自動控制原理（第2版）余成波

本文格式為Word版，下載可任意編輯——自動控制原理（第2版）（余成波第6章控制系統(tǒng)的校正

本章主要探討利用頻率法對單輸入-單輸出的線性定常系統(tǒng)的綜合和設計。在介紹控制系統(tǒng)校正的基本概念、控制系統(tǒng)的基本控制規(guī)律的基礎上，介紹了各種串聯(lián)校正裝置（超前校正裝置、滯后校正裝置、滯后-超前校正裝置）的特性及按分析進行相應設計的基本步驟和方法；還介紹了期望設計法的基本概念、常見的期望特性和設計步驟；另外還介紹了根軌跡法的串聯(lián)校正和反饋校正的基本概念和方法；最終介紹了利用MATLAB進行控制系統(tǒng)校正。

教材習題同步解析

6.1試分別說明系統(tǒng)的固有頻率特性與系統(tǒng)期望頻率特性的概念。

答：系統(tǒng)本身固有元件所具有的頻率特性稱為固有頻率特性。設計者希望系統(tǒng)所能達到的頻率特性稱為系統(tǒng)期望頻率特性。

6.2試比較串聯(lián)校正和反饋校正的優(yōu)缺點。

答：a、校正裝置和未校正系統(tǒng)的前向通道環(huán)節(jié)相串聯(lián)，這種叫串聯(lián)校正，串聯(lián)校正是最常用的設計方法，設計與實現(xiàn)比較簡單，尋常將串聯(lián)裝置安置在前向通道的前端。

b、并聯(lián)校正也叫反饋校正，它是和前向通道的部分環(huán)節(jié)按反饋方式連接構成局部

反饋回路，設計相對較為繁雜。并聯(lián)校正一般不需要加放大器，它可以抑制系統(tǒng)的參數(shù)波動及非線性因素對系統(tǒng)性能的影。

6.3PD控制為什么又稱為超前校正？串聯(lián)PD控制器進行校正為什么能提高系統(tǒng)的快速性和穩(wěn)定性？

答：參與PD控制相當于在系統(tǒng)中參與一個相位超前的串聯(lián)校正裝置，使之在穿越頻率處有較大的相位超前角。因此，PD控制稱為超前控制。PD控制的傳遞函數(shù)為

G(s)?Kp(1??s)，由比例控制和微分控制組合而成。增大比例系數(shù)Kp，可以展寬系統(tǒng)的

通頻帶，提高系統(tǒng)的快速性。微分控制反映信號的變化率的預報作用，在偏差信號變化前給出校正信號，防止系統(tǒng)過大地偏離期望值和出現(xiàn)猛烈振蕩傾向，有效地加強系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。

6.4PI控制為什么又稱為滯后校正？串聯(lián)PI控制器進行校正為什么能提高系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能？如何減小它對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響？

答：PI控制在低頻段產生較大的相位滯后，所以滯后校正。PI控制的比例部分可以提

146

高系統(tǒng)的無差度，改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。在串入系統(tǒng)后應使其轉折頻率在系統(tǒng)幅值穿越頻率的左邊，并遠離系統(tǒng)幅值穿越頻率，以減小對穩(wěn)定欲量的影響。

6.5PID控制為什么又稱為滯后-超前校正？串聯(lián)PID控制器進行校正為什么能改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能與動態(tài)性能？

答：PID兼有PI、PD控制的特點，它相當于提供了一個積分環(huán)節(jié)與兩個一階微分環(huán)節(jié)。積分環(huán)節(jié)改善穩(wěn)態(tài)性能，兩個一階微分環(huán)節(jié)改善動態(tài)性能。

6.6試分別表達利用比例負反饋和微分負反饋包圍振蕩環(huán)節(jié)所起到的作用。答：二階振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性為

122TS?2?S?1用比例負反饋H(s)=h包圍后

C(s)h1?22?2?R(s)TS?2?S?1T2S?2S?1hT可見振蕩環(huán)節(jié)的時間常數(shù)T，阻尼比?均減小，阻尼比?的減小使系統(tǒng)的動態(tài)性能得到改善，穩(wěn)態(tài)性能得到降低。

