必修四25平面向量應(yīng)用舉例演示文稿2課時(shí)

平面向量應(yīng)用舉例平面幾何中的向量方法平面幾何中的向量方法向量概念和運(yùn)算，都有明確的物理背景和幾何背景。當(dāng)向量與平面坐標(biāo)系結(jié)合以后，向量的運(yùn)算就可以完全轉(zhuǎn)化為“代數(shù)〞的計(jì)算，這就為我們解決物理問題和幾何研究帶來極大的方便。由于向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算具有鮮明的幾何背景，平面幾何的許多性質(zhì)，如平移、全等、相似、長(zhǎng)度、夾角都可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來，因此，利用向量方法可以解決平面幾何中的一些問題。問題：平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型。如圖，你能發(fā)現(xiàn)平行四邊形對(duì)角線的長(zhǎng)度與兩條鄰邊長(zhǎng)度之間的關(guān)系嗎？ABCD猜測(cè)：1.長(zhǎng)方形對(duì)角線的長(zhǎng)度與兩條鄰邊長(zhǎng)度之間有何關(guān)系？2.類比猜測(cè)，平行四邊形有相似關(guān)系嗎？例1、證明平行四邊形四邊平方和等于兩對(duì)角線平方和ABDC已知：平行四邊形ABCD。求證：解：設(shè)，則

∴〔1〕建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；常設(shè)基底向量或建立向量坐標(biāo)?！?〕通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；〔3〕把運(yùn)算結(jié)果“翻譯〞成幾何元素。用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲〞：簡(jiǎn)述：形到向量向量的運(yùn)算向量和數(shù)到形例2如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AD、

DC邊的中點(diǎn)，BE、

BF分別與AC交于R、

T兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)AR、

RT、TC之間的關(guān)系嗎？ABCDEFRT猜測(cè)：AR=RT=TC又因?yàn)楣簿€，所以設(shè)因?yàn)樗訟BCDEFRT解：設(shè)則由于與共線，故設(shè)線，故AT=RT=TCABCDEFRT練習(xí)1、證明直徑所對(duì)的圓周角是直角ABCO如圖所示，已知⊙O，AB為直徑，C為⊙O上任意一點(diǎn)。求證∠ACB=90°分析：要證∠ACB=90°，只須證向量，即。解：設(shè)則，由此可得：即，得∠ACB=90°思考：能否用向量坐標(biāo)形式證明？練習(xí)2平行四邊形ABCD中,E為AB的中點(diǎn),用向量方法,求EF:FD的值(可選為基底)ABCDEF簡(jiǎn)解:設(shè)又因?yàn)锳、F、C共線，可設(shè)由向量相等知識(shí)得所以EF：FD=1：2問題提出1.用有向線段表示向量，使得向量可以進(jìn)行線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，并具有鮮明的幾何背景，從而溝通了平面向量與平面幾何的內(nèi)在聯(lián)系，在某種條件下，平面向量與平面幾何可以相互轉(zhuǎn)化.2.平行、垂直、夾角、距離、全等、相似等，是平面幾何中常見的問題，而這些問題都可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來.因此，平面幾何中的某些問題可以用向量方法來解決，但解決問題的數(shù)學(xué)思想、方法和技能，需要我們?cè)趯?shí)踐中去探究、領(lǐng)會(huì)和總結(jié).平面幾何中探究〔一〕：推斷線段長(zhǎng)度關(guān)系思考1：如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB=2，AD=1，BD=2，那么對(duì)角線AC的長(zhǎng)是否確定？ABCD思考2：設(shè)向量a，b，則向量等于什么？向量等于什么？=a+b,=a-b思考3：AB=2，AD=1，BD=2，用向量語言怎樣表述？|a|=2，|b|=1，|a-b|=2.思考4：利用，若求需要解決什么問題？ABCDab思考5：利用|a|=2，|b|=1，|a－b|=2，如何求a·b？等于多少？思考6：根據(jù)上述思路，你能推斷平行四邊形兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度與兩條鄰邊的長(zhǎng)度之間具有什么關(guān)系嗎？平行四邊形兩條對(duì)角線長(zhǎng)的平方和等于兩條鄰邊長(zhǎng)的平方和的兩倍.思考7：如果不用向量方法，你能證明上述結(jié)論嗎？探究〔二〕：推斷直線位置關(guān)系思考1：三角形的三條高線具有什么位置關(guān)系？交于一點(diǎn)思考2：如圖，設(shè)△ABC的兩條高AD與BE相交于點(diǎn)P，要說明AB邊上的高CF經(jīng)過點(diǎn)P，你有哪些辦法？ABCDEFP證明PC⊥AB.

c·(a－b)＝0.思考3：設(shè)向量a，b，c，那么PC⊥BA可轉(zhuǎn)化為什么向量關(guān)系？ABCDEFPabc思考4：對(duì)于PA⊥BC，PB⊥AC，用向量觀點(diǎn)可分別轉(zhuǎn)化為什么結(jié)論？a·(c－b)＝0，b·(a－c)＝0.思考5：如何利用這兩個(gè)結(jié)論:a·(c－b)＝0，b·(a－c)＝0推出c·(a－b)＝0？思考6：你能用其它方法證明三角形的三條高線交于一點(diǎn)嗎？ABCDEFP探究〔三〕：計(jì)算夾角的大小思考1：如圖，在等腰△ABC中，D、E分別是兩條腰AB、AC的中點(diǎn)，若CD⊥BE，你認(rèn)為∠A的大小是否為定值？ABCDE三角形.gsp思考2：設(shè)向量a，b，可以利用哪個(gè)向量原理求∠A的大??？ABCDEab思考3：以a，b為基底，向量，如何表示？ABCDEab思考4：將CD⊥BE轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算可得什么結(jié)論？

a·b=（a2＋b2）思考5：因?yàn)椤鰽BC是等腰三角形，則|a|=|b|，結(jié)合上述結(jié)論:a·b=(a2＋b2

),cosA等于多少？ABCDEab理論遷移例1如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AD、DC的中點(diǎn)，BE、BF分別與AC相交于點(diǎn)M、N，試推斷AM、MN、NC的長(zhǎng)度具有什么關(guān)系，并證明你的結(jié)論.ABCDEFMN

