武漢科技大學(xué)

本文格式為Word版，下載可任意編輯——武漢科技大學(xué)第1章信號(hào)及信號(hào)的時(shí)域分析

1.2精選例題

例1畫出以下信號(hào)波形。

（1）f?t???t???cos???d?（2）f(n)?nu(n)?4?u(n?4k)

0k?1解：（1）f?t???t??cos???d?

0??t0?????0.5??????1.5??????2.5????d???t????0.5?d???t0????1.5?d???t00????2.5?d???

?u?t?0.5??u?t?1.5??u?t?2.5???波形如例1解圖（a）所示。

?(2)f(n)?nu(n)?4?u(n?4k)

k?1?nu(n)?4u(n?4)?4u(n?8)?4u(n?12)??

波形如例1解圖（b）所示。

1cos?t-2.5-1.5-0.500.51.52.5t(1)(1)??cos?t?(1)(1)(1)(1)-2.5-1.5-0.500.51.52.5tf?t?0.51.52.5t

(a)

1

f(n)3.532.521.510.5?0n0123456789101112(b)例1解圖

例2判斷以下信號(hào)是否為周期信號(hào)？若是周期信號(hào)，則確定其周期T。(1)f1(t)?1?3sin(?t)?sin(2?t)(2)f2(t)?cos(2?t)?cos(5t)(3)f3(n)?2sin??解:（1）

n1n2??1?2?3?4n????6??2??12

?1?2??2,

因此，公共周期T0?n1基頻f0?1T0?122??1??0.5Hz

(2)由于兩個(gè)分量的頻率比值

?1?2?2?5是無(wú)理數(shù)，因此無(wú)法找出公共周期。所以是非周期

的。

(3)按定義，周期序列f3?n?應(yīng)滿足f3?n??f3?n?N?，其中滿足定義式的最小正整數(shù)N稱為序列的周期。

??3?????3?3?3欲使f3?n?N??2sin??n?N????2sin?n?N???2sin?n???f3?n?6?46?6??4?4?4，應(yīng)當(dāng)滿足

34N?2?,即N?83?，N不是正整數(shù)，故f3?n?不是周期序列。

例3判斷以下信號(hào)哪些是能量信號(hào)，哪些是功率信號(hào)。（1）f1?t??e?t?t

（2）f2?t??e

j2?n/4（3）f3?n??2e

解:

T（1）

E1?limT????e?dt??e?t??20?2tdt??e0?2tdt?12?1?0???0?1??1J

21?TP1?0

所以f1?t?是能量信號(hào)。

2

T（2）E?t22t2???

Tlim????e?dt????e?dt??TP1T?t2?Tlim??2T??e?2dt??

?T所以f2?t?既非能量信號(hào)，又非功率信號(hào)。

（3）f3?n?是一個(gè)周期為N?4的復(fù)數(shù)周期信號(hào)，其功率為

N?1232P?1/4N?f3?n??1?1n?04?2ej2?nn?04?4?4?4?4??4W

例4計(jì)算（1）????sin2t?t??tdt

（2）?4??2???t?2?cos4tdt

（3）????t2?4?dt??

?(4)

???n?m?

m????(5)

?sin??n??n????4???n?2??解：（1）

?????t?sin2ttdt??????2?t?sin2t2tdt???2????t??1dt?2

（2）?4???t??????2?2?cos4tdt???1??cost????4?????????4sin4?2??

t?2?4（3）????t2?1?dt??

由于對(duì)于形如??f?t??的沖激信號(hào)，若f?t??0有m個(gè)互不相等的實(shí)根，有

n??f?t????1?t?ti?

i?1f??ti??又?t2?1????2

t??1所以

??21????t?4?dt?????2???t?1????t?1??dt?12?2?1

3

(4)

???n?m??u??n?1??u?n?

m?????(5)

?n????n??sin????n?2????n?2??4?例5已知信號(hào)的波形如例5圖所示，分別畫出f?t?與

df?t?dt的波形。

f?2?2t?21-2-101t

例5圖

解：

f?2?2t??f??2?t?1???f??2?t?1?1??左移1f??2t?反轉(zhuǎn)f?2t?橫坐標(biāo)擴(kuò)展一倍?1?f??2t??f?t??2?f??t?的波形如例5解圖（d）所示。

f??2t?21-3-20f?t?211t046t(a)(b)f?2t?210f??t?11/40-14(1)623tt

(c)例5解圖

(d)

例6計(jì)算以下各題的卷積（1）已知f1?t??e解：

?2tu?t?,f2?t??tu?t?，求：f1?t??f2?t?

