋CD＋DB最短。本題是研究AC＋CD＋DB最短時(shí)的C、D的取法，而ＣＤ是定值，所以問(wèn)題集中在研究AC＋DB最小上。但AC、DB不能銜接，可將BD平移B1C處，則AC＋DB可轉(zhuǎn)化為AC＋CB'，要使AC＋CB'最短，顯然，A、C、B'三點(diǎn)要在同一條直線上。32．如圖，A、B是直線a同側(cè)的兩定點(diǎn)，定長(zhǎng)線段PQ在a上平行移動(dòng)，問(wèn)PQ移動(dòng)到什么位置時(shí)，AP+PQ+QB的長(zhǎng)最短？作法：(假設(shè)P'Q'就是在直線L上移動(dòng)的定長(zhǎng)線段)1)過(guò)點(diǎn)B作直線L的平行線,并在這條平行線上截取線段BB',使它等于定長(zhǎng)P'Q'；2)作出點(diǎn)A關(guān)于直線L的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'，連接A'B'，交直線L于P；3)在直線L上截取線段PQ=P'Q..則此時(shí)AP+PQ+BQ最小.略證：由作法可知PQ=P'Q'=BB'，四邊形PQBB'與P'Q'BB'均為平行四邊形.下面只要說(shuō)明AP+BQ<AP'+BQ'即可.點(diǎn)A與A'關(guān)于直線L對(duì)稱(chēng)，則AP=A'P,AP'=A'P'.故:AP+BQ=A'P+B'P=A'B';AP'+BQ'=A'P'+B'P'.顯然,A'B'<A'P'+B'P'；(三角形三邊關(guān)系)即AP+BQ<AP'+BQ'.33．如圖，護(hù)城河在CC’處直角拐彎，寬度保持為4米，從A處往B處，經(jīng)過(guò)兩座橋：DD’，EE’，設(shè)護(hù)城河是東西——南北方向的，A，B在東西方向上相距64米，南北方向上相距84米，如何設(shè)計(jì)兩座橋梁DD’，EE’的位置，使由A地經(jīng)過(guò)兩座橋梁后到B地的路程最短？最短路程是多少？如圖，作BB’⊥a，AA’⊥b，且BB’=4，AA’=4，連接A’B’，交河岸于點(diǎn)E’，D’，分別過(guò)點(diǎn)E’、D’架設(shè)橋梁DD’，EE’，則ADD’E’EB是最短路線。因?yàn)樗倪呅蜛DD’A’、四邊形BEE’B’都是平行四邊形，所以BE=B’E’，AD=A’D’，因?yàn)锳’，B’之間線段最短，所以ADD’E’EB是最短路線，又BF=64，AF=84，所以B’F=60，A’F=80，在直角三角形A’B’F中，由勾股定理得，A’B’=100，所以最短路線為108米34．如圖，已知點(diǎn)A(-4，8)和點(diǎn)B(2，n)在拋物線y=ax2上．(1)求a的值及點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P的坐標(biāo)，并在x軸上找一點(diǎn)Q，使得AQ+QB最短，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(2)平移拋物線y=ax2，記平移后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′，點(diǎn)C(-2，0)和點(diǎn)D(-4，0)是x軸上的兩個(gè)定點(diǎn)．①當(dāng)拋物線向左平移到某個(gè)位置時(shí)，A′C+CB′最短，求此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式；②當(dāng)拋物線向左或向右平移時(shí)，是否存在某個(gè)位置，使四邊形A′B′CD的周長(zhǎng)最短？若存在，求出此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(1)直線AP的解析式為：y=EQEQ\F(,)-eq\f(5,3)x+eq\f(4,3)則Q的坐標(biāo)為（eq\f(4,5)，0）(2)①解法一：CQ=|-2-eq\f(4,5)|=eq\f(14,5)則拋物線y=eq\f(1,2)x2向左移動(dòng)eq\f(14,5)個(gè)單位時(shí)，A’C+B’C最短拋物線的解析式為：y=eq\f(1,2)（x+eq\f(14,5)）2解法二：將拋物線y=eq\f(1,2)x2向左移動(dòng)m個(gè)單位，則A’(-4-m，8)，B’(2-m，2)，點(diǎn)A’關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是A’’(-4-m，-8)，直線A’’B’的解析式為：y=eq\f(5,3)x+eq\f(5,3)m-eq\f(4,