2022-2023學(xué)年江蘇省南京市南師大附中2校高三下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（word版）

PAGEPAGE11頁南京市2校2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)的虛部等于1 2．已知，為全集的兩個(gè)不相等的非空子集，若，則下列結(jié)論中正確的是， ， ， ，3．過圓外一點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為，，則2 34．已知數(shù)列是等比數(shù)列，且公比，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 5．某學(xué)校有6個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組，每個(gè)小組都配備1位指導(dǎo)老師，現(xiàn)根據(jù)工作需要，學(xué)校準(zhǔn)備將其中4位指導(dǎo)老師由原來的小組均相應(yīng)的調(diào)整到其他興趣小組，其余的2位指導(dǎo)老師仍在原來的興趣小組（不作調(diào)整），如果調(diào)整后每個(gè)興趣小組仍配備1位指導(dǎo)老師，則不同的調(diào)整方案為135種 360種 90種 270種6．正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上，若橢圓的焦點(diǎn)在正方形的內(nèi)部，則橢圓的離心率的取值范圍是 7．已知函數(shù)圖象與函數(shù)圖象相鄰的三個(gè)交點(diǎn)依次為，，，且是銳角三角形，則的取值范圍是 8．設(shè)，則，，的大小關(guān)系為 二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．如圖，是長方體，是的中點(diǎn)，直線交平面于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是，，，四點(diǎn)共面 ，，，四點(diǎn)共面 ，，，四點(diǎn)共面 ，，三點(diǎn)共線10．定義：設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”．經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”且“拐點(diǎn)”就是三次函數(shù)圖像的對稱中心．已知函數(shù)的對稱中心為，則下列說法中正確的有， 函數(shù)既有極大值又有極小值 函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn) 過可以作三條直線與圖像相切11．設(shè)點(diǎn)是的外心，且，下列命題為真命題的是若，則 若，則 若是正三角形，則 若，，，則四邊形的面積是512．中國結(jié)是一種手工編織工藝品，因?yàn)槠渫庥^對稱精致，可以代表漢族悠久的歷史，符合中國傳統(tǒng)裝飾的習(xí)俗和審美觀念，故命名為中國結(jié)．中國結(jié)的意義在于它所顯示的情致與智慧正是漢族古老文明中的一個(gè)側(cè)面，也是數(shù)學(xué)奧秘的游戲呈現(xiàn)．它有著復(fù)雜曼妙的曲線，卻可以還原成最單純的二維線條．其中的八字結(jié)對應(yīng)著數(shù)學(xué)曲線中的雙紐線．曲線是雙紐線，則下列結(jié)論正確的是曲線的圖象關(guān)于對稱 曲線上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離都不超過3 曲線經(jīng)過7個(gè)整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)） 若直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．請將答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.13．“”是“”的條件．（請從“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中選擇一個(gè)）14．設(shè)，則．15．設(shè)函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是．16．如圖，在矩形中，，，，，分別為，，，的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，現(xiàn)將，，，分別沿，，，把這個(gè)矩形折成一個(gè)空間圖形，使與重合，與重合，重合后的點(diǎn)分別記為，，為的中點(diǎn)，則多面體的體積為；若點(diǎn)是該多面體表面上的動點(diǎn)，滿足時(shí)，點(diǎn)的軌跡長度為．