4

f1?t??f2?t??f1?t?t(1)?f2?t?(?1)?u?t???t0e?2??1?2t?d??u?t???1?e??2????1?1?2??1?1?2???2t1?ed????e?2t?e?1u?t????0??2?2?2??04t

????（2）已知f1?t??tu?t?1?,解法1：f1(?1)f2?t??u?t?2?，求：f1?t??f2?t?

?1?d???t????u??0t?t1?d??12?2t1?12?t2?1u?t?1?

?f2(1)?t????t?2?f1?t??f2?t??f1?t??12(1)?f2?t?(?1)?12?t2?1u?t?1????t?2???12??t?2?2?1u?t?2?1??

?t2?4t?3u?t?1??解法2：

f1?t??f2?t??tu?t?1??u?t?2???t?1?1?u?t?1??u?t?2????t?1??u?t?1??1?u?t?1???u?t?2???tu?t????t?1??u?t????t?1???u?t????t?2???tu?t????t?1??u?t????t?2??u?t????t?1??u?t????t?2???tu?t??u?t????t?1??u?t??u?t????t?1????121212t???t?1??t???t?1?2

?t?1?2u?t?1???t?1?u?t?1??t2?4t?3u?t?1??（3）已知f1?n??3u?n?1?,nf2?n??2u?n?1?，求f1?n??f2?n?

n解：

f1?n??f2?n??3?3u?n????n?1??n12?2u?n????n?1?n?32?3u?n??2u?n?nnn?1n?1

??

33?2?23?232

u?n??3n?1?2n?1?u?n?5

1.3習(xí)題精解

1.判斷以下信號(hào)是否是周期的，假使是周期的，求出它的基頻和公共周期。(1)f(t)?4?3sin(5?t)?sin(30?t)(2)f(t)?cos(10?t)cos(30?t)

(3)f(t)?cos(10?t)?cos(20t)(4)f(t)?cos(2t)?解:（1）

n1n2??1?2?530?162??12cos(2t??4)

?1?2?5??25因此，公共周期T0?n1基頻f0?1T0?52,

?2.5Hz

(2)f(t)?cos(10?t)cos(30?t)?0.5(cos20?t?cos40?t)

n1n2??1?2?2040?12

2??1?1?2?20??110s

因此，公共周期T0?n1基頻f0?1T0?10Hz

(3)由于兩個(gè)分量的頻率比值的。

?1?2?10?20是無(wú)理數(shù)，因此無(wú)法找出公共周期。所以是非周期

(4)兩個(gè)分量是同頻率的，基頻f0?1/?Hz。因此，公共周期T?1f0??s。

2.指出并證明以下信號(hào)中哪些是功率信號(hào)，哪些是能量信號(hào)，哪些既不是功率信號(hào)也不是能

量信號(hào)。

(1)u(t)?5u(t?1)?2u(t?2)(2)u(t)?5u(t?1)?6u(t?2)(3)e?5tu(t)?1)u(t)

(4)(e?5t解:

(1)波形如題2解圖(a)所示。顯然是功率信號(hào)。

P?lim12TT???T?Tf(t)dt?lim2T??1?11dt???0T??2136dt?f(t)?16dt??16W

?2?T

f(t)66410112t012t題2解圖(a)

題2解圖(b)

6

(2)波形如題2解圖(b)所示。顯然是能量信號(hào)。E??012dt??162dt?1?1?62?1?37J(3)能量信號(hào)E?limT??12?T0(e?5t)dt?2??0e?10tdt??110e?10t?0?0.1J

(4)功率信號(hào)，顯然有P?1W

3.周期信號(hào)如題圖3所示，試計(jì)算信號(hào)的功率。

f(t)….4….?5-2-20257t

題3圖

572解：周期T=7，一個(gè)周期的能量為E??242dt??5??2?dt?16?3?4?2?56J信號(hào)的功率為P?