結(jié)論:AM=MN=NC

三等分.gsp例2如圖，△ABC的三條高分別為AD，BE，CF，作DG⊥BE，DH⊥CF，垂足分別為G、H，試推斷EF與GH是否平行.ABCDEFPGH

結(jié)論:EF∥GH

小結(jié)作業(yè)1.用向量方法解決平面幾何問題的基本思路：幾何問題向量化向量運(yùn)算關(guān)系化向量關(guān)系幾何化.2.用向量方法研究幾何問題，需要用向量的觀點(diǎn)看問題，將幾何問題化歸為向量問題來解決.它既是一種數(shù)學(xué)思想，也是一種數(shù)學(xué)能力.其中合理設(shè)置向量，并建立向量關(guān)系，是解決問題的關(guān)鍵.迷人的流星雨你來自何方，匆匆的你又去向何方？萬有引力定律是這樣被發(fā)現(xiàn)的！生活細(xì)節(jié)馬虎不得！平面幾何中的向量方法向量概念和運(yùn)算，都有明確的物理背景和幾何背景。當(dāng)向量與平面坐標(biāo)系結(jié)合以后，向量的運(yùn)算就可以完全轉(zhuǎn)化為“代數(shù)〞的計(jì)算，這就為我們解決物理問題和幾何研究帶來極大的方便。由于向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算具有鮮明的幾何背景，平面幾何的許多性質(zhì)，如平移、全等、相似、長(zhǎng)度、夾角都可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來，因此，利用向量方法可以解決平面幾何中的一些問題。問題提出1.用向量方法解決平面幾何問題的根本思路是什么？幾何問題向量化向量運(yùn)算關(guān)系化 向量關(guān)系幾何化.2.向量概念源于物理中的矢量，物理中的力、位移、速度等都是向量，功是向量的數(shù)量積，從而使得向量與物理學(xué)建立了有機(jī)的內(nèi)在聯(lián)系，物理中具有矢量意義的問題也可以轉(zhuǎn)化為向量問題來解決.因此，在實(shí)際問題中，如何運(yùn)用向量方法分析和解決物理問題，又是一個(gè)值得探討的課題.向量在物理探究〔一〕：向量在力學(xué)中的應(yīng)用思考1：如圖，用兩條成120°角的等長(zhǎng)的繩子懸掛一個(gè)重量是10N的燈具，根據(jù)力的平衡理論，每根繩子的拉力與燈具的重力具有什么關(guān)系？每根繩子的拉力是多少？120°OCBA10N|F1|=|F2|=10NF1+F2+G=0思考2：兩個(gè)人共提一個(gè)旅行包，或在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，兩只手臂的夾角大小與所耗力氣的大小有什么關(guān)系？夾角越大越費(fèi)力.思考3：假設(shè)兩只手臂的拉力為F1、F2，物體的重力為G，那么F1、F2、G三個(gè)力之間具有什么關(guān)系？F1＋F2＋G=0.思考4：假設(shè)兩只手臂的拉力大小相等，夾角為θ，那么|F1|、|G|、θ之間的關(guān)系如何？FF1F2Gθ思考5：上述結(jié)論說明，假設(shè)重力G一定，那么拉力的大小是關(guān)于夾角θ的函數(shù).在物理學(xué)背景下，這個(gè)函數(shù)的定義域是什么？單調(diào)性如何？θ∈[0°，180°)思考6：|F1|有最大值或最小值嗎？|F1|與|G|可能相等嗎？為什么？θ∈[0°，180°)探究〔二〕：向量在運(yùn)動(dòng)學(xué)中的應(yīng)用思考1：如圖，一條河的兩岸平行，一艘船從A處出發(fā)到河對(duì)岸，已知船在靜水中的速度|v1|＝10㎞/h，水流速度|v2|＝2㎞/h，如果船垂直向?qū)Π恶側(cè)?，那么船的?shí)際速度v的大小是多少？A|v|=㎞/h.思考2：如果船沿與上游河岸成60°方向行駛，那么船的實(shí)際速度v的大小是多少？v1v2v60°|v|2＝|v1＋v2|2＝〔v1＋v2〕2＝84.思考3：船應(yīng)沿什么方向行駛，才能使航程最短？v1v2vABC與上游河岸的夾角為78.73°.思考4：如果河的寬度d＝500m，那么船行駛到對(duì)岸至少要幾分鐘？理論遷移例1一架飛機(jī)從A地向北偏西60°方向飛行1000km到達(dá)B地，然后向C地飛行，假設(shè)C地在A地的南偏西60°方向，并且A、C兩地相距2000km，求飛機(jī)從B地到C地的位移.東CBA北西南位移的方向是南偏西30°，大小是km.例2一個(gè)物體受到同一平面內(nèi)三個(gè)力F1、F2、F3的作用，沿北偏東45°方向移動(dòng)了8m，|F1|=2N，方向?yàn)楸逼珫|30°，|F2|=4N，方向?yàn)闁|偏北30°，|F3|=6N，方向?yàn)槲髌?0°，求這三個(gè)力的合力所做的功.東F1北西南F2F3W