3)要使A’C+B’C最短，則點(diǎn)C應(yīng)在直線A’’B’上，將點(diǎn)C(-2，0)的坐標(biāo)代入到直線A’’B’的解析式，得m=eq\f(14,5)則拋物線y=eq\f(1,2)x2向左移動(dòng)eq\f(14,5)個(gè)單位時(shí)，A’C+B’C最短拋物線的解析式為：y=eq\f(1,2)（x+eq\f(14,5)）2(2)②拋物線向左或向右平移時(shí)，使四邊形A′B′CD的周長(zhǎng)最短，因?yàn)锳’B’+CD是定值，只要使A’D+B’C最短即可當(dāng)拋物線向右移動(dòng)時(shí)，因?yàn)锳’D>AD，B’C>BC，所以A’D+B’C>AD+BC，則在不存在一個(gè)向右的位置，使四邊形A′B′CD的周長(zhǎng)最短當(dāng)拋物線向左移動(dòng)時(shí)，設(shè)A’(-4-a，8)，B’(2-a，2)，因?yàn)镃D=2，則將點(diǎn)B’向左平移2個(gè)單位得到點(diǎn)B’’(-a，2).點(diǎn)A’關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是A’’(-4-a，-8)，直線A’’B’’的解析式為：y=eq\f(5,2)x+eq\f(5,2)m+2要使A’D+B’’D最短，點(diǎn)D應(yīng)在直線A’’B’’上將點(diǎn)D(-4，0)的坐標(biāo)代入到直線A’’B’’的解析式，得m=eq\f(16,5)故將拋物線向左平移時(shí)，否存在一個(gè)位置，使四邊形A′B′CD的周長(zhǎng)最短，此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式為y=eq\f(1,2)（x+eq\f(16,5)）2提示：方法一，A′關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A〞，要使A′C+CB′最短，點(diǎn)C應(yīng)在直線A〞B′上；方法二，由（1）知，此時(shí)事實(shí)上，點(diǎn)Q移到點(diǎn)C位置，求CQ=14／5，即拋物線左移14／5單位；②設(shè)拋物線左移b個(gè)單位，則A＇（-4-b，8）、B＇（2-b，2）?！逤D=2，∴B＇左移2個(gè)單位得到B″（-b，2）位置，要使A′D+CB＇最短，只要A′D+DB″最短。則只有點(diǎn)D在直線A″B″上。(十二)立體圖形35．桌上有一個(gè)圓柱形玻璃杯（無(wú)蓋），高為12厘米，底面周長(zhǎng)18厘米，在杯口內(nèi)壁離杯口3厘米的A處有一滴蜜糖，一只小蟲(chóng)從桌上爬至杯子外壁，當(dāng)它正好爬至蜜糖相對(duì)方向離桌面3厘米的B處時(shí)，突然發(fā)現(xiàn)了蜜糖。問(wèn)小蟲(chóng)至少爬多少厘米才能到達(dá)蜜糖所在的位置。析：展開(kāi)圖如圖所示，作A點(diǎn)關(guān)于杯口的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A’。則BA’=eq\r(92+122)=15厘米36．一只螞蟻欲從圓柱形桶外的A點(diǎn)爬到桶內(nèi)的B點(diǎn)處尋找食物，已知點(diǎn)A到桶口的距離AC為12cm，點(diǎn)B到桶口的距離BD為8cm，CD的長(zhǎng)為15cm，那么螞蟻爬行的最短路程是多少？展開(kāi)圖如右圖所示，作點(diǎn)B關(guān)于CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B’，連接AB’，交CD于點(diǎn)P，則螞蟻爬行路線A→P→B為最短，且AP+PB=AB+PB’，在直角△AEB’中，AE=CD=12，EB’=ED+DB’=AC+BD=12+8=20由勾股定理知，AB’=25所以，螞蟻爬行的最短路程是25cm四.兩點(diǎn)之間線段最短型37．恩施州自然風(fēng)光無(wú)限，特別是以“雄、奇、秀、幽、險(xiǎn)”著稱(chēng)于世．著名的恩施大峽谷和世界級(jí)自然保護(hù)區(qū)星斗山位于筆直的滬渝高速公路同側(cè)，、到直線的距離分別為和，要在滬渝高速公路旁修建一服務(wù)區(qū)，向、兩景區(qū)運(yùn)送游客．小民設(shè)計(jì)了兩種方案，圖（1）是方案一的示意圖（與直線垂直，垂足為），到、的距離之和，圖（2）是方案二的示意圖（點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是，連接交直線于點(diǎn)），到、的距離之和．