周概容版概率課后習題答案

習題1隨機事件及其概率

習題解答

(A)

1.6假設(shè)一批100件商品中有.4件不合格品.抽樣驗收時從中隨機抽取4件，假如都為合格品，則接收

這批產(chǎn)品，否則拒收，求這批產(chǎn)品被拒收的概率p.

解以-表示隨意抽取的4件中不合格品的件數(shù)，則

p=P｛v>1｝=1-P｛v=0｝

C4

=1一一咨n1—0.8472=0.1528.

4

1.7從0,1,2,…JO等11個數(shù)中隨機取出三個，求下列事件的概率：A[=｛三個數(shù)最大的是5｝；A?：｛三個

數(shù)大于、等于和小于5的各一個｝;4=｛三個數(shù)兩個大于5,一個小于7｝.

解從11個數(shù)中隨機取出三個，總共有=165種不同取法，即總共有個基本事件，其中有利于4

的取法有C；=10種(三個數(shù)最大的是5,在小于5的5個數(shù)中隨意取兩個有C；=10種不同取法)；

有利于占的取法有5x5=20種(在小于5的5個數(shù)中隨意取一個，在大于5的5個數(shù)中隨意取一個，有

5x5=25種不同取法)；

有利于A3的取法有5*C；=70種(在小于5的5個數(shù)中隨意取一個，在大于5的5個數(shù)中隨意取兩個).于

是，最后得

io2550

P(AJ=—=0.06,P(A)=—=0.15,P(A)=—=0.30,

165165165

1.10從0,1,…,9中，隨意取4個數(shù)字(允許重復)排成一列，結(jié)果恰好形成一個四位數(shù).求下列事件的概

率：4=｛4個數(shù)字兩兩不等｝;A?=｛此數(shù)是奇數(shù)｝;43=｛6至少出現(xiàn)一次｝;A,=｛6恰好出現(xiàn)一次｝.

解考慮自總體A=｛0,1「“,9｝的〃=4次放回抽樣.基本事件的總數(shù)"=9x10'=9000：第?位數(shù)字(不

為0)有9種選擇，其余三位數(shù)字共有1()3種選擇.分別以N*(k=l,2,…表示人所含基本事件的個數(shù).

(1)M=9x9x8x7=4536；

(2)-2=9x102x5=4500：第一位數(shù)字有9和I最后一位數(shù)字有5種、中間兩位數(shù)字共有0種選擇;

(3)=9x1O'-8x9、=3168,即基本事件的總數(shù)N減去的對立事件A=｛6不出現(xiàn)｝所含基本事

件的個數(shù)；

(4)N4=干+3x8x9?=2673：只有第一位數(shù)是6的共有9?種情形，6只出現(xiàn)在第2,3或4位數(shù)上的情

形各有8x92種；

于是，所求概率為

N

P(AJ=轉(zhuǎn)=0.504；44)=~N=0.500；

P(4)=牛=0.352；限)=%0.297.

N

1.13假設(shè)電話號碼為八位數(shù)(第一位數(shù)不為0),求事件4=｛電話號碼中不含0或9｝和&=｛電話號碼中

含0不含9｝的概率.

解引進事件：綜=｛電話號碼中不含0｝,殳=｛電話號碼中不含9｝,4=綜+89=｛電話號碼中不含0

或9｝,A2=B9-Bo=B9-B0B9.易見

98297g8

P(B0)=-----7,P(BXJ=-----P(BB)=----------

°9xl079xl07099xl07

(1)由加法公式，可見

P⑷=P(B0+BJ=P(B0)+P(BJ-P(B0B9)

(2)山減法公式，可見

7

QxQ

P(4)=P(旦_3°5)=P(穌)一2品穌7ao.2387.

1.15已知概率P(A)=p,尸(8)=%尸(A8)=r.分別求下列各事件的概率：A+B,AB,X+F,

而,4(4+8).

解由事件運算的性質(zhì)，易見

P(A+B)=i-P(AB)=l-rfP(AB)=l-P(AB)=l-r,

P(AB)=1-P(A+B)=1-[P(A)+P(B)-P(AB)]=1-[p+-4

P(A+B)=l-P(A+B)=l-[p+(7-r],

P(A[A+B])=P(A+AB)=P(A)=p.