4.畫出以下信號(hào)的波形。(1)f1(t)?3t?(2t?2)(2)f2(t)?2u(t)??(t?2)(3)f3(t)?2u(t)?(t?2)解：

f1?t?,f2?t?,f3?t?的波形分別如題4解圖（a）、(b)、(c)所示。

f1?t?2(1.5)0(a)ET?567?8W

f2?t?(2)f3?t?(2)1t0(b)2t0(c)2t

題4解圖

5.完成以下信號(hào)的計(jì)算。

(1)(4t2?2)?()；(2)e3t?3t?(4?2t)；

u(t)?(t?4)。

(3)sin(2t?解：

?3)?(t??2)；(4)e?(t?2)(1)(4t2?2)?()?6?(t)；

3t(2)e?3t?(4?2t)?0.5e?3t?(t?2)?0.5e?(t?2)

?67

(3)sin(2t??3)?(t??2)?sin(????3)?(t??3

2)??2?(t??2)(4)e?(t?2)u(t)?(t?4)?e?2?(t?4)

6.求以下積分。(1)????(4?t2)?(t?3)dt;(2)?6?3(4?t2)?(t?4)dt;

(3)?6(6?t2)[?(t?4)?2?(2t?4)]10???(t)sin3t?3dt;(4)?tdt。

解：

(1)??(423)???t)?(t?dt???(49)????(t?3)dt??5

(2)?6(4?t2)?(t?4)dt?0(因t??4不在積分范圍（-3，6）內(nèi))

?3(3)?6(6?t2)[?(t?4)?2?(2t?4)][)?3dt??6?3?10?(t?4?2?(t?2)]dt?2

(4)?10???(t)sin3ttdt??10???(t)?3Sa(3t)dt?3。（Sa?3t??limsin3t3?1）

t?0t

7.畫出題圖7中的信號(hào)的一階導(dǎo)數(shù)波形。

f1(t)f2(t)f3(t)4442036t02346t0246t題7圖

解：

f'''1?t?,f2?t?,f3?t?的波形分別如題7解圖（a）、(b)、(c)所示。

f'1?t?f'2?t?f'3?t?(4)(4)(4)4/3220-4/336t0-22346tt0t-2246(a)(4)(b)(4)(c)(4)題7解圖

8.對(duì)于題8圖中的信號(hào)f(t)，為以下各式作圖。(1)y(t)?f(t?3)(2)x(t)?f(2t?2)(3)g(t)?f(2?2t)(4)h(t)?f(?0.5t?1)(5)fe(t)（偶分量）

(6)f0(t)（奇分量）

8

f(t)20題8圖

3t

解：各波形如題8解圖所示。

f?t?3?f?2t?2?221-3-2-101234t-3-2-101234tf?2?2t?f??0.5t?1?22-3-2-101234t-8-3-2-101234tfe?t?fo?t?211-3-2-101234t-3-2-101234t-1題8解圖

9.周期信號(hào)如題9圖所示，試計(jì)算信號(hào)的功率。

f?t?2102t5題9圖

解：周期T=7，

?y?t??15t?1.5

9

2其能量為?2.522.5?2.5ydt????2.5?1t?1.5??5?dt?35J?3信號(hào)的功率為P?ET?5W

3

10.用基本信號(hào)或階躍信號(hào)表示題10圖中的信號(hào)，并求出它們的能量。

f1(t)f2(t)f3(t)

444

220246t0236t0246t4解：

題10圖(a)ft)?2G(t?3)?2G

1(63(t?3)，可以看成三個(gè)矩形。能量為E1?4?2?16?2?4?2?48J

(b)f2(t)?2G6(t?3)?2Q1(t?3)，可以看成一個(gè)矩形和一個(gè)三角形相加。能量為E112?4?6?3?4?2?2?2?2?4?34.67J

(c)f3(t)?6Q3(t?3)?2Q1(t?3)，可以看成一個(gè)矩形和兩個(gè)三角形相加。能量為E13?16?2?3?16?4?53.33J

11.畫出以下信號(hào)的波形。

(1)f1(t)?u[cos?t];(2)f|t|2(t)?2[u(t?2)?u(t?2)];

(3)f3(t)?sin?t[u(?t)?u(2?t)];(4)f4(t)?G2(t)sgn(t);(5)f5?G6(t)Q2(t?2);(6)f6(t)?u(2?|t|)sin(?t)

解：

各信號(hào)的波形如題11解圖所示。

10

f1?t?11f2(t)-2.5-1.500.51.52.5t-3-2-101234tf3(t)1-3-2-101234-1-11f4?t?t01tf5?t?11f6?t?-101234t-3-2-10-11234t

題11解圖

12.求以下積分。(1)????cos?4t[??(t)??(t)]dt;(2)?t???[?(t?2)??(t?2)]dt

(3)?(4?t2)??(t?4)dt;(4)??36???(t?2)?(x?t)dt

解：

(a)?(b)????cos?4t[??(t)??(t)]dt??1;

t??6[?(t?2)??(t?2)]dt?u(t?2)?u(t?2)

(c)?(4?t2)??(t?4)dt?8

?3?(d)??(t?2)?(x?t)dt???????(x?2)0x?2x?2

13.畫出以下各信號(hào)的波形。

(1)f1(n)?(n?1)u(n)

(2)f2(n)?n[u(n)?u(n?5)](3)f3?n????0.5?u?n?