（1）求、，并比較它們的大??；（2）請(qǐng)你說(shuō)明的值為最??；（3）擬建的恩施到張家界高速公路與滬渝高速公路垂直，建立如圖（3）所示的直角坐標(biāo)系，到直線的距離為，請(qǐng)你在旁和旁各修建一服務(wù)區(qū)、，使、、、組成的四邊形的周長(zhǎng)最小．并求出這個(gè)最小值．提示：涉及勾股定理、點(diǎn)對(duì)稱(chēng)、設(shè)計(jì)方案。第（3）問(wèn)是“三折線”轉(zhuǎn)“直”問(wèn)題。再思考-------設(shè)計(jì)路線要根據(jù)需要設(shè)計(jì)，是P處分別往A、B兩處送呢，還是可以先送到A接著送到B。本題是對(duì)所給方案進(jìn)行分析，似乎還容易一些，若要你設(shè)計(jì)方案，還需考慮一個(gè)方案路線，P→A→B。(1)在圖(1)中過(guò)點(diǎn)A作AC⊥BQ于點(diǎn)C，則BC=BQ-CQ=40-10=30，AB=40，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，得AC=40，所以PQ=40在Rt△BPQ中，根據(jù)勾股定理，得PB=40eq\r(2)所以S1=PA+PB=10+40eq\r(2)在圖(2)中S1=A'B=PA+PB=eq\r(A'C2+BC2)=eq\r(502+402)=10eq\r(41)(2)如圖(2)在△EA'B中，有EB+EA'>A'B因?yàn)镾1=EB+EA'，S2=A'B所以S1>S2(3)如圖(3)分別作點(diǎn)A、B關(guān)于x軸、y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'，B'，連接A'B'，交x軸、y軸于點(diǎn)P、Q，則四邊形PABQ的周長(zhǎng)最小構(gòu)造如圖在Rt△A'B'C中，B'C=30+30+40=100，A'C=10+40=50所以A'B'=eq\r(1002+502)=50eq\r(5)38．如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM⑴求證：△AMB≌△ENB；⑵①當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM＋CM的值最??；②當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM＋BM＋CM的值最小，并說(shuō)明理由；⑶當(dāng)AM＋BM＋CM的最小值為eq\r(3)+1時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng).(2)①連接AC，交BD于點(diǎn)M，則AM+CM的值最小②連接CE交BD于點(diǎn)M，則AM+BM+CM的值最小∵AM=EN，BM=NM，∴AM+BM+CM=EN+NM+MC=EC根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，可知EN+NM+MC=EC最短(3)過(guò)點(diǎn)E作CB的延長(zhǎng)線的垂線，垂足為F設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2x則在直角△BEF中，∠EBF=30°，所以，EF=x，根據(jù)勾股定理：BF=eq\r(3)x在直角△CEF中，根據(jù)勾股定理：CE2=EF2+FC2得方程：eq(\r(3)+1)2=x2+(\r(3)x+2x)2解得：x=eq\f(\r(2),2)所以：2x=eq\r(2)分析：本題在最短矩離這一問(wèn)題中，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，綜合考查學(xué)生幾何、代數(shù)知識(shí)的運(yùn)用能力。整個(gè)過(guò)程充分顯示了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)新知的一般過(guò)程：認(rèn)知——論證——應(yīng)用。本題的難點(diǎn)在距離最小。第一小問(wèn)設(shè)計(jì)由簡(jiǎn)單的三角形全等的證明讓學(xué)生得出邊之間的相等關(guān)系，這里隱藏著由旋轉(zhuǎn)角60°得出的等邊三角形，從而得出BM=MN；第二小問(wèn)設(shè)計(jì)的是一個(gè)探究過(guò)程，讓學(xué)生綜合學(xué)習(xí)過(guò)的基本數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行探索，看學(xué)生對(duì)“兩點(diǎn)之間，線段最短”的掌握，要求學(xué)生具備轉(zhuǎn)化能力，建模能力等；第三小問(wèn)的設(shè)計(jì)主要是將所探究的結(jié)論進(jìn)行運(yùn)用，拓展，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想理念。