1.18假設(shè)箱中有一個球，只知道不是白球就是紅球.現(xiàn)在將一個白球放進箱中，然后從箱中隨機取出一

個球，結(jié)果是白球.求箱中原來是白球的概率a.

解引進事件：A=｛取出的是白球｝,%=｛箱中原來是白球｝,“2=｛箱中原來是紅球｝,則，42構(gòu)成

完全事件組，并且尸(用)=尸(42)=06.由條件知

P(A\Hl)=\,P(A\H2)=0.5.

由貝葉斯公式，有

P(〃J尸(A|”J2

a=P(HJA)=

P(Hl)P(A\Hl)+P(H2)P(A\H2)3

1.19在無線電通信中接連不斷地發(fā)送信號0和1,其中。占60%,而1占40%.由于存在干擾，發(fā)送信號

0時接收信號可能是0，1和X(模糊信號)，概率相應為0.70,0.10和0.20；發(fā)送信號1時接收信號也可能

是0,1和x,概率相應為0.85,0.05和0.10.間接收到模糊信號x時最好譯成。還是1?

解引進事件：“0={發(fā)送信號是0},/={發(fā)送信號是1},4={接收信號為A}(k=0,1/),則

產(chǎn)(“0)=0.6,P(H1)=0.4；

P(Ao\Ho)=O.7O,P(4|/)=0.10,P(4|%)=0.20；

P(.IM)=0.05,P(A|HI)=0.85,P(AJH1)=O.1O.

由貝葉斯公式，有

P(H1A,)=----------.....................=0.75；

0P(H0)P(A//)+P(a)P(A"HJ

P陽⑷=1-P("o⑷=0.25..

計算結(jié)果表明，在接收到模糊信號x時譯成0比譯成1為好.

1.21假設(shè)一廠家生產(chǎn)的每臺儀器，以概率0.7可以直接出廠；以概率0.30需進一步進行調(diào)試，經(jīng)調(diào)試以

概率0.90可以出廠.，以概率0.10定為不合格品不能出廠.現(xiàn)在該廠在生產(chǎn)條件穩(wěn)定的情況下，新生產(chǎn)了20臺儀

器.求最后20臺儀器

(1)都能出廠的概率二；

(2)至少兩臺不能出廠的概率尸.

解這里認為儀器的質(zhì)量狀況是相互獨立的.設(shè)/=｛儀器需要調(diào)試｝,"2=｛儀器不需要調(diào)試｝，4=｛儀器

可以出廠｝.由條件知

P(”J=0.30,P(也)=0.70,

P(A|"J=0.80,P(A\H2)=1.

(1)10臺儀器都能出廠的概率

%=P(A)=尸(凡)尸(A陽)+P(H2)P(A\H2)

=0.30x0.80+0.70=0.94；

。=靖=0.94晨0.5386.

(2)記口——10分中不能出廠的臺數(shù)，即10次伯努利試驗“成功(不能出廠)”的次數(shù).由⑴知成功的概率為

p=0.06.易見，10臺中至少兩臺不能出廠的概率

P=P｛v>2｝=\-P｛v=0｝-P[v=1｝

=1-O.9410-10x0.94°x0.06=0.1175.

1.23設(shè)A,B是任意二事件，證明：

(1)若事件A和8獨立且Au8,則P(A)=O或P(8)=l；

(2)若事件A和B獨立且不相容，則A和5中必有一個是0概率事件.

證明(1)由于AuB,可見

P(AB)=P(A)P(B),P(AB)=P(4),P(A)=P(A)P(B).

因此，若P(A)HO,則尸(8)=1；若尸(8)*0,P(A)=O.

(2)對于事件A和8,由于它們相互獨立而且不相容，可見

P(A)P(B)=P(AB)=O,

因此，概率P(A)和尸(8)至少有一個等于0.

(B)

一、單項選擇題

1.25甲、乙兩個籃球隊進行比賽，假設(shè)有三種可能的結(jié)局：甲勝，乙勝與平局，考慮事件A=｛甲勝乙負｝,

貝氏

(A)用=｛甲負而乙勝｝.(B)｛甲和乙平局｝.

(C)4=｛甲勝或平局｝.(D)坊=｛乙勝或平局｝.[]

分析應填(D).把“甲、乙兩個籃球隊比賽”視為隨機試驗E,其基本事件空間為a=｛q,用,電｝,其中

a=｛甲勝｝,叫=｛乙勝｝,例=｛平局｝.