用微分反饋包圍二階振蕩環(huán)節(jié)，能夠在不影響無阻尼自然角頻率?n和比例系數(shù)K的前提下增加阻尼比，改善系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。6.7設一單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)Go(s)?K，若要使系統(tǒng)開環(huán)傳遞系數(shù)K=10，

s(s?1)相位裕量γ’不小于45o，幅值穿越頻率?’c不小于4.4rad/s，試求系統(tǒng)所需的串聯(lián)超前校正裝置及其參數(shù)。

解：繪制未校正系統(tǒng)的伯德圖如圖6.1所示。

L(?)/dB40[-20]20[-40]Lc(?)0.112.23.164.478.8?(rad/s)圖6.1題6.7系統(tǒng)校正前后的伯德圖147

(1)K?10,??1

L0(1)?20lg?1020?lg120求校正前系統(tǒng)的幅值穿越頻率

L(?c)?20lg10??40??c?3.16?4.4

lg?c?lg1??180??(?90??tan?1?c)?180??(?90??tan?13.16)?17.6??45?

(2)求校正裝置的參數(shù)?

?(m)?45??17.6??9.6??37?

1?sin37????0.25?1?sin37(3)確定校正后的幅值穿越頻率?c'

Lc(?c')?10lg(12)?6dB?Lo(?c')??Lc(?c')??6dB,

Lo(?c')?20lg(10)'L(?)?10lg(1)?6dB,??40cc'2lg?c?lg1最終得出?c'??m?4.47rad/s>4.4rad/s

(4)確定校正裝置的轉折頻率

?1??m??2.2rad/s，?2??m??8.8rad/s，T?s?10.45s?12.2G(s)=?s?10.11s?18.8(5)驗證?'Gk(s)?Gc(s)G0(s)?1?1?0.45s，

10(0.45s?1)

s(s?1)(0.11s?1)?'?180??[?90??tan-1(0.45?4.47)?tan-1(4.47)?tan?1(0.11?4.47)]=50??45?

滿足題意。

(6)確定元件參數(shù)

若校正裝置如圖6.2所示狀況，則有

148

CR1Ui(t)R2U0(t)

圖6.2題6.7校正裝置圖

??R2?0.28，T=R1C=0.45

R1?R26.8一單位負反饋系統(tǒng)固有部分的傳遞函數(shù)為Go(s)?－

K，若要求系統(tǒng)的

s(s?1)(0.5s?1)靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv=5s1，相位裕量γ’≥40o，幅值穿越頻率?’c≥0.5rad/s，幅值裕量L’h≥10dB。試設計所需串聯(lián)滯后校正裝置的傳遞函數(shù)。

解（1）求校正前的開環(huán)頻域指標

繪制k=5時未校正系統(tǒng)的伯德圖如圖6.3所示。

60-40-20-40-200.0050.05Wc’=0.51Wc=2.15-60-60

圖6.3題圖6.8k=5時未校正系統(tǒng)的伯德圖

求?c，假設在斜率為-40是穿越實軸，則

149

L(?c)?20lg5??40??c?2.24rad/s

lg?c?lg1此時?c大于轉折頻率2，故斜率為-60時穿越實軸，同理可求的完成?c?2.15?2滿足條件

??180??(?90??arctan2.15?arctan(215?0.5))??22.2?，

,且?c'?0.5rad/s在?c?2.15若取?m??'?????40??22.2??5??67.2??65?左邊，故采用滯后校正。

（2）確定校正后的幅值穿越頻率

選擇未校正系統(tǒng)的相位裕量?0??'???40??10??50?，令??180??(?90??arctan?c'?arctan(?c'?0.5))?50?，

將?c'?0.5帶入可得??49.4??50?，調整?值，?0??'???40??5??45?再將?c'?0.5代入，可得??49.4??45?應選?c'?0.5

（3）確定?值

Lo(?c')?20lg???20lg(4)確定滯后校正裝置轉折頻率

1?，

Lo(?c')?20lg5??20????10

lg?c'?lg1?2?110.5??c'/10~?c'/2，現(xiàn)在取?c'/10，?2???0.05，??T?20TT10?1?11120s?1，?Gc(s)????T10?20230200s?15(20s?1)（繪于圖6.3中）

s(s?1)(0.5s?1)(200s?1)（5）?Gk(s)?G（?Go(s)?cs）（6）驗證r'

r'?180??(?90??arctan(?c'?20)?arctan?c'?arctan(?c'?0.5)?arctan(?c'?200))?44.3??40?滿足，由圖可看出Ln'也滿足

6.9系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為G0?s??K，要求：

s?0.1s?1??0.2s?1?（1）系統(tǒng)響應斜坡信號r(t)=t時，穩(wěn)態(tài)誤差ess?0.01；(2)系統(tǒng)相位裕量?'?40?。

試用分析法設計一個串聯(lián)滯后-超前校正裝置。

150

解：（1）系統(tǒng)為Ⅰ型系統(tǒng)，在單位斜坡信號下分穩(wěn)態(tài)誤差為

essr?令essr?1k1?0.01，則k=100k低頻段過點為Lo?20lgK?40db中頻段穿越斜率為-60db/dec由

Lo(5)-20lgK??20則Lo(5)=26db

lg5-lg1同理Lo(10)=14db且?c?17rad/s

故??180??[?90??arctan(17?0.1)?arctan(17?0.2)]??43.1??0?