?n(4)f4(n)?2u?n?

?n解：各波形如題13解圖所示。

11

ff2?n?1?n?44332?2111234n1234nf3?n?42f4?n?32?11?1234n1234n-2題13解圖

14.對(duì)于題14圖中的信號(hào)f(t)，為以下各式作圖。f(t)(a)f1(t)?f(t?3)；2(b)f2(t)?f(2t?2)；(c)f3(t)?f(2?2t)；(d)f?204t4(t)?f(?0.5t?1)；題14圖

(e)fe(t)（偶分量）；

(f)f0(t)（奇分量）。解：各波形如題14解圖所示。

f1?t?f2?t?2211-5-31t13tf3?t?f4?t?2211-112t-10-22tfe?t?fo?t?2211-4-224t-4-224t-1

題14解圖

12

15.求以下函數(shù)的卷積積分f1?t??f2?t?（1）f1?t??e?3tu?t?,f2?t??u?t?；

（2）f1?t??f2?t??e?3tu?t?（3）f1?t??tu?t?,f2?t??e?tu?t?

（4）f1?t??u?t?1?,f2?t??u?t?5?（5）f1?t??tu?t?,f2?t??u?t?1??u?t?2?

現(xiàn)求解如下：（1）f1?t??e?3tu?t?,f2?t??u?t?；

解：

f1?t??f2?t?????3???eu????u?t???d???t?3t0e?3?d???1t?3?3e?1?

03?1?e?u?t（2）f?3t1?t??f2?t??eu?t?解：

ft1?t??f2?t???t3??t???t?3t0e??e?3d???0ed??e?3t??3t0d??teu?t?

（3）f?t1?t??tu?t?,f2?t??eu?t?

解：

f1?t??f2?t??f?1?1?t??f??1?2?t??u?t???t0e??d??u?t???1?e?t?u?t???t?1?e??0?d?????e???t??t?e?t0?1?u?t?（4）f1?t??u?t?1?,f2?t??u?t?5?

解：

f1?t??f2?t??u?t?1??u?t?5???t?6?u?t?6?

（5）f1?t??tu?t?,f2?t??u?t?1??u?t?2?

解：f??1?'1?t??122tu?t?,f2?t????t?1????t?2?f21?t??f2?t??12tu?t?????t?1????t?2???12?t?1?2u?t?1??12?t?2?2u?t?2?16.已知

13

（1）f1?t??tu?t???t?e?t?1?u?t?

（2）f1?t???e?tu?t????1?e?t?u?t???1?e?(t?1)?u?t?1?求f1?t?現(xiàn)求解如下：

（1）f1?t??tu?t???t?e?t?1?u?t?,求f1?t?解：

把f1?t??tu?t???t?e?t?1?u?t?求導(dǎo)2次f1?t????t??1?e??t???eu?t?

?t

（2）f1?t???e?tu?t????1?e?t?u?t???1?e?(t?1)?u?t?1?，求f1?t?解：左式：

?f?t???eu?t?????f?t???e??t??eu?t???f?t?????t??eu?t???t?t?t?t111?f1?t??f1?t??eu?t??t

右式：

ddt??1?e?u?t???1?e?t?(t?1)?u?t?1?????t??eu?t??e??t????t?1??e?t?t?t?0??t?1?u?t?1??e??t?1???t?1???t?1????t??eu?t??e??t????t?1??e?eu?t??e?t??t?1???t?1?u?t?1??e??1?1?u?t?1?所以

f1?t??f1?t??eu?t??eu?t??e?t?t??t?1?u?t?1?

?(t?1)把f1?t???eu?t????1?e?t?t?u?t???1?e?(t?1)?u?t?1?代入上式，得

??t?1?f1?t??1?e??t?u?t???1?e?u?t?1??eu?t??e?tu?t?1?f1?t??u?t??u?t?1?

17．已知以下f1?n?,f2?n?的值，求f1?n??f2?n?。（1）f1?n??f2?n??u?n?（2）f1?n??u?n?,現(xiàn)求解如下：

f2?n????n????n?1?

14

（1）f1?n??f2?n??u?n?解：

f1?n??f2?n??u?n??u?n???n?1?u?n?

（2）f1?n??u?n?,f2?n????n????n?1?

解：

f1?n??f2?n??u?n?????n????n?1???u?n??u?n?1?

18．已知fn1?n??anu?n?,f2?n