全國通用版講義第二章 點直線平面之間的位置關系2-3-2

平面與平面垂直的判定學習目標1.理解二面角及其平面角的概念，能確認圖形中的已知角是否為二面角的平面角.2.掌握二面角的平面角的一般作法，會求簡單的二面角的平面角.3.掌握兩個平面互相垂直的概念，能用定義和定理判定面面垂直．知識點一二面角的概念(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形．(2)相關概念：①這條直線叫做二面角的棱，②兩個半平面叫做二面角的面．(3)畫法：(4)記法：二面角α－l－β或α－AB－β或P－l－Q或P－AB－Q.(5)二面角的平面角：若有①O∈l；②OA?α，OB?β；③OA⊥l，OB⊥l，則二面角α－l－β的平面角是∠AOB.知識點二平面與平面垂直思考若直線l垂直于平面α，是否經過直線l的任意一個平面都垂直于平面α？答案是．梳理兩面垂直的定義及判定(1)平面與平面垂直①定義：一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．②畫法：③記作：α⊥β.(2)判定定理文字語言一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直圖形語言符號語言l⊥α，l?β?α⊥β1．若l⊥α，則過l有無數個平面與α垂直．(√)2．兩垂直平面的二面角的平面角大小為90°.(√)類型一證明面面垂直例1如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝eq\f(1,2)AD.(1)在平面PAD內找一點M，使得直線CM∥平面PAB，并說明理由．(2)證明：平面PAB⊥平面PBD.考點平面與平面垂直的判定題點利用判定定理證明兩平面垂直(1)解取棱AD的中點M(M∈平面PAD)，點M即為所求的一個點，理由如下：因為AD∥BC，BC＝eq\f(1,2)AD，所以BC∥AM，且BC＝AM.所以四邊形AMCB是平行四邊形，從而CM∥AB.又AB?平面PAB，CM?平面PAB，所以CM∥平面PAB.(說明：取棱PD的中點N，則所找的點可以是直線MN上任意一點)(2)證明由已知，PA⊥AB，PA⊥CD.因為AD∥BC，BC＝eq\f(1,2)AD，所以直線AB與CD相交，所以PA⊥平面ABCD.從而PA⊥BD.又BC∥MD，且BC＝MD，所以四邊形BCDM是平行四邊形，所以BM＝CD＝eq\f(1,2)AD，所以BD⊥AB.又AB∩AP＝A，AB，AP?平面PAB，所以BD⊥平面PAB.又BD?平面PBD，所以平面PAB⊥平面PBD.引申探究1．若將本例條件改為“PA垂直于矩形ABCD所在的平面”，試證明：平面PCD⊥平面PAD.證明因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，因為四邊形ABCD為矩形，所以CD⊥AD，又AD∩PA＝A，AD，PA?平面PAD，所以CD⊥平面PAD，又CD?平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD.2．若將本例條件改為“PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PB＝BC，M是PC中點”，試證明：平面MBD⊥平面PCD.證明連接AC，則BD⊥AC.由PA⊥底面ABCD，可知BD⊥PA，又AC∩PA＝A，AC，PA?平面PAC，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC，因為PB＝BC，M是PC中點，所以BM⊥PC，又BD∩BM＝B，BM，BD?平面BMD，所以PC⊥平面MBD.而PC?平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.反思與感悟證明面面垂直常用的方法(1)定義法：即說明兩個半平面所成的二面角是直二面角．(2)判定定理法：在其中一個平面內尋找一條直線與另一個平面垂直，即把問題轉化為線面垂直．(3)性質法：兩個平行平面中的一個垂直于第三個平面，則另一個也垂直于此平面．跟蹤訓練1如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側棱垂直于底面，∠ACB＝90°，AC＝eq\f(1,2)AA1，D是棱AA1的中點．證明：平面BDC1⊥平面BDC.考點平面與平面垂直的判定題點利用判定定理證明兩平面垂直證明由題設知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1.又DC1?平面ACC1A1，所以DC1⊥BC.由題設知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC.又DC1?平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC.類型二求二面角的大小例2(1)有下列結論：①兩個相交平面組成的圖形叫作二面角；②異面直線a，b分別和一個二面角的兩個面垂直，則a，b所成的角與這個二面角的平面角相等或互補；③二面角的平面角是從棱上一點出發(fā)，分別在兩個面內作射線所成的角；④二面角的大小與其平面角的頂點在棱上的位置沒有關系．其中正確的是()A．①③B．②④C．③④D．①②考點二面角題點二面角的概念答案B解析由二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫作二面角，所以①錯誤，易知②正確；③中所作的射線不一定垂直于二面角的棱，故③錯誤；由定義知④正確．故選B.(2)如圖，已知Rt△ABC，斜邊BC?α，點A?α，AO⊥α，O為垂足，∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，求二面角A－BC－O的大?。键c二面角題點求二面角的大小解如圖，在平面α內，過O作OD⊥BC，垂足為點D，連接AD，設CO＝a.∵AO⊥α，BC?α，∴AO⊥BC.又AO∩DO＝O，∴BC⊥平面AOD.而AD?平面AOD，∴BC⊥AD，∴∠ADO即為二面角A－BC－O的平面角，由AO⊥α，OB?α，OC?α，得AO⊥OB，AO⊥OC，又∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，∴AO＝a，則AC＝eq\r(2)a，AB＝2a，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∴BC＝eq\r(AC2＋AB2)＝eq\r(6)a，∴AD＝eq\f(AB·AC,BC)＝eq\f(2a·\r(2)a,\r(6)a)＝eq\f(2\r(3),3)a.在Rt△AOD中，sin∠ADO＝eq\f(AO,AD)＝eq\f(a,\f(2\r(3),3)a)＝eq\f(\r(3),2)，∴∠ADO＝60°，即二面角A－BC－O的大小為60°.反思與感悟(1)定義法：在二面角的棱上找一點，在兩個半平面內過該點分別作垂直于棱的射線．(2)垂面法：過棱上一點作與棱垂直的平面，該平面與二面角的兩個半平面形成交線，這兩條射線(交線)所成的角，即為二面角的平面角．(3)垂線法：利用線面垂直的性質來尋找二面角的平面角，這是最常用也是最有效的一種方法．跟蹤訓練2如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上的一點，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大?。键c二面角題點求二面角的大小解由已知PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB是⊙O的直徑，且點C在圓周上，∴AC⊥BC.又∵PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，∴BC⊥平面PAC.又PC?平面PAC，∴PC⊥BC.又∵BC是二面角P－BC－A的棱，∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角．由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形，∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°.1．直線l⊥平面α，l?平面β，則α與β的位置關系是()A．平行B．可能重合C．相交且垂直D．相交不垂直考點平面與平面垂直的判定題點判定兩平面垂直答案C解析由面面垂直的判定定理，得α與β垂直，故選C.2．下列命題中正確的是()A．平面α和β分別過兩條互相垂直的直線，則α⊥βB．若平面α內的一條直線垂直于平面β內的兩條平行直線，則α⊥βC．若平面α內的一條直線垂直于平面β內的兩條相交直線，則α⊥βD．若平面α內的一條直線垂直于平面β內的無數條直線，則α⊥β考點平面與平面垂直的判定題點判定兩平面垂直答案C解析當平面α和β分別過兩條互相垂直且異面的直線時，平面α和β有可能平行，故A錯；由直線與平面垂直的判定定理知，B、D錯，C正確．3．如圖所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面積是△ACD的面積的2倍，沿AD將△ABC翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此時二面角B－AD－C的大小為()A．30°B．45°C．60°D．90°考點二面角題點看圖索角答案C解析由已知BD＝2CD，翻折后，在Rt△BCD中，∠BDC＝60°，而AD⊥BD，CD⊥AD，故∠BDC是二面角B－AD－C的平面角，其大小為60°.4．如圖，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，則圖中互相垂直的平面有()A．2對B．3對C．4對D．