L(w)/db60L0(w)40L(w)200.070.11-2057101770Lc(w)

圖6.4題6.9系統(tǒng)校正前后伯德圖

W(rad/s)（2）選擇新的?c?

由校正前的相頻特性與幅頻特性可知當?在[5,10]的范圍內時，漸近線的斜率為-40db/dec,即對應的相位穿越頻率?g應在此范圍內。當??7rad/s時

?(7)??90??arctan(7?0.1)?arctan(7?0.2)??179.5?

若選?c??7rad/s，系統(tǒng)所需的相位超前角約為50?由于Lo(7)?20db所以Lc(7)??20db

151

又20lg??Lo(?c')，??10(滯后部分)，又???1所以??0.1（超前部分）（3）確定校正裝置的滯后部分滯后部分?滯2?1T2=?c'?1rad/s

令??14則?滯1?1?T2=14rad/s

所以滯后部分的傳遞函數(shù)為G1(s)?（4）確定超前部分

s?1

14s?1Lc(7)??20db過（7rad/s,-20db）畫一條斜率為20db/dec的斜線，超前部分20db/dec的漸

近線以滯后部分的0db/dec的漸近線的交點對應超前部分的第一個轉折頻率1/T1,與0db線的交點對應其次個轉折頻率

Lc(7)?0?20

Lg7?Lg?4則?4??T1?70rad/s

又??14故?3?1T1?5rad/s

超前部分的傳遞函數(shù)為G2(s)?0.2s?1

0.0143s?1（5）Gc(s)?s?10.2s?1?14s?10.0143s100(s?1)

s(14s?1)(0.1s?1)(0.0143s?1)(6)Gk(s)?

arct?an(1?47)a?rctta?ann((0.0.10174)3?a7r)c]?41.?9?4?02要求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)速度誤差系6.10負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為Go(S)?S(0.25S?1)數(shù)kv?10s?1，諧振峰值Mr?1.5，試確定串聯(lián)校正裝置參數(shù)。

?'?180??[?90??arctan?7152

解：（1）繪制校正前的系統(tǒng)的開環(huán)傳遞對數(shù)幅頻特性（如圖6.5Lo(?)所示）（2）依照K=10繪制期望特性曲線的低頻段

（3）按動態(tài)性能的要求確定系統(tǒng)的中頻段，為保證足夠的相位裕量，中頻段的穿越頻率斜率應為-20db/dec,由于繪出的是閉環(huán)頻域指標的要求Mr則中頻段寬度h?由w2?w3?Mr?1?5.5現(xiàn)取h=10Wc’=2.5rad/s

M1?12Wc?0.5rad/sh?12hWc?5rad/sh?1據此畫出期望特性的中頻段

（4）求校正裝置的傳遞函數(shù)

Gc(s)?(5)Gk(s)?Gc(s)?Go(s)?(2s?1)(0.25s?1)

(10s?1)(0.2s?1)10(2s?1)

s(10s?1)(0.2s?1)

?'?180??[?90??arctan(2?2.5)?arctan(10?2.5)?arctan(0.2?2.5)]?54.4?1Mr??1.23?1.5sin?'滿足題意

L(w)/db40L(w)26L0(w)W(rad/s)0.10.522.545Lc(w)

圖6.5題6.10校正前后伯德圖

153

6.11負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G0(S)?100要求系統(tǒng)校正

S(0.25S?1)(0.05S?1)后的諧振峰值Mr?1.4，諧振頻率wr?10rad/s試確定串聯(lián)校正裝置。

解：(1)繪制校正前的幅頻特性L0(W),可求得

Wc=20rad/s

r?180??[?90??arctan5?arctan1]??33.7?