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.（本小題滿分10分）如圖，在四棱錐中，平面，，．（1）證明：平面；（2）若是的中點(diǎn)，，．求直線與平面所成角的正弦值．18．（本小題滿分12分）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，，對任意的自然數(shù)，恒有.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若集合，，，，將集合中的所有元素按從小到大的順序排列構(gòu)成數(shù)列，計(jì)數(shù)列的前項(xiàng)和為．求的值．19．（本小題滿分12分）在凸四邊形中，，，，．（1）若，求；（2）若的角平分線交對角線于點(diǎn)，求的最大值．20．（本小題滿分12分）某學(xué)校為了了解高一學(xué)生安全知識水平，對高一年級學(xué)生進(jìn)行“消防安全知識測試”，并且規(guī)定“體能達(dá)標(biāo)”預(yù)測成績小于60分的為“不合格”，否則為“合格”．若該校“不合格”的人數(shù)不超過總?cè)藬?shù)的，則該年級知識達(dá)標(biāo)為“合格”；否則該年級知識達(dá)標(biāo)為“不合格”，需要重新對該年級學(xué)生進(jìn)行消防安全培訓(xùn)．現(xiàn)從全體高一學(xué)生中隨機(jī)抽取10名，并將這10名學(xué)生隨機(jī)分為甲、乙兩個(gè)組，其中甲組有6名學(xué)生，乙組有4名學(xué)生．甲組的平均成績?yōu)?0，標(biāo)準(zhǔn)差為4；乙組的平均成績?yōu)?0，標(biāo)準(zhǔn)差為6（題中所有數(shù)據(jù)的最后結(jié)果都精確到整數(shù)）．（1）求這10名學(xué)生測試成績的平均分和標(biāo)準(zhǔn)差；（2）假設(shè)高一學(xué)生的知識測試成績服從正態(tài)分布．將上述10名學(xué)生的成績作為樣品，用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值．利用估計(jì)值估計(jì)：高一學(xué)生知識達(dá)標(biāo)是否“合格”？（3）已知知識測試中的多項(xiàng)選擇題中，有4個(gè)選項(xiàng)．小明知道每道多項(xiàng)選擇題均有兩個(gè)或三個(gè)正確選項(xiàng)．但根據(jù)得分規(guī)則：全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．這樣，小明在做多項(xiàng)選擇題時(shí)，可能選擇一個(gè)選項(xiàng)，也可能選擇兩個(gè)或三個(gè)選項(xiàng)，但不會選擇四個(gè)選項(xiàng)．假設(shè)小明在做該道多項(xiàng)選擇題時(shí)，基于已有的解題經(jīng)驗(yàn)，他選擇一個(gè)選項(xiàng)的概率為，選擇兩個(gè)選項(xiàng)的概率為，選擇三個(gè)選項(xiàng)的概率為．已知該道多項(xiàng)選擇題只有兩個(gè)正確選項(xiàng)，小明完全不知道四個(gè)選項(xiàng)的正誤，只好根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)隨機(jī)選擇．記表示小明做完該道多項(xiàng)選擇題后所得的分?jǐn)?shù)．求的分布列及數(shù)學(xué)期望．附：①個(gè)數(shù)的方差；②若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．21．（本小題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的離心率為.斜率為的直線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)是直線與雙曲線的交點(diǎn)，且.（1）求雙曲線的方程；（2）若經(jīng)過定點(diǎn)的直線與雙曲線相交于、兩點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)斜率為的直線與直線的交點(diǎn)為，求證：直線經(jīng)過軸上的定點(diǎn).22．（本小題滿分12分）已知函數(shù)和函數(shù)有相同的最小值.（1）求的值；（2）設(shè)集合，(為常數(shù)).①證明：存在實(shí)數(shù)，使得集合中有且僅有3個(gè)元素；②設(shè)，，求證：.