事件A=｛甲勝乙負｝=｛四｝,因此?=｛牡丹｝,即彳表示“生=｛乙勝或平局｝”.于是(D)為正確選項.

說明題中事件B3,B&可以通過基本事件分別表示為：

B[=｛a>2｝,B2=｛<y3｝,B,=｛/網(wǎng)｝，.=｛4?｝?

1.26設(shè)4,8,C是任意事件，滿足A6uC,則

(A)AuC且BuC.(B)A+B^C.

(C)AuC或BuC.(D)A+BciC.[]

分析(1)直選法因為根據(jù)條件45uC.所以山事件運算的對偶律，可見

A+B=ABC,

于是(B)是正確選項.

(2)排除法為說明選項(A),(C),(D)不成立，只需分別舉出反例.例如，設(shè)AuC,B=C,則

A=ABuC,但是AuC且從而選項(A)錯誤；

假設(shè)隨機變量X在[-2,2]上均勻分布，引進事件

>4=｛-2<X<0｝,B=｛-2<X<1｝,

則顯然43=AuC,但是4uC,BnC,因此選項(C)不成立；

最后，對于選項(C),若ABuA+BuC,則根據(jù)對偶律了工Zn｝,從而(D)也是錯誤選項.

于是，只有(B)是正確選項.

1.27設(shè)A,6是任意二事件，則下列各選項中錯誤的選項是

(A)若A8=0,則不,B可能不相容.(B)若AB#0,則彳,B也可能相容.

(C)若4?=0,則彳,6也可能相容.(D)若ABH0,則彳,8一定不相容.[]

分析應該選(D).宜采用直選法確定符合題目要求的選項；如果用排除法，則需要對其中三個選項分別

舉出反例.

(1)直選法對于選項(D)容易舉出反例.設(shè)AH0,占H0,A=與，則彳=8.故A方=^=A*0.然

而彳,B顯然相容：AB=B^0,因此產(chǎn)生矛盾，故(D)確實是題目所指的錯誤選項，從而應該選(D).

(2)排除法只需舉例說明(A),(B),(C)可能成立，即不符合題意的錯誤選項.例如，若A和B互為對立事

件，即8=兄，則48=0,且也互為對立事件，因此彳和目不相容，故選項(A)成立；

設(shè)A8W0且A+8W0,那么假如耳不相容：AB=0,則

A+B=AB=0=f2,

而這與A+8W0矛盾，可見屋方也相容，從而選項(B)成立；

設(shè)A,8不相容A8=0但A+巨力。，那么若彳,8不相容囚8=0,則A+豆=蒜=0,這與

A+8H0矛盾，可見才,8也相容，從而選項(C)成立.

于是，(D)符合題意的要求的正確選項.

1.28對于任意三事件A,8,C,下列各等式正確的是

(A)AB=A+B.(B)A+B=A+AB.

(C)(A+6)—A=8.(D)A+5C^AC+BC.[]

分析應該選(B).該題采用直選法比較簡便.

(1)直選法由事件的運算和性質(zhì)，可見

A+B=A+(B-AB)=A+(n-A)B=A+AB.

于是(B)是正確選項.

(2)排除法對于選項(A),

因此選項(A)錯誤；

對于選項(C),事件(A+8)-A顯然等價于事件“8出現(xiàn)但是A不出現(xiàn)“，即8—A=8—A8,因而(只

要A3不是不可能事件)選項(CJ?般不成立；

最后，對于選項(D),因為事件運算的對偶律，知

A+BC^ABC.

所以選項(D)一般不成立.于是，只有(B)是正確選項.

1.29設(shè)A,8和C是任意三事件，則下列選項中正確選項是

(A)若A+C=8+C,則A=8；(B)若A—C=8—C,則A=8.

(C)若彳C=BC,則X=B；(D)若48=無7=0,則才=8.[]

分析應該選(D).該題宜用直選法，因為直觀上選項(A),(B),(C)明顯不成立.

(1)直選法由事件運算的對偶律，可見

AB—A+B=0—.

而由A+B=0且AB=0,可見A和B互為對立事件，即彳=8.于是，(D)是正確選項.

(2)排除法為說明前三個選項都不成立，只需分別舉出反例.由于是二任意事件，例如，設(shè)

A^B,而C=Q是必然事件，則

A+C=8+C=。，A-C=B-C=0,

但是AW8,從而命題(A)和(B)不成立；設(shè)A#8,C=0,則AC=8C但AwB,從而命題(C)不成立.于

是，(D)是正確選項.