(2)按動態(tài)性能的要求確定系統(tǒng)的中頻段，喂飽則很憂傷足夠的相位裕量，中頻段的穿越斜率為-20db/dec

中頻段的高度h?Mr?11.4?1??6

Mr?11.4?1考慮到要留一定的裕量取h=10Wc’=10rad/s則w2?2)，w3?2wc'?20rad/sWc'?2rad/(與未校正前穿越頻率一致sh?1L（w）/db60

AL0(w)28

BL(w)W(rad/s)W1=0.2w24wc’=10wc=20w4=100CD

Lc(w)圖6.6題6.11系統(tǒng)校正前后伯德圖

（3）繪制期望特性的低中段，中高頻鏈接段與高頻段，分別過B,C兩點做斜率為-40db/dec的斜線交低頻段，高頻段于A,D點

在頻率w2=2rad/s處

Lo(?)?20lg100?201g2?34db，

154

L(?）?L(?c')L(2)?0???20?L(2)?14dB'lg?-lg?clg2?lg10?Lc(2)?L(?)?Lo(?)?L?2??Lo?2???20??20Lg????10由此得出A點對應頻率1/T1?w2/??0.2rad/s，D點對應頻率1/T4???c'?100

（4）由于Gc(s)?(0.5s?1)(0.25s?1)100(0.5s?1)，?Gk(s)?(5s?1)(0.01s?1)s(0.05s?1)(5s?1)(0.01s?1)??180??[?90??arctan(0.5?10)?arctan(0.05?10)?arctan(5?10)?arctan(0.01?10)]?47.5??0滿足題意

Mr?滿足題意

1?1.36?1.4sinr'K，由期望法設計系統(tǒng)2s(0.2s?1)6.12設一個隨動系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為Go(s)?的穩(wěn)態(tài)加速度誤差系數(shù)Ka=20s?2和相位裕量r'?35o時的串聯(lián)校正裝置。

解：

40

L(w)/db26

Lc(w)W(rad/s)1w1wcw2L’(w)L0(W)

圖6.7題6.12伯德圖

由20lg20?40lg?c?0，得?c?4.47rad/s

?'?180???(?c)??41.8?

155

?max?35??41.8??13.2??90?

由于?max較大，應采用兩級超前校正，每級?'max?45?

?1?s/?1??Gc(s)???，?2=a?1

?1?s/?2?由sin?'max?2a?1?a?5.8a?1取a?6，則?2?6?1

20(1?s/?1)2校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為Gc(s)Go(s)?22s(0.2s?1)(1?s/?2)當???'時，?c'是?1和?2的幾何中點，可以算得

c20(?c'/?1)2'2A(?c)?'2?1???100/?c1'?c?0.2?c'代入

?c'?a?1?6?1??1?3.44,?1?20.64,?c'?8.43

?1?s/3.44??Gc(s)????1?s/20.64??G(s)?Gc(s)Go(s)?220(1?s/3.44)s2(0.2s?1)(1?s/20.64)22

?(?c')?180???(?c')?31.9??35?

再將a增大到7，重復上述步驟得?(?c')?37.7?35此時

?1?s/3.44?Gc(s)????1?s/24.08?G(s)?220(1?s/3.44)s2(0.2s?1)(1?s/24.08)22

6.13設單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為Go(s)?K，試用期望對

s(0.5s?1)(0.167s?1)數(shù)頻率特性法（期望特性用1-2-1-2-3系統(tǒng)）設計串聯(lián)校正裝置，使系統(tǒng)滿足以下性能指標：K≥180，σ%≤27%，ts≤2秒。

解：（1）繪出校正前的幅頻特性圖(如圖6.8)，計算

156

86-20-40-60W&=400W10010.0251256Wc=13.43-40-60圖6.8題6.13伯德圖

L(2)?4d0BL(6)=21dB?=13.43rad/sc?=180??(?90??arctan(0.?513.?43)

arcta?n(0.16?7.?513.0?4?3))57（2）求中頻段

6~86~8??3~4取?'?5rad/scct2sa?6427?64h???8.27取h=10a?1627?162?????'?1rad/s2h?1c??2?'?10rad/s3c?'?（3）由L(1)=L(1)-L(1)=14-46=-32

co得L(1)=-32=-20lg?

c??=40

??1??2/??1/40?0.025rad/s

?4???3?10?40?400rad/s

（4）

157

?Gc(s)?(s?1)(0.1s?1)(40s?1)(0.0025s?1)200(s?1)(0.1s?1)s(0.5s?1)(0.167s?1)(40s?1)(0.0025s?1)

?Gk(s)?Gc(s)?Go(s)?6.14系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為Go(s)?－

K，希望閉環(huán)系統(tǒng)具有以下性能指標：2s(0.05s?1)（1）穩(wěn)態(tài)加速度誤差系數(shù)Ka=10s2。（2）γ’≥35o，?’c≥10rad/s。試用期望法確定系統(tǒng)所需串聯(lián)校正裝置。

解：（1）繪出校正前的幅頻特性曲線（如圖6.9）

令

K=Ka=10,?c=3.16rad/?'=-arctan(0.05?3.16)=-9?

