信號(hào)與系統(tǒng)剛2009年9月4第四章

§4-8系統(tǒng)穩(wěn)定性分析一、系統(tǒng)穩(wěn)定的一般概念穩(wěn)定性是指系統(tǒng)在一個(gè)很小的時(shí)間間隔內(nèi)受到一個(gè)幅度很小的干擾之后所表現(xiàn)出來(lái)的運(yùn)動(dòng)形態(tài)。如果系統(tǒng)在干擾作用下，系統(tǒng)產(chǎn)生響應(yīng)最后衰減為零，這種系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定。如果系統(tǒng)在干擾作用下，系統(tǒng)產(chǎn)生響應(yīng)無(wú)界增長(zhǎng)，則系統(tǒng)為不穩(wěn)定。如果系統(tǒng)在干擾作用下，系統(tǒng)產(chǎn)生響應(yīng)保持在一定界限而不返回到原始工作狀態(tài)，則系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定。穩(wěn)定性的三種不同情況用下圖說(shuō)明：對(duì)系統(tǒng)的干擾實(shí)質(zhì)上是外界對(duì)系統(tǒng)提供一個(gè)很小的能量，成為系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力。系統(tǒng)的響應(yīng)由系統(tǒng)本身決定，即系統(tǒng)函數(shù)極點(diǎn)在s平面上的位置決定。一階極點(diǎn)j二階極點(diǎn)j系統(tǒng)函數(shù)的極零點(diǎn)分布決定h(t)時(shí)域特性

根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)的極零點(diǎn)分布可以判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性極點(diǎn)全部位于s平面的左半開(kāi)平面，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

極點(diǎn)是分布于s平面的右半開(kāi)平面或虛軸上的重階極點(diǎn)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。極點(diǎn)中除分布于s平面的左半開(kāi)平面上的極點(diǎn)外，只要在虛軸上有一對(duì)單階極點(diǎn)或坐標(biāo)原點(diǎn)有一個(gè)單階極點(diǎn)，則系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定。二、系統(tǒng)不穩(wěn)定的簡(jiǎn)單判據(jù)(穩(wěn)定的必要條件)若系統(tǒng)特征多項(xiàng)式為：

D(s)=ansn+an-1sn-1+an-2sn-2++a1s+a0

(1)若系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定，則(1)式中：

1、各項(xiàng)系數(shù)全不為零；

2、各項(xiàng)系數(shù)同號(hào)。

例4.4-1已知各系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式如下，試判斷各系統(tǒng)的穩(wěn)定性(1)D(s)=s5+3s4+4s3+2s2-5s+1(2)D(s)=7s5+6s4+3s2+2s+4(3)D(s)=(s-2)(s+1)(s+3)(4)D(s)=(s2+1)(s+2)(5)D(s)=(s2+1)2(s+2)(6)D(s)=-s2-2s-1(1)s前的系數(shù)為-5，不是漸近穩(wěn)定(2)缺s3項(xiàng)，不是漸近穩(wěn)定(3)有一個(gè)零點(diǎn)s=2在s平面右側(cè)，不穩(wěn)定(4)虛軸上有單階的極點(diǎn)，臨界穩(wěn)定(5)虛軸上有重階的極點(diǎn)，不穩(wěn)定(6)漸近穩(wěn)定解：三、勞斯－赫爾維茨判據(jù)判定系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分必要條件若系統(tǒng)特征多項(xiàng)式為：

D(s)=a0sn+a1sn-1+a2sn-2++an-1s+an勞斯－赫爾維茨陣列sn

a0

a2

a4

a6

sn-1

a1

a3

a5

a7

sn-2

b1

b2

b3

sn-3

c1

c2

c3

sn-4

d1

d2

d3

s1

e1

s0

f1觀察首列元素，若各元素同號(hào)，則D(s)=0沒(méi)有在s平面的右側(cè)的根，系統(tǒng)漸近穩(wěn)定；若元素符號(hào)有改變，則改變的次數(shù)是D(s)=0在s平面的右側(cè)根的個(gè)數(shù)。例4.4-2D(s)=s3+14s2+41s-56求D(s)=0在s平面右側(cè)根的個(gè)數(shù)。解：勞斯－赫爾維茨陣列

s3141s214-56

s1

b1

s0

c1=45=-56第一列元素符號(hào)改變一次，即由45-56，所以D(s)=0在s平面右側(cè)根的個(gè)數(shù)為1?？赡艹霈F(xiàn)的特殊情況1、出現(xiàn)首列為0的情況例如D(s)=s4+s3+2s2+2s+3羅斯陣列s4123s312s203

()當(dāng)

0時(shí)，b1-

，首列元素符號(hào)改變兩次，

D(s)=0在s平面右側(cè)根的個(gè)數(shù)為2，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定s1b1

s032、出現(xiàn)某一行元素全為0的情況例如:若系統(tǒng)特征多項(xiàng)式D(s)=s5+s4+3s3+3s2+2s+2勞斯陣列s5132s4132s3000用上一行的元素構(gòu)造多項(xiàng)式P(s)=s4+3s2+2對(duì)P(s)求一次導(dǎo)數(shù),P’(s)=4s3+6s+0

s3

460

s21.52

s10.660s02第一列元素同號(hào)，故D(s)=0沒(méi)有在s平面右側(cè)根，令P(s)=s4+3s2+2=0解得系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。例4.4-3圖示系統(tǒng)，試分析K對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。解：求系統(tǒng)傳函H(s)H1(s)Y(s)F(s)H2(s)KX(s)分母D(s)=s3+s2+10(K+1)s+10勞斯陣列s3110(K+1)s2110

s110K0s010若10K>0，即K>0，系統(tǒng)漸近穩(wěn)定若10K<0，即K<0，系統(tǒng)不穩(wěn)定若10K=0，即K=0，構(gòu)造多項(xiàng)式P(s)=s2+10對(duì)P(s)求一次導(dǎo)數(shù),P’(s)=2s+0

s120s010第一列元素同號(hào)，故D(s)=0沒(méi)有在s平面右側(cè)根，令P(s)=s2+10=0解得系統(tǒng)臨界穩(wěn)定H2(s)-kU2(s)U1(s)例4.4-4下圖所示系統(tǒng)，已知H(s)=U2(s)/U1(s)=2求(1)畫出其信號(hào)流圖；

(2)求H2(s)；

(3)欲使子系統(tǒng)H2(s)為漸近穩(wěn)定子系統(tǒng)，求k值的范圍。解：(1)信號(hào)流圖為U2(s)H2(s)1111U1(s)-kBAABCC(2)求H2(s)U2(s)H2(s)1111U1(s)-k1=1G2=12=1(3)H2(s)有一個(gè)極點(diǎn)，s=k-5，為使系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定系統(tǒng)，則有

k-5<0解得k<5加法器、數(shù)乘器和積分器