說明該題的結(jié)果反映了事件的運算與數(shù)的運算的不同之處.

1.30對于任意事件A,B,C,若A+BnC,則

(A)A+BC.(B)ABC.

(C)A+B^C.(D)AB^C.[]

分析應該選(C).本題采用直選法比較簡便.

(1)直選法因為，由A+8nC,可見A+8U3,所以(C)是正確選項.

(2)排除法容易證明選項(A),(B)和(D)不成立.事實上，設(shè)A=8,由條件才=A+8nC,知

A+B=AoC,AB=A+B=AaC,

因此，選項(A)和(D)都不成立；其次由條件A+B=)C,可見

ABA+B,

所以選項(B)不成立.于是，(C)是正確選項.

說明該題可以用概率的語言表述為：對于任意事件A,8,C,若A+則

(A)P(A+B)>P(C).(B)P(AB)>P(C).

(C)P{A+B)<P(C).(D)P(AB)<P(C).[]

那么，利用上面的分析容易看到選項(C)正確.

習題二隨機變量及其概率分布

(A)

2.3已知隨機變量X的分布函數(shù)為

0,若x<-1,

F(x)=<a+barcsinx,若一1?x<1,

1,若x>1>.

(1)當〃力取何值時，尸(幻為連續(xù)函數(shù)；

(2)當F(x)連續(xù)時，求尸{|X|<l/2}.

解(1)由于分布函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)，可見1)=0,F(l)=l；因此，將-1和1代入產(chǎn)(工)，得常數(shù)

和b的方程組

冗冗

0=F(—1)—a--^b,1=/(1)=Q+萬/?,

解得〃=1/2,/?=1/兀.因U七

0,若x<-1,

F(x)=<—+—arcsinx,若-

2兀

1,若x>1>.

(2)由于分布函數(shù)尸(x)是連續(xù)函數(shù)，可見

^.iarcsmi-l-larcsmZl^xlarcsini^,

27122兀2兀23

2.6求常數(shù)C,假設(shè)隨機變量X的概率分布為

C

P{X=Z}=L=1,2,???

解由無限等比級數(shù)的求和公式，有

eecC1/2

1=/P{X=k}=——=Cx—:—'—,C=l.

白白2?1-1/2

2.7將一顆色子擲兩次，以X表示兩次擲出的最小點數(shù)，求X的概率分布.

解將一顆色子擲兩次，有36個等可能基本事件：/2={0力",j=l,2,…,6},X有1,2,…,6個可能值.在

36個基本事件中，有利于{X=l}的11個：(1,1),。,2),…,(1,6),(2,1),(3,1),…,(6,1)；有利于{X=2}的9個：

(2,2),(2,3),…,(2,6),(3,2),(4,2),…,(6,2),…有利于{X=6}只有1個：(6,6).由此易見X的概率分布為:

'123456、

X?1197531?

<363636363636>

2.8口袋中有7個白球，3個黑球，每次從中任取一球且不再放回.

(1)求4次抽球出現(xiàn)黑球次數(shù)X的概率分布；

(2)抽球直到首次出現(xiàn)白球為止，求抽球次數(shù)y的概率分布.

解⑴隨機變量X有0,1,2,3等4個可能值，若以W和B分別表示白球和黑球，則試驗“4次抽球”相當

于“含7個W和3個B”的總體的4次不放回抽樣，其基本事件總數(shù)為C：。=210,其中有利于{X=k}

(氏=0,1,2,3)的基本事件個數(shù)為：C：C；人,因此

「上「￡一

34

P[X=k}=；(%=0,1,2,3),

或

(0123、9123、

X?35105637=\_j_31

<2102102W210><62To30>

(2)隨機變量y顯然有1,2,3,4等4個可能值；以W*和B”分別表示第%(k=1,2,3,4)次抽到白球和黑球，則

“不放回抽球直到首次出現(xiàn)白球為止”相當于“自含7個白球3個黑球的總體的4次不放回抽樣”，其基本事件

總數(shù)P：=10x9x8x7=120.易見

3x728

P{Y=2}=

10x9120

3x2x773x2xlx71

P{Y=3}=P{Y=4}=

10x9x812010x9x8x7no

ri234、

y?842871

<120120T20120>

2.11設(shè)X服從泊松分布，且已知P{X=l}=P{X=2}f求P{X=4}.