南京市2校2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)的虛部等于1 【答案】．2．已知，為全集的兩個(gè)不相等的非空子集，若，則下列結(jié)論中正確的是， ， ， ，【答案】．3．過圓外一點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為，，則2 3【答案】．4．已知數(shù)列是等比數(shù)列，且公比，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（） 【答案】．5．某學(xué)校有6個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組，每個(gè)小組都配備1位指導(dǎo)老師，現(xiàn)根據(jù)工作需要，學(xué)校準(zhǔn)備將其中4位指導(dǎo)老師由原來的小組均相應(yīng)的調(diào)整到其他興趣小組，其余的2位指導(dǎo)老師仍在原來的興趣小組（不作調(diào)整），如果調(diào)整后每個(gè)興趣小組仍配備1位指導(dǎo)老師，則不同的調(diào)整方案為135種 360種 90種 270種【答案】．6．正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上，若橢圓的焦點(diǎn)在正方形的內(nèi)部，則橢圓的離心率的取值范圍是 【答案】．7．已知函數(shù)圖象與函數(shù)圖象相鄰的三個(gè)交點(diǎn)依次為，，，且是銳角三角形，則的取值范圍是 【答案】．8．設(shè)，則，，的大小關(guān)系為 【答案】．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．如圖，是長方體，是的中點(diǎn)，直線交平面于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是，，，四點(diǎn)共面 ，，，四點(diǎn)共面 ，，，四點(diǎn)共面 ，，三點(diǎn)共線【答案】．10．定義：設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”．經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”且“拐點(diǎn)”就是三次函數(shù)圖像的對稱中心．已知函數(shù)的對稱中心為，則下列說法中正確的有， 函數(shù)既有極大值又有極小值 函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn) 過可以作三條直線與圖像相切【答案】．11．設(shè)點(diǎn)是的外心，且，下列命題為真命題的是若，則 若，則 若是正三角形，則 若，，，則四邊形的面積是5【答案】．12．中國結(jié)是一種手工編織工藝品，因?yàn)槠渫庥^對稱精致，可以代表漢族悠久的歷史，符合中國傳統(tǒng)裝飾的習(xí)俗和審美觀念，故命名為中國結(jié)．中國結(jié)的意義在于它所顯示的情致與智慧正是漢族古老文明中的一個(gè)側(cè)面，也是數(shù)學(xué)奧秘的游戲呈現(xiàn)．它有著復(fù)雜曼妙的曲線，卻可以還原成最單純的二維線條．其中的八字結(jié)對應(yīng)著數(shù)學(xué)曲線中的雙紐線．曲線是雙紐線，則下列結(jié)論正確的是曲線的圖象關(guān)于對稱 曲線上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離都不超過3 曲線經(jīng)過7個(gè)整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)） 若直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為【答案】．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．請將答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.13．“”是“”的條件．（請從“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中選擇一個(gè)）【答案】充分不必要．14．設(shè)，則．【答案】．15．設(shè)函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是．【答案】．16．如圖，在矩形中，，，，，分別為，，，的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，現(xiàn)將，，，分別沿，，，把這個(gè)矩形折成一個(gè)空間圖形，使與重合，與重合，重合后的點(diǎn)分別記為，，為的中點(diǎn)，則多面體的體積為；若點(diǎn)是該多面體表面上的動點(diǎn)，滿足時(shí)，點(diǎn)的軌跡長度為．【答案】；．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.（本小題滿分10分）如圖，在四棱錐中，平面，，．（1）證明：平面；（2）若是的中點(diǎn)，，．求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）見解析；（2）．【解析】解：（1）證明：平面，又平面，，又，，且，平面，平面，又平面，，又，且，平面；（2）根據(jù)（1）可知，，兩兩相互垂直，分別以，，所在直線為軸，軸，軸，建系如圖，則根據(jù)題意可得：，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，直線與平面所成角的正弦值為：．18．