（2）題目要求?c?10rad/s,現(xiàn)取?c??10rad/s

在?c?處，Lo(?c')?20lg10-40lg?c'?20-40?-20dB由L(?c')?0，L（）?L(?)-Lo(?)c?Lc(?c')?20dB

?AB段Lc(?)的方程為

Lc(?)-20?20(lg?-lg10)

又Lc(?1)?0??1?1rad/s

（3）現(xiàn)在取?2?50rad/s，可得G（?cs）s?1，

0.02s?1（?c'?10rad/s）?G(s)?10（s?1）s2(0.05s?1)(0.02s?1)?'?180??90??2?arctan0.5?arctan0.2?'?180??90??2?arctan0.5?arctan0.2=84.3-26.6-11.3=46.4??35?

滿足要求

158

BLc(?)A?c??10??11?c?3.16Lo(?)L(?)L

圖6.9題6.14系統(tǒng)伯德圖

6.15原系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為Go(s)?10，采用串聯(lián)校正，期望校正以后的開環(huán)

s(s?1)幅頻特性曲線L（ω）如圖6.10所示。試求：

（1）在原圖上繪制所需校正裝置的伯德圖Lc（?），求出此裝置的傳遞函數(shù)Gc（s），并說明該裝置的類型。

（2）簡要說明系統(tǒng)校正前后性能的變化。

解：(1)由圖可知校正后的傳遞函數(shù)，其低頻段的頻率為-20dB/dec又L（1）=20lgk-20lg1=20K=10確定各型環(huán)節(jié)：

第一個轉折點?1=1rad/s斜率減小20db/dec其次個轉折點?2=2.2rad/s斜率增大20dB/dec第三個轉折點?3=8.8rad/s斜率減小20dB/dec

510(s?1)11?Gk(s)?5s(s?1)(s?1)445s?120s?44Gk(s)?Go(s)?Gc(s)?Gc(s)?11?5s?15s?4444159

L(w)dB40-20-40-208.800.112.2圖6.10題6.15圖4.49-40W(rad/s)20(2)系統(tǒng)增加了帶寬，快速性改善，相位裕量明顯增加，系統(tǒng)穩(wěn)定性改善，高頻段對數(shù)幅值上升?？垢蓴_性下降

6.16一單位負反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

Go(s)?Kgs(s?4)(s?6)

（1）若要求閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應的最大超調量?%≤18%，試用根軌跡法確定系統(tǒng)的開環(huán)傳遞系數(shù)。

（2）若希望系統(tǒng)的開環(huán)傳遞系數(shù)K≥15，而動態(tài)態(tài)性能不變，試用根軌跡法確定校正裝置的傳遞函數(shù)。

解：（1）

①由于?%≤18%，并留有一定的余地，選??0.5，使主導極點的阻尼角

??arccos??60?；

由于ts未要求，不妨設ts?點為：

3??n?1.5s，則?n?4rad/s，于是我們希望的閉環(huán)主導極

s1,2????n?j?n1??2??2?j23②畫出未校正系統(tǒng)的根軌跡（略），由于期望的極點位于校正前根軌跡左方，故采用串聯(lián)超前校正裝置加以校正。

③原系統(tǒng)開環(huán)零極點對閉環(huán)極點所產生的相位角為：

?G0(s1)???s1??(s1?4)??(s1?6)??120??60??40???220?

則超前校正裝置提供的相位角?c??180???G0(s1)??180??(?220?)?40?

160

num=[20];

den=conv([10],[0.21]);%求分母（多項式相乘）其他指令同上。系統(tǒng)校正前的開環(huán)頻域指標為gm=

Inf%系統(tǒng)校正前幅值裕量hgpm=

28.0243%系統(tǒng)校正前相位裕量wcp=

Inf%系統(tǒng)校正前相位穿越頻率wcg=

9.3940%系統(tǒng)校正前幅值穿越頻率

（1）開環(huán)伯德圖及開環(huán)頻域指標（2）單位階躍響應曲線

圖6.18M