解以X表示隨意抽取的一頁上印刷錯誤的個數(shù)，以招伙=1,2,3,4)表示隨意抽取的第k頁上印刷錯誤的

個數(shù)，由條件知X和=1,2,3,4)服從同一泊松分布，未知分布參數(shù)幾決定于條件：

P{X=1}=尸{X=2},/16々=于6一”.

于是2=2.由于隨機變量X?(k=1,2,3,4)顯然相互獨立，因此

P{X1=O,X2=0,X3=0,X4=0}

=P{Xt=0}P{X2=0}P{X3=0}P{X4=0}

=仔)4=6一屋0.0003.

2.14設(shè)隨機變量X服從區(qū)間［2,5］上的均勻分布，求對X進行3次獨立觀測中，至少有2次的觀測值大于

3的概率a.

解法1易見，事件A={X>3}的概率

P(A)=P{X>3}=f1dx=g.

設(shè)A={X?>3},則由條件知A1，4,4相互獨立且尸(A?)=2/3(l,2,3).若事件8={對X的3次獨立觀測中至

少兩次的觀測值大于3},則豆={對X的3次獨立觀測中，觀測值都不大于3或恰好一次大于3}；那么

B=AA2A+AAA+4A2&+4人&；

a=P(B)=\-P(B)

=i-［p(AAA)+P(AW4)+p(AaA)+P(AM)］

16,720

=1----H-----=1------=—

27272727

解法2設(shè)丫3次獨立試驗事件4=9>3}出現(xiàn)的次數(shù)，則丫服從參數(shù)為(3,p)的二項分布，其中

0=2/3.因此

a=P(B)=P{Y=2}+P{Y=3}

4820

=3p“l(fā)—p)+p3=一+—=—

92727

2.22設(shè)隨機變量X服從［-1,2］上的均勻分布,求隨機變量y的分布律，其中

若<0

-1,

若

OL,-

y=<若

0,。

>

解由于x服從［-1,2］上的均勻分布，知隨機變量丫的概率分布為

P{Y=-1)=P{X<0}=P{-1<X<0}=I，P{Y=0}=P［X=0}=0,

P{y=1}=P{X>0}=P{0<X<2}=|；

'tr

y?i2?

<33>

2.24對圓片的直徑進行測量，測量值R在［5,6］上均勻分布，求圓面積S的密度函數(shù)g(s).

解圓面積S是直徑測量值R的話是的函數(shù)：由于R在［5,6］上取值，而在［5,6］之外R=0,因此直徑為R

圓面積表示為

-7i/?2,若RE[5,6],

s=<4

0,若Ae[5,6].

易見圓面積S的值屬于區(qū)間［6.25兀,9兀I，其分布函數(shù)為

G(S)=P{S4S}=P{；TTR24s}=P‘R<用產(chǎn)

由于圓面積S的值屬于區(qū)間［6.25兀,9兀］,可見對于sc［6.25兀,9兀］,有

g(s)=《G(s)=1l~ji~4_1

as2V4?7iVirs)

于是，圓面積S的密度函數(shù)為

}—,若6.25兀($《9兀,

g(S)=,V71S

0,若不然.

2.26設(shè)電流強度/是一隨機變量，在9A?11A之間均勻分布；已知此電流通過2。的電阻時消耗的功率為

卬=2八，求卬的概率密度.

解電流/在區(qū)間(9,11)上均勻分布，其概率密度為

/W=|r若一刊)，

0,若x任(9,11).

由于y=2/(9<x<11)是單調(diào)連續(xù)函數(shù)，它有唯一反函數(shù)：

l~ydr1

X=V7石=礪；

當9〈/<11時，162<W<242,因此函數(shù)y=2x2(9<》<11)的值域為(162,242).于是，由隨機變量的函

數(shù)的概率密度公式(2.8),功率卬=2/的概率密度為

,若ye(162,242),

g(y)=,

0,若"(162,242).

(B)

一、單項選擇題

2.27設(shè)/(x)是連續(xù)型隨機變量X的概率密度，則/")一定是

(A)可積函數(shù).(B)連續(xù)函數(shù).

(C)可導函數(shù).(D)0<f(x)<l.［］

分析應該選(A).因為正確選項比較明顯，故宜用直選法.