整個(gè)過(guò)程體現(xiàn)了特殊問(wèn)題中的一般規(guī)律，是數(shù)學(xué)知識(shí)和問(wèn)題解決方法的一種自然回歸。是近幾年中考?jí)狠S題的基本模型。五.垂線段最短型39．如圖，在銳角△ABC中，AB=eq4\r(2)，∠BAC＝45°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M、N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是____．作點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B'，過(guò)點(diǎn)B'作B'E⊥AB于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，則線段B'E的長(zhǎng)就是BM＋ＭＮ的最小值在等腰Rt△AEB'中，根據(jù)勾股定理得到，B'E=440．如圖，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一點(diǎn)M、N，使BM+MN的值最小，則這個(gè)最小值作AB關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)線段AB'，過(guò)點(diǎn)B'作B'N⊥AB，垂足為N，交AC于點(diǎn)M，則B'N=MB'+MN=MB+MNB'N的長(zhǎng)就是MB+MN的最小值則∠B'AN=2∠BAC=60°，AB'=AB=2，∠ANB'=90°，∠B'=30°。所以AN=1在直角△AB'N中，根據(jù)勾股定理B'N=eq\r(3)41．某縣社會(huì)主義新農(nóng)村建設(shè)辦公室，為了解決該縣甲、乙兩村和一所中學(xué)長(zhǎng)期存在的飲水困難問(wèn)題，想在這三個(gè)地方的其中一處建一所供水站，由供水站直接鋪設(shè)管道到另外兩處。如圖，甲、乙兩村坐落在夾角為30°的兩條公路的AB段和CD段（村子和公路的寬均不計(jì)），點(diǎn)M表示這所中學(xué)。點(diǎn)B在點(diǎn)M的北偏西30°的3km處，點(diǎn)A在點(diǎn)M的正西方向，點(diǎn)D在點(diǎn)M的南偏西60°的eq2\r(3)km處。為使供水站鋪設(shè)到另兩處的管道長(zhǎng)度之和最短，現(xiàn)有如下三種方案：方案一：供水站建在點(diǎn)M處，請(qǐng)你求出鋪設(shè)到甲村某處和乙村某處的管道長(zhǎng)度之和的最小值；方案二：供水站建在乙村（線段CD某處），甲村要求管道鋪設(shè)到A處，請(qǐng)你在圖①中，畫(huà)出鋪設(shè)到點(diǎn)A和點(diǎn)M處的管道長(zhǎng)度之和最小的線路圖，并求其最小值；方案三：供水站建在甲村（線段AB某處），請(qǐng)你在圖②中，畫(huà)出鋪設(shè)到乙村某處和點(diǎn)M處的管道長(zhǎng)度之和最小的線路圖，并求其最小值。綜上，你認(rèn)為把供水站建在何處，所需鋪設(shè)的管道最短？方案一點(diǎn)M到甲村的最小距離是MB，MB=3，點(diǎn)M到乙村的最小距離是MD，MD=2eq\r(3)，所以，最小值是3+2eq\r(3)方案二作點(diǎn)M關(guān)于OE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M'，連接AM'，交CD于點(diǎn)P，則PA+PM=PA+PM'=AM'，AM'的長(zhǎng)就是點(diǎn)P到A點(diǎn)和M點(diǎn)的距離之和的最小值.在Rt△AMM'中，用勾股定理求得AM'=4eq\r(3)方案三作點(diǎn)M關(guān)于OF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M'，過(guò)點(diǎn)M'作M'H⊥OE于點(diǎn)H，交OF于點(diǎn)P、交AM于點(diǎn)G∵GM=3，∴HE=3，∵DE=3，∴H與D重合在Rt△HM'M中，M'H=2DH=4eq\r(3)42．