振動力學梁的橫向振動演示文稿

振動力學梁的橫向振動演示文稿現(xiàn)在是1頁\一共有48頁\編輯于星期三（優(yōu)選）振動力學梁的橫向振動.現(xiàn)在是2頁\一共有48頁\編輯于星期三梁的橫向振動

僅討論梁在主平面內(nèi)的平面彎曲振動。這種振動只有當梁存在主平面的情形才能發(fā)生，并符合材料力學中梁彎曲的小變形假設(shè)和平面假設(shè)?，F(xiàn)在是3頁\一共有48頁\編輯于星期三1、運動微分方程

在梁的主平面上取坐標xoz，原點位于梁的左端截面的形心，x軸與梁平衡時的軸線重合。假設(shè)梁在振動過程中，軸線上任一點的位移u(x,t)均沿z軸方向?，F(xiàn)在是4頁\一共有48頁\編輯于星期三

取微段梁dx，截面上的彎矩與剪力為M和Q，其正負號的規(guī)定和材料力學一樣。

則微段梁dx沿z方向的運動方程為：現(xiàn)在是5頁\一共有48頁\編輯于星期三即利用材料力學中的關(guān)系得到梁的彎曲振動方程現(xiàn)在是6頁\一共有48頁\編輯于星期三邊界條件

和一維波動方程一樣，要使彎曲振動微分方程成為定解問題，必需給出邊界條件和初始條件。

梁的每一端必須給出兩個邊界條件(以左端為例)。（1）固定端：撓度和轉(zhuǎn)角為0，即現(xiàn)在是7頁\一共有48頁\編輯于星期三（2）簡支端：撓度和彎矩為0，即（3）自由端：彎矩和剪力為0，即其它邊界條件用類似的方法給出?，F(xiàn)在是8頁\一共有48頁\編輯于星期三2、梁彎曲自由振動的解令振動方程中的干擾力為0，得到對于均勻梁，振動方程為其中現(xiàn)在是9頁\一共有48頁\編輯于星期三假定有分離變量形式的解存在，令代入方程得到寫為現(xiàn)在是10頁\一共有48頁\編輯于星期三則有其中（稱為特征方程）現(xiàn)在是11頁\一共有48頁\編輯于星期三方程的通解為

由特征方程，利用邊界條件即可求出振型函數(shù)F(x)和頻率方程，進一步確定系統(tǒng)的固有頻率wi。用四個邊界條件只能確定四個積分常數(shù)之間的比值?，F(xiàn)在是12頁\一共有48頁\編輯于星期三【例1】求簡支梁彎曲振動的固有頻率與固有振型。代入特征方程的解以及解：邊界條件為撓度和彎矩為0。現(xiàn)在是13頁\一共有48頁\編輯于星期三得到以及則則以及頻率方程由此解得現(xiàn)在是14頁\一共有48頁\編輯于星期三所以固有頻率振型為

第i階振型有i－1個節(jié)點。節(jié)點坐標即現(xiàn)在是15頁\一共有48頁\編輯于星期三【例2】求兩端固定梁彎曲振動的固有頻率與固有振型。代入特征方程的解得到以及解：邊界條件為撓度和轉(zhuǎn)角為0，即現(xiàn)在是16頁\一共有48頁\編輯于星期三化簡后得到頻率方程求得求出b后得到固有頻率現(xiàn)在是17頁\一共有48頁\編輯于星期三振型為現(xiàn)在是18頁\一共有48頁\編輯于星期三【例3】求左端固定、右端用剛度為k的彈簧支承的

均勻梁彎曲振動的頻率方程。解：左端的邊界條件為撓度和轉(zhuǎn)角為0現(xiàn)在是19頁\一共有48頁\編輯于星期三解：左端的邊界條件為撓度和轉(zhuǎn)角為0現(xiàn)在是20頁\一共有48頁\編輯于星期三右端的邊界條件：彎矩為0，剪力等于彈性力現(xiàn)在是21頁\一共有48頁\編輯于星期三代入特征方程的解以及現(xiàn)在是22頁\一共有48頁\編輯于星期三進一步化簡后得到頻率方程求出b后得到固有頻率振型為現(xiàn)在是23頁\一共有48頁\編輯于星期三將邊界條件代入得到求得現(xiàn)在是24頁\一共有48頁\編輯于星期三討論：（1）k＝0時，頻率方程變?yōu)榧礊閼冶哿旱那闆r。（2）k趨于無窮大時，頻率方程變?yōu)榛蚣礊樽蠖斯潭ǎ叶撕喼У那闆r?，F(xiàn)在是25頁\一共有48頁\編輯于星期三【思考題】證明圖示懸臂梁在x＝l處的邊界條件為：現(xiàn)在是26頁\一共有48頁\編輯于星期三關(guān)于振型函數(shù)的正交性