(1)直選法由于概率密度都是可積函數(shù)，故(A)是正確選項.

(2)排除法為說明選項(B)(C)(D)都是應排除的錯誤選項，只需分別舉出反例.事實上，熟知概率密度-

般未必是連續(xù)函數(shù)，例如，均勻密度、指數(shù)分布密度都不是連續(xù)函數(shù)，故選項(B)錯誤；均勻密度、指數(shù)分布密

度都不導，故選項(C)錯誤；概率密度都不小于0,但是未必不大于1；例如，區(qū)間[0,0.5]上的均勻密度、參數(shù)為

2的指數(shù)分布密度，其最大值都大于1,當方差充分小時正態(tài)密度的最大值也大于1.于是選項(B)(C)(D)都是

應排除的錯誤選項.

2.28設(shè)X?NQ1),其概率密度為“X),分布函數(shù)為尸(x),則

(A)/(%)=/(-%).(B)F(0)=l-F(0).

(C)F(x)=F(-x).(D)尸(1)=1—F⑴.[]

分析應填(D).

⑴直選法因為對于X?尸(1)=0.5,故

尸(1)=0.5=1—0.5=]_尸(1).

從而(D)是正確選項.

(2)排除法概率密度為/(x)顯然不是偶函數(shù)，故選項(A)錯誤；選項(B)成立當且僅當/(0)=0.5,然而

對于X?N(l,l)顯然尸(0)#0.5,故選項(B)也是錯誤選項.最后，例如F(l)=0.5>F(—1),故選項(C)也

是錯誤選項.于是選項(A)(B)(C)都是應排除的錯誤選項.

2.29設(shè)隨機變量X服從指數(shù)分布，Y=min{X,2},則隨機變量V的分布函數(shù)

(A)是連續(xù)函數(shù).(B)至少有兩個間斷點.

(C)是階梯函數(shù).(D)恰好有一個間斷點.[]

分析應填(D).事實上，因為X的分布函數(shù)F(x)=0(x<0),F(x)=1-(x>0)是連續(xù)函數(shù).設(shè)G(y)

是丫=min{X,2}的分布函數(shù)，則

G(y)=P{公}[7亶.

[1，若”2.

因為G(2)=1而歹⑵=1—e-2—41,所以G(y)在y=2處恰好有一個間斷點.

2.30設(shè)Fx(x),F2(x)是隨機變量的分布函數(shù)，fi(x),/2(x)是相應的概率密度，則

(A)F|(x)+F2(x)是分布函數(shù).(B)F[(x)F2(x)是分布函數(shù).

(C)力(x)+/2(x)是概率密度.(D)力(x)%(x)是概率密度.[]

分析應該選(B).該題宜用直選法，亦可采用排除法.

(1)直選法設(shè)F(x)=F](x)&(x)只需證明E(x)具有分布函數(shù)的三條基本性質(zhì).山分布函數(shù)

月(x)和5(x)的基本性質(zhì)，可見04尸(x)41是單調(diào)不減的右連續(xù)函數(shù)，且滿足F(-8)=0,/(+8)=1,因

此

尸(x)=—(x)%(x)

本身也是個分布函數(shù)，因此(B)是正確選項.

(2)排除法容易驗證(A),(C)和(D)不成立例如，F(xiàn)}(+oo)+F1(+oo)=2,故(x)+F2(x)不是分布函數(shù)

因此選項(A)錯誤；由于

匚"(勸+—(切*=2,

可見力(X)+/2(X)不是概率密度，因此選項(C)錯誤；最后，設(shè)力(X)是標準正態(tài)密度，而/2(X)是區(qū)間

上的均勻分布密度，則

「力(刈力(X)*=-7=e2dx片1,

因此f\(x)人(x)不是概率密度于是，只有(B)是正確選項?

2.31隨機變量Y=aX+b(a^0)與隨機變量X服從同一名稱分布，如果X服從

(A)二項分布.(B)泊松分布.

(C)正態(tài)分布.(D)指數(shù)分布.[]

解應該選(C).該題宜用直選法，因為正態(tài)分布隨機變量的線性函數(shù)仍然服從正態(tài)分布，應該是熟知的事

實

⑴直選法.設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N(〃,er?),其概率密度記作夕(x),以p(y)表示隨機變量

Y=aX+b(a^0)

的概率密度.因為awO,所以函數(shù)＞=?！?/＞有唯一反函數(shù)

x=/z(y)=±^,—=/z，(},)=—;

adya

將/i(y)和"(y)代入隨機變量的函數(shù)的密度公式(2.8),得丫=aX+。的概率密度

p(y)=(p(h(y))\h,(y)\

11「y—Z?T]1

y/2iia2baJJ|a|

=[)，-m〃+研.