已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（-4，3）、B（2，0）兩點(diǎn)，當(dāng)x=3和x=-3時(shí)，這條拋物線上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，-2）的直線l與X軸平行，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。（1）求直線AB和這條拋物線的解析式：（2）以A為圓心、AO為半徑的圓記為圓A，判斷直線l與圓A的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由（3）設(shè)直線AB上的點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為-1，P（m，n)是拋物線y=ax2+bx+c上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PDO的周長(zhǎng)最小時(shí)，求四邊形CODP的面積。(1)AB：y=eq-\f(1,2)x+1，拋物線：y=eq\f(1,4)x2-1(2)AO=5，點(diǎn)A到直線l的距離這3+2=5，所以，直線l與圓A相切(3)D(-1，eq\f(3,2))，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥l，垂足為H，延長(zhǎng)HP交x軸于點(diǎn)G，設(shè)P(m，n)，則yp=eq\f(1,4)m2-1∴OP2=OG2+GP2=m2+(eq\f(1,4)m2-1)2=(eq\f(1,4)m2+1)2，∴OP=eq\f(1,4)m2+1PH=yp–yH=eq\f(1,4)m2-1–(-2)=eq\f(1,4)m2+1∴OP=PH要使△PDO的周長(zhǎng)最小，因?yàn)镺D是定值，所以只要OP+PD最小，∵OP=PH，∴只要PH+PD最小根據(jù)“直線外一點(diǎn)到這條直線上訓(xùn)點(diǎn)的連線中，垂線段最短”，可知，當(dāng)點(diǎn)D、P、H三點(diǎn)共線時(shí)，PH+PD最小因此，當(dāng)點(diǎn)D、P、H三點(diǎn)共線時(shí)，△PDO的周長(zhǎng)最小43．如圖：在平面直角坐標(biāo)系中，已知四邊形ABCD是等腰梯形，A、B在X軸上，D在Y軸上，AB∥CD，AB=5，CD=3，AD=BC=eq\r(17)，拋物線y=-x2+bx+c過(guò)A、B兩點(diǎn)。（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)及拋物線的解析式。（2）設(shè)M是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它到x軸與y軸的距離之和為d，求d的最大值。（3）當(dāng)（2）中的M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到d取最大值時(shí)，記此時(shí)的點(diǎn)M為點(diǎn)N，設(shè)線段AC與y軸交于點(diǎn)E，F(xiàn)為線段EC上一動(dòng)點(diǎn)，求F點(diǎn)到點(diǎn)與它到y(tǒng)軸的距離之和的最小值。EQ(1)y=-x2+3x+4(2)設(shè)M(a，-a2+3a+4)，則d=a–a2+3a+4=-(a-2)2+8所以，當(dāng)a=2時(shí)，d有最大值，且最大值是8，此時(shí)M(2，6)(3)作點(diǎn)N關(guān)于直線AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N'，過(guò)點(diǎn)N'，作N'H⊥y軸于點(diǎn)H，交AC于點(diǎn)F，則F點(diǎn)到點(diǎn)N與它到y(tǒng)軸的距離之和的值最小直線AC的解析式為：y=x+1F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則縱坐標(biāo)為3，即F(2，3)而N(2，6)，所以FH=2，F(xiàn)N=3，則FN+FH=544．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-6，0)、B(6，0)、C(0，eq4\r(3))延長(zhǎng)AC到點(diǎn)D，使CD=eq\f(1,2)AC，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.（1）求D