5對考點平面與平面垂直的判定題點判定兩平面垂直答案D解析∵PA⊥平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD，又CD⊥平面PAD，AB⊥平面PAD，BC⊥平面PAB，∴平面PCD⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PAB，∴共有5對互相垂直的平面．5．如圖所示，在四棱錐S－ABCD中，底面四邊形ABCD是平行四邊形，SC⊥平面ABCD，E為SA的中點．求證：平面EBD⊥平面ABCD.考點平面與平面垂直的判定題點用定義法證明兩平面垂直證明連接AC與BD交于O點，連接OE.∵O為AC的中點，E為SA的中點，∴EO∥SC.∵SC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD.又∵EO?平面EBD，∴平面EBD⊥平面ABCD.1．求二面角大小的步驟簡稱為“一作二證三求”．2．平面與平面垂直的判定定理的應用思路(1)本質：通過直線與平面垂直來證明平面與平面垂直，即線面垂直?面面垂直．(2)證題思路：處理面面垂直問題轉化為處理線面垂直問題，進一步轉化為處理線線垂直問題來解決．一、選擇題1．下列不能確定兩個平面垂直的是()A．兩個平面相交，所成二面角是直二面角B．一個平面垂直于另一個平面內的一條直線C．一個平面經過另一個平面的一條垂線D．平面α內的直線a垂直于平面β內的直線b考點平面與平面垂直的判定題點判定兩平面垂直答案D解析如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，平面A1B1CD內的直線A1B1垂直于平面ABCD內的一條直線BC，但平面A1B1CD與平面ABCD顯然不垂直．2．已知直線m，n與平面α，β，給出下列三個結論：①若m∥α，n∥α，則m∥n；②若m∥α，n⊥α，則m⊥n；③若m⊥α，m∥β，則α⊥β.其中正確結論的個數是()A．0B．1C．2D．3考點垂直問題的綜合應用題點線線、線面、面面垂直的相互轉化答案C解析①若m∥α，n∥α，則m與n可能平行、相交或異面，故①錯誤；易知②③正確．所以正確結論的個數是2.3.如圖所示，在四面體D－ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中點，則下列命題中正確的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE考點平面與平面垂直的判定題點判定兩平面垂直答案C解析因為AB＝BC，且E是AC的中點，所以BE⊥AC.同理，DE⊥AC.又BE∩DE＝E，所以AC⊥平面BDE.因為AC?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.因為AC?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.4．過兩點與一個已知平面垂直的平面()A．有且只有一個B．有無數個C．有且只有一個或無數個D．可能不存在考點平面與平面垂直的判定題點判定兩平面垂直答案C解析若過兩點的直線與已知平面垂直時，此時過這兩點有無數個平面與已知平面垂直，若過兩點的直線與已知平面不垂直時，則有且只有一個過這兩點的平面與已知平面垂直．5．在四面體A－BCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，A－BD－C為直二面角，E是CD的中點，則∠AED等于()A．90°B．45°C．60°D．30°考點二面角題點求二面角的大小答案A解析如圖，設AB＝BC＝CD＝AD＝a，取BD中點F，連接AF，CF.由題意可得AF＝CF＝eq\f(\r(2),2)a，∠AFC＝90°.在Rt△AFC中，可得AC＝a，∴△ACD為正三角形．∵E是CD的中點，∴AE⊥CD，∴∠AED＝90°，故選A.6．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD與底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值為()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2)D.eq\r(3)考點二面角題點求二面角的大小答案C解析如圖所示，連接AC交BD于點O，連接A1O，O為BD中點，∵A1D＝A1B，∴在△A1BD中，A1O⊥BD.又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD.∴∠A1OA為二面角A1－BD－A的平面角．設AA1＝1，則AO＝eq\f(\r(2),2).∴tan∠A1OA＝eq\f(1,\f(\r(2),2))＝eq\r(2).7．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，將四邊形ADFE沿直線EF進行翻折．