由此可見，Y=aX+b-N(aju+b,a2a2),于是選項(C)正確.

(2)排除法.對于(A)和(B),由于y=aX+b一般不取自然數(shù)為值，所以一般不服從二項分布和泊松分

布.對于(D),假設(shè)X服從參數(shù)為幾的指數(shù)分布，其概率密度為

若x>0,

/&)=

0,若x<0；

Y^aX+b的概率密度為

f(h(y))\h'(y)\,若y>b,

p(y)=

0,若y<b,

2V-fe)

而L,若y>b,

0，若y<b.

概率密度為p(y)的分布稱做二參數(shù)指數(shù)分布或移位指數(shù)分布，不是選項(D)中的分布.于是(A),(B)和①)都是

錯誤選項，只有(C)是正確選項.

習題3隨機向量及其概率分布

習題解答

(A)

3.2設(shè)尸{X20,y20}=3/7,P{X>0}=P{7>0}=4/7,求P{min[X,Y]20}.

解引進事件：A={XN0},5={7>0},貝ij

{min[X,Y]20}={X20}+?20}=A+8.

山條件知：

43

P(A)=P(B)=一,P(AB)=-；

77

因此，由加法公式，可見

P{min[X,y]>0}=P[A+B)=尸(A)+P(B)-P(AB)=*

3.3假設(shè)隨機變量U在區(qū)間[-2,2]服從均勻分布，隨機變量

丫_卜1,若UW-1,y_若U41,

=|1,若U>-1；=11,若U>1.

求x和y的聯(lián)合概率分布.

解隨機向量(x,y)有(-1,-1),(-U),(1,1)等4個可能值，

p{x=-i,y=-i}=P{U<-\,u<i}=P{u<-i}=-,

4

p{x=-i,y=1}=P{(/<-i,(/>i}=p(0)=o,

p{x=i,y=—i}=p{u>—i,u?i}=尸{_i<uwi}=g,

P{X=\,Y=\}=P{U>-l,U>\}=P{U>1}=^.

于是x和y的聯(lián)合概率分布為

f(-i-i)(-14)(i,-i)(i,i?

(x,y)~inii.

I424)

3.6設(shè)隨機變量X和y的聯(lián)合密度為

,,、—|X2+—|>若0cxe1,0<y<2,

“x,y)=j7l2)

0,若不然.

(1)試求X的概率密度力(x)；

(2)試求事件“x大于y”的概率尸{X>/}；

(3)求條件概率尸？>0.5IX<0.5}.

解(1)易見，當xe(0,1)時力(x)=0；對于0<x<l,有

工（幻=匚〃%））由:=然卜+高.6.o、

Ay=—(z/2x~+x)

，,—(2x2+x),若0cx<1,

工(x)=17

0,若不然.

⑵事件“x大于y”的概率

尸{X>y}=]j7(x,y)dxdy=([drf2xy].6

x>y7

(3)條件概率

其中

P{X<0.5}=/5力(x)dx=|f(2x2+x)&=￡；

P{X<0.5,y>l}=g『drfJ+與

112

于是

巴e*。年絮等

3.7假設(shè)隨機變量X和蹴合密度為

汽兀

Csin(x+y),若0<x<—,0<y<一,

/（羽）'）="22

0,若不然.

(1)求未知常數(shù)C以及X概率密度力(x)；

⑵*求y關(guān)于X=x的條件密度分(y|X=x).

解(1)未知常數(shù)C

(H-oo尸8fjt/2m/2

1=L]f(x>y)&dy=C]dx]sin(x+y)dy

~K/2

一「cos(x+.-cosxdx=CJ[sinx+cosx]dx=2C.

_o

由此可見C=1/2.

Q)((x)是/(x,y)的邊緣密度.當x史[0,萬/2]時顯然力(x)=0；對于X€[0,%/2],有

fi(x)=匚"X，內(nèi)⑥=|「'sin(x+y)dy=smx；c°s”.

(2),條件密度力(y|X=x)對于任意0<xW兀/2,有

力(y|X