極限求法總結(jié)

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極限的求法

1、利用極限的定義求極限2、直接代入法求極限3、利用函數(shù)的連續(xù)性求極限4、利用單調(diào)有界原理求極限5、利用極限的四則運(yùn)算性質(zhì)求極限6.利用無(wú)窮小的性質(zhì)求極限7、無(wú)窮小量分出法求極限8、消去零因子法求極限9、利用拆項(xiàng)法技巧求極限10、換元法求極限11、利用夾逼準(zhǔn)則求極限[3]12、利用中值定理求極限13、利用羅必塔法則求極限14、利用定積分求和式的極限15、利用泰勒展開(kāi)式求極限16、分段函數(shù)的極限

1、利用極限的定義求極限

用定義法證明極限，必需有一先決條件，即事先得知道極限的猜測(cè)值A(chǔ)，這種狀況一般較困難推測(cè)出，只能對(duì)一些比較簡(jiǎn)單的數(shù)列或函數(shù)推測(cè)分析出極限值，然后再去用定義法去證明，在這個(gè)過(guò)程中，放縮法和含絕對(duì)值的不等式總是密切相連的。

例：limf?x??A的ε-δ定義是指：?ε＞0，?δ=δ(x0，ε)＞0，0＜|x-x0|

x?x0＜δ?|f(x)-A|＜ε為了求δ可先對(duì)x0的鄰域半徑適當(dāng)限制，如然后適當(dāng)放大｜f(x)-A｜≤φ(x)(必然保證φ(x)為無(wú)窮小)，此時(shí)往往要用含絕對(duì)值的不等式：

｜x+a｜=|(x-x0)+(x0+a)|≤|x-x0|+|x0+a|＜｜x0+a｜+δ1域|x+a|=|(x-x0)+(x0+a)|≥|x0+a|-|x-x0|＞|x0+a|-δ1從φ(x)＜δ2，求出δ2后，

取δ＝min(δ1，δ2)，當(dāng)0＜|x-x0|＜δ時(shí)，就有|f(x)-A|＜ε.

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極限的求法

例：設(shè)limxn?a則有l(wèi)imn??n??x1?x2?...xn?a.

n??n?xn-a??證明：由于limxn?a,對(duì)???0，?N1?N1(?),當(dāng)n?N1時(shí)，?2于是當(dāng)x?x?...?xn?x?x?...?xn?na??12?a??12n?N1時(shí)，nn0????

其中A??x1?a???x2?a???xN1???是一個(gè)定數(shù),再由解得n?2AA??，n2x?x?...?xn????2A??,故取N?max?N1,???當(dāng)n?N時(shí)，12???+=?。

?n22?????

2、直接代入法求極限

適用于分子、分母的極限不同時(shí)為零或不同時(shí)為

例1.求

分析由于

.

,

所以采用直接代入法.

解原式=

3、利用函數(shù)的連續(xù)性求極限

定理[2]：一切連續(xù)函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)處都連續(xù)，即假使x0是函數(shù)f(x)的定義區(qū)間內(nèi)的一點(diǎn)，則有l(wèi)imf(x)?f(x0)。

x?x0一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的，假使f(x)是初等函數(shù)，x0是其定義域內(nèi)一點(diǎn)，則求極限limf(x)時(shí)，可把x0代入f(x)中計(jì)算出函數(shù)值，即

x?x0x?x0limf(x)=f(x0)。

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極限的求法

對(duì)于連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)有這樣的定理：若u??(x)在x0連續(xù)且u0??(x0)，

y?f(u)在u0處連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)y?f[?(x)]在x0處也連續(xù)，從而

x?xolimf???x???f???xo??或limf???x???flim??x?。

x?xox?xolnsinx例：lim?x?2解：復(fù)合函數(shù)x=

??在處是連續(xù)的，即有l(wèi)imlnsinx=lnsin?ln1?0

?22x?24、利用單調(diào)有界原理求極限

這種方法是利用定理:單調(diào)有界數(shù)列必有極限，先判斷極限存在，進(jìn)而求極限。例：求limaa?...an??解：令xn?a?a?...?a，則xn?1?a?xn，a?a?a，即xn?1?xn，所