和一維波動方程振型函數(shù)的正交性類似。第i階特征值滿足現(xiàn)在是27頁\一共有48頁\編輯于星期三

考慮邊界條件為簡支、自由、固定的情況，梁端點的位移、彎矩或剪力為0，則對第j階振型進行上面類似的運算得：現(xiàn)在是28頁\一共有48頁\編輯于星期三用Fj左乘上式兩端，并積分現(xiàn)在是29頁\一共有48頁\編輯于星期三上兩式相減得則i＝j(luò)時現(xiàn)在是30頁\一共有48頁\編輯于星期三梁在激勵力作用下的響應(yīng)

和一維波動方程一樣，用振型疊加法求響應(yīng)1.標準坐標（正則坐標）

對振型函數(shù)按下式條件正則化現(xiàn)在是31頁\一共有48頁\編輯于星期三2.對初始激勵的響應(yīng)

設(shè)初始條件為將其按標準振型展開現(xiàn)在是32頁\一共有48頁\編輯于星期三用rAFj左乘上兩式，并積分得標準坐標下的初始激勵響應(yīng)現(xiàn)在是33頁\一共有48頁\編輯于星期三物理坐標下的響應(yīng)現(xiàn)在是34頁\一共有48頁\編輯于星期三響應(yīng)求解步驟：（1）根據(jù)邊界條件求解固有頻率和固有振型;（2）利用標準化條件確定振型中的常數(shù)因子;（3）將初始條件變換到標準坐標;（4）求標準坐標下的響應(yīng);（5）求物理坐標下的響應(yīng)?，F(xiàn)在是35頁\一共有48頁\編輯于星期三【例4】長為l的均勻簡支梁初始靜止，設(shè)在x＝x1處的微段d上有初始速度v，求系統(tǒng)對此初始條件的響應(yīng)。

解：（1）固有頻率與相應(yīng)的固有振型為（2）由正規(guī)化條件確定系數(shù)Ci現(xiàn)在是36頁\一共有48頁\編輯于星期三求得所以（3）初始條件。按題意現(xiàn)在是37頁\一共有48頁\編輯于星期三變換到主坐標下現(xiàn)在是38頁\一共有48頁\編輯于星期三3.對外激勵的響應(yīng)（1）分布干擾力

設(shè)干擾力密度為f(x,t),和前面桿的外激勵受迫振動響應(yīng)推動方法一樣。利用標準化振型函數(shù)Fi，得到標準坐標下的解耦方程利用杜哈美積分得現(xiàn)在是39頁\一共有48頁\編輯于星期三（4）響應(yīng)總響應(yīng)為現(xiàn)在是40頁\一共有48頁\編輯于星期三（2）集中力

設(shè)在x＝x1處受集中力F(t),這時可以用函數(shù)表示為分布形式：F(x,t)dx(x-x1),方程變?yōu)榭傢憫?yīng)為現(xiàn)在是41頁\一共有48頁\編輯于星期三（3）集中力偶（不推導，只給出結(jié)果）

設(shè)在x＝x1處受集中力M(t),這時有總響應(yīng)為現(xiàn)在是42頁\一共有48頁\編輯于星期三強迫振動的響應(yīng)求解步驟：（1）根據(jù)邊界條件求解固有頻率和固有振型;（2）利用正規(guī)化條件確定振型中的常數(shù)因子;（3）求主坐標下的響應(yīng);（4）求廣義坐標下的響應(yīng)?，F(xiàn)在是43頁\一共有48頁\編輯于星期三

解：（1）固有頻率與相應(yīng)的固有振型為（2）由正規(guī)化條件確定系數(shù)Ci【例5】設(shè)長為l的簡支梁在x＝a處受集中力Fsint作用,求響應(yīng)。求得現(xiàn)在是44頁\一共有48頁\編輯于星期三（3）響應(yīng)現(xiàn)在是45頁\一共有48頁\編輯于星期三【例6】火車在很長的橋梁上通過，可以簡化為一均勻筒支梁受到以等速率v向右運動的荷重P的作用。假設(shè)在初