給出四個結論：①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面DBF⊥平面BFC；④平面DCF⊥平面BFC.在翻折的過程中，可能成立的結論是()A．①③B．②③C．②④D．③④考點平面與平面垂直的判定題點判定兩平面垂直答案B解析對于①，因為BC∥AD，AD與DF相交不垂直，所以BC與DF不垂直，故①不可能成立；對于②，如圖，設點D在平面BCF上的射影為點P，當BP⊥CF時，有BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4可使條件滿足，故②可能成立；對于③，當點P落在BF上時，DP?平面BDF，從而平面BDF⊥平面BCF，故③可能成立；對于④，因為點D的射影不可能在FC上，故④不可能成立，故選B.8．在正四面體P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，下面四個結論中不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC考點平面與平面垂直的判定題點判定兩平面垂直答案C解析如圖所示，∵BC∥DF，BC?平面PDF，DF?平面PDF，∴BC∥平面PDF，∴A正確．由BC⊥PE，BC⊥AE，PE∩AE＝E，得BC⊥平面PAE，∴DF⊥平面PAE，∴B正確．∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE)，∴D正確．二、填空題9．α，β是兩個不同的平面，m，n是平面α及β之外的兩條不同直線，給出四個論斷：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結論，寫出你認為正確的一個命題_____．考點平面與平面垂直的判定題點用定義法證明兩平面垂直答案①③④?②解析m⊥n，將m和n平移到一起，則確定一平面，∵n⊥β，m⊥α，∴該平面與平面α和平面β的交線也互相垂直，從而平面α和平面β的二面角的平面角為90°，∴α⊥β.故答案為①③④?②.10．如果規(guī)定：x＝y(tǒng)，y＝z，則x＝z，叫作x，y，z關于相等關系具有傳遞性，那么空間三個平面α，β，γ關于相交、垂直、平行這三種關系中具有傳遞性的是________．考點線、面平行、垂直的綜合應用題點平行與垂直的判定答案平行解析由平面與平面的位置關系及兩個平面平行、垂直的定義、判定定理，知平面平行具有傳遞性，相交、垂直都不具有傳遞性．11．如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當點M滿足________時，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個你認為是正確的條件即可)考點平面與平面垂直的判定題點判定兩平面垂直答案DM⊥PC(或BM⊥PC等)解析由題意得BD⊥AC，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD.又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.∴當DM⊥PC(或BM⊥PC)時，即有PC⊥平面MBD，而PC?平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.三、解答題12．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，D為棱CC1上任一點．(1)求證：直線A1B1∥平面ABD；(2)求證：平面ABD⊥平面BCC1B1.考點題點證明(1)由直三棱柱ABC－A1B1C1，得A1B1∥AB.因為A1B1?平面ABD，AB?平面ABD，所以直線A1B1∥平面ABD.(2)因為三棱柱ABC－A1B1C1為直三棱柱，所以AB⊥BB1.又因為AB⊥BC，BB1?平面BCC1B1，BC?平面BCC1B1，且BB1∩BC＝B，所以AB⊥平面BCC1B1.又因為AB?平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCC1B1.13．如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD，AC，BD交于點E，F(xiàn)是PB的中點．求證：(1)EF∥平面PCD；(2)平面PBD⊥平面PAC.考點平面與平面垂直的判定題點利用判定定理證明兩平面垂直證明(1)∵四邊形ABCD是正方形，∴E是BD的中點．又F是PB的中點，∴EF∥PD.又∵EF?平面PCD，PD?平面PCD，∴EF∥平面PCD.(2)∵四邊形ABCD是正方形，∴BD⊥AC.∵PA⊥平面ABC，BD?平面ABC，∴PA⊥BD.又PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，∴BD⊥平面PAC.又BD?平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC.四