以數(shù)列?xn?單調(diào)遞增，由單調(diào)有界定理知，limaa?...a有限，并設(shè)為A，

n??limxn?1?lima?xnn??n??，即A=A?,a?1??1aA24，

所以

ln??iam?a?1??1a4a..。.2

5、利用極限的四則運(yùn)算性質(zhì)求極限

定理[1]：若極限limf(x)和limg(x)都存在，則函數(shù)f(x)?g(x)，f(x)?g(x)當(dāng)

x?x0x?x0x?x0時(shí)也存在且

①lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x)

x?x0x?x0x?x0②lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x)

x?x0x?x0x?x0limf(x)f(x)f(x)x?x又若c?0，則在x?x0時(shí)也存在，且有l(wèi)im.?0x?x0g(x)g(x)limg(x)x?x0利用該種方法求極限方法簡(jiǎn)單，但要注意條件是每項(xiàng)或每個(gè)因子極限存在，

0?一般狀況所給的變量都不滿足這個(gè)條件，例如出現(xiàn)，，???等狀況，都

0?不能直接運(yùn)用四則運(yùn)算法則，必需對(duì)變量進(jìn)行變形。變形時(shí)經(jīng)常用到因式分解、有理化的運(yùn)算以及三角函數(shù)的有關(guān)公式。

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極限的求法

總的說(shuō)來(lái)，就是函數(shù)的和、差、積、商的極限等于函數(shù)極限的和、差、積、商。

31（?）例：求limx?11?x31?x31解：由于當(dāng)x?1時(shí)，與的極限都不存在，故不能利用“極限的和等

1?x31?x于和的極限〞這一法則，先可進(jìn)行化簡(jiǎn)

313?(1?x?x2)(1?x)(2?x)(2?x)這樣得到的新函數(shù)當(dāng)?=??1?x31?x1-x3(1?x)(1?x?x2)(1?x?x2)x?1時(shí)，分子分母都有極限且分母的極限不為零，可用商的極限法則，即

31(2?x)lim（?）=lim=1x?11?x31?xx?1(1?x?x2)例2.求x?2limx?1x?1。

解

x?1?x?21lim?lim(x?1)x?2x?13x?2lim(x?1)6.利用無(wú)窮小的性質(zhì)求極限

我們知道在某一過(guò)程中無(wú)窮大量的倒數(shù)是無(wú)窮小量，有界變量乘無(wú)窮小是無(wú)窮小，對(duì)一些特別的函數(shù)而言用其他方法很難求得，只能用這種方法來(lái)求。4x-7例：求lim2

x?1x?3x?2解：當(dāng)時(shí)x?1，分母的極限為零，而分子的極限不為零，可先求處所給函數(shù)倒

4x-7x2?3x?2=?。=0，故lim2數(shù)的極限limx?1x?1x?3x?24x-7

例5．求極限分析由于行恒等變形.

解原式=

(恒等變形)

不存在,不能直接使用運(yùn)算法則,故必需先將函數(shù)進(jìn)

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極限的求法

由于當(dāng)1,即

得

是有界函數(shù),由無(wú)窮小的性質(zhì)：有界函數(shù)乘無(wú)窮小仍是無(wú)窮小,

=0.

時(shí),,即

是當(dāng)

時(shí)的無(wú)窮小,而≤

7、無(wú)窮小量分出法求極限適用于分子、分母同時(shí)趨于例3．

,即

型未定式

分析所給函數(shù)中，分子、分母當(dāng)時(shí)的極限都不存在，所以不能直接應(yīng)用法則.注意到當(dāng)時(shí)，分子、分母同時(shí)趨于，首先將函數(shù)進(jìn)行初等變形，即分子、分母同除的最高次冪，可將無(wú)窮小量分出來(lái)，然后再根據(jù)運(yùn)算法則即可求出極限.

為什么所給函數(shù)中,當(dāng)時(shí)，分子、分母同時(shí)趨于呢?以當(dāng)

說(shuō)明：由于,但是趨于速度要比仍是

趨于

的速度快，所以

.不要認(rèn)為

的

(由于

有正負(fù)之分).

解原式