（本小題滿分12分）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，，對任意的自然數(shù)，恒有.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若集合，，，，將集合中的所有元素按從小到大的順序排列構(gòu)成數(shù)列，計(jì)數(shù)列的前項(xiàng)和為．求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】解：（1），對任意的自然數(shù)，恒有，可得時(shí)，，解得；時(shí)，，解得；時(shí)，，解得．當(dāng)時(shí)，變?yōu)?，兩式相減可得，當(dāng)時(shí)，上式變?yōu)?，上面兩式相減可得，且，所以數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為4的等差數(shù)列，可得；（2）集合，，，，集合中的所有元素的最小值為3，且3，27，243三個(gè)元素是中前102項(xiàng)中的元素，且是中的元素，所以．19．（本小題滿分12分）在凸四邊形中，，，，．（1）若，求；（2）若的角平分線交對角線于點(diǎn)，求的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）連接，中，，，，，所以，，所以，中，；.（2）中，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，，，，，，，令，，的最大值為.20．（本小題滿分12分）某學(xué)校為了了解高一學(xué)生安全知識水平，對高一年級學(xué)生進(jìn)行“消防安全知識測試”，并且規(guī)定“體能達(dá)標(biāo)”預(yù)測成績小于60分的為“不合格”，否則為“合格”．若該校“不合格”的人數(shù)不超過總?cè)藬?shù)的，則該年級知識達(dá)標(biāo)為“合格”；否則該年級知識達(dá)標(biāo)為“不合格”，需要重新對該年級學(xué)生進(jìn)行消防安全培訓(xùn)．現(xiàn)從全體高一學(xué)生中隨機(jī)抽取10名，并將這10名學(xué)生隨機(jī)分為甲、乙兩個(gè)組，其中甲組有6名學(xué)生，乙組有4名學(xué)生．甲組的平均成績?yōu)?0，標(biāo)準(zhǔn)差為4；乙組的平均成績?yōu)?0，標(biāo)準(zhǔn)差為6（題中所有數(shù)據(jù)的最后結(jié)果都精確到整數(shù)）．（1）求這10名學(xué)生測試成績的平均分和標(biāo)準(zhǔn)差；（2）假設(shè)高一學(xué)生的知識測試成績服從正態(tài)分布．將上述10名學(xué)生的成績作為樣品，用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值．利用估計(jì)值估計(jì)：高一學(xué)生知識達(dá)標(biāo)是否“合格”？（3）已知知識測試中的多項(xiàng)選擇題中，有4個(gè)選項(xiàng)．小明知道每道多項(xiàng)選擇題均有兩個(gè)或三個(gè)正確選項(xiàng)．但根據(jù)得分規(guī)則：全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．這樣，小明在做多項(xiàng)選擇題時(shí)，可能選擇一個(gè)選項(xiàng)，也可能選擇兩個(gè)或三個(gè)選項(xiàng)，但不會選擇四個(gè)選項(xiàng)．假設(shè)小明在做該道多項(xiàng)選擇題時(shí)，基于已有的解題經(jīng)驗(yàn)，他選擇一個(gè)選項(xiàng)的概率為，選擇兩個(gè)選項(xiàng)的概率為，選擇三個(gè)選項(xiàng)的概率為．已知該道多項(xiàng)選擇題只有兩個(gè)正確選項(xiàng)，小明完全不知道四個(gè)選項(xiàng)的正誤，只好根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)隨機(jī)選擇．記表示小明做完該道多項(xiàng)選擇題后所得的分?jǐn)?shù)．求的分布列及數(shù)學(xué)期望．附：①個(gè)數(shù)的方差；②若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．【答案】（1）；；（2）能；（3）分布列見解析；．【解析】解：（1），，解得，，解得，這40名學(xué)生的方差為，．（2）由，，得的估計(jì)值，的估計(jì)值，，，從而高三年級1000名學(xué)生中，不合格的有（人），又，所以高三年級學(xué)生體能達(dá)標(biāo)為“合格”．（3）由題意得，的可能取值為0，2，5，，，，的分布列為025．21．（本小題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的離心率為.斜率為的直線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)是直線與雙曲線的交點(diǎn)，且.（1）求雙曲線的方程；（2）若經(jīng)過定點(diǎn)的直線與雙曲線相交于、兩點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)斜率為的直線與直線的交點(diǎn)為，求證：直線經(jīng)過軸上的定點(diǎn).【答案】（1）；（2）定點(diǎn)．【解析】（1），，又直線經(jīng)過點(diǎn)，，又，或，又，，，.（2）設(shè)，，，解得，，，，令，，，.①聯(lián)立，，，，代入化簡得到，故過定點(diǎn).22．（本小題滿分12分）已知函數(shù)和函數(shù)有相同的