電磁場(chǎng)導(dǎo)論第二章

電磁場(chǎng)導(dǎo)論第二章第1頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1.

Coulomb定律

真空中任意兩個(gè)靜止點(diǎn)電荷q1和q2之間作用力的大小與兩電荷的電荷量成正比，與兩電荷距離的平方成反比，方向沿q1和q2連線方向。

xF12zyro第2頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一疊加原理

真空中多個(gè)點(diǎn)電荷構(gòu)成的電荷體系，兩兩間的作用力，不受其它電荷存在的影響。多個(gè)電荷體系中某個(gè)電荷受到的作用力是其余電荷與該電荷單獨(dú)存在時(shí)作用力矢量代數(shù)和。qi第3頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2.

電場(chǎng)強(qiáng)度

電場(chǎng)對(duì)某點(diǎn)單位正試驗(yàn)電荷的作用力稱為該點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度，以E表示。

式中，q為試驗(yàn)電荷的電荷量；

F為電荷q受到的作用力。xF12zyro第4頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3.

靜電場(chǎng)的電位

電場(chǎng)強(qiáng)度可以表示為一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的負(fù)梯度，這個(gè)標(biāo)量函數(shù)就是靜電場(chǎng)的位函數(shù)，簡(jiǎn)稱電位(φ)

。所以有

電位的單位是伏(V)。

因此電場(chǎng)強(qiáng)度的單位為伏/米(V/m)。

位于源點(diǎn)r′處的點(diǎn)電荷q，在r處產(chǎn)生的電位為：

第5頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

物理意義：電荷分布在有限區(qū)域時(shí)，選無限遠(yuǎn)處作電位參考點(diǎn)：

單位正電荷在電場(chǎng)力的作用下，自該點(diǎn)沿任一條路徑移至無限遠(yuǎn)處過程中電場(chǎng)力作的功。第6頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

若電荷分布在一個(gè)有限的表面上，或者分布在一個(gè)有限的線段內(nèi)，那么可以類推獲知此時(shí)電位及電場(chǎng)強(qiáng)度與電荷的面密度

S

及線密度l

的關(guān)系分別為:第7頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

電位相等的曲面稱為等位面，其方程為等位面電場(chǎng)線E幾種電場(chǎng)線和等位面的分布4.

電力線與等位面

電場(chǎng)線方程電場(chǎng)管第8頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例1

計(jì)算電偶極子的電位及電場(chǎng)強(qiáng)度。

解

由于電位及電場(chǎng)強(qiáng)度均與電荷量的一次方成正比。因此，電偶極子產(chǎn)生的電位應(yīng)為

x–q+qzylrr–r+O若觀察距離遠(yuǎn)大于間距l(xiāng)，則可認(rèn)為,，于是求得：第9頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一乘積ql

稱為電偶極子的電矩，以p表示，即那么電偶極子產(chǎn)生的電位可用電矩p

表示為

已知，求得電偶極子的電場(chǎng)強(qiáng)度為可見電偶極子的，，而且兩者均與方位角

有關(guān)。第10頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一電偶極子的電場(chǎng)線和等位線第11頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1.

真空中的高斯定理

實(shí)驗(yàn)表明，真空中靜電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E滿足下列兩個(gè)積分形式的方程右式表明真空中靜電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度穿過任一封閉曲面的電通量等于該封閉曲面所包圍的電荷量與真空中的介電常數(shù)之比。稱為高斯定理。第12頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

?E=0

(正源)?E=0

(無源）?E=

0

(負(fù)源)真空中任意一點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度的散度，等于該點(diǎn)的電荷量與真空中的介電常數(shù)之比。電場(chǎng)強(qiáng)度是空間中所有的電荷產(chǎn)生的，與其他點(diǎn)電荷有關(guān)，但其他點(diǎn)的電荷在該點(diǎn)產(chǎn)生的散度為零。高斯定理的微分形式：第13頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一有極分子無極分子2.介質(zhì)極化

導(dǎo)體中的電子稱為自由電子，其電荷稱為自由電荷。介質(zhì)中的電荷不會(huì)自由運(yùn)動(dòng)，因此稱為束縛電荷。

在電場(chǎng)作用下，介質(zhì)中束縛電荷發(fā)生位移的現(xiàn)象稱為極化。無極分子的極化稱為位移極化，有極分子的極化稱為取向極化。

無極分子有極分子Ea第14頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一外加場(chǎng)Ea

介質(zhì)極化現(xiàn)象是逐漸形成的。自外電場(chǎng)Ea

加入發(fā)生極化后，一直達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡的過程如下圖所示。

介質(zhì)合成場(chǎng)Ea+Es

極化二次場(chǎng)Es第15頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

單位體積中電矩的矢量和稱為極化強(qiáng)度，以P

表示，即

式中，pi

為體積V

中第i

個(gè)電偶極子的電矩；N

為V

中電偶極子的數(shù)目。式中e

稱為極化率，它是一個(gè)正實(shí)數(shù)。

大多數(shù)介質(zhì)發(fā)生極化時(shí)，，令第16頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

3.介質(zhì)中的靜電場(chǎng)方程

在介質(zhì)內(nèi)部，穿過任一閉合面S的電通應(yīng)為式中，q為自由電荷；為束縛電荷。令，求得此處定義的D

稱為電通密度。第17頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一可見，介質(zhì)中穿過任一閉合面的電通密度的通量等于該閉合面包圍的自由電荷，而與束縛電荷無關(guān)。

上式又稱為介質(zhì)中的高斯定律的積分形式，利用散度定理不難推出其微分形式為

該式表明，某點(diǎn)電通密度的散度等于該點(diǎn)自由電荷的體密度。

第18頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

已知各向同性介質(zhì)的極化強(qiáng)度，求得

令式中，稱為介質(zhì)的介電常數(shù)。則？由于，因此第19頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一相對(duì)介電常數(shù)r

定義為幾種介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)介

質(zhì)介

質(zhì)空

氣1.0石

英3.3油2.3云

母6.0紙1.3~4.0陶

瓷5.3~6.5有機(jī)玻璃2.6~3.5純

水81石

臘2.1樹

脂3.3聚乙烯2.3聚苯乙烯2.6rr>1第20頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一各向異性介質(zhì)的電通密度與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系為可見，各向異性介質(zhì)中，電通密度和電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系與外加電場(chǎng)的方向有關(guān)。

均勻介質(zhì)的介電常數(shù)與空間坐標(biāo)無關(guān)。線性介質(zhì)的介電常數(shù)與電場(chǎng)強(qiáng)度的大小無關(guān)。靜止介質(zhì)的介電常數(shù)與時(shí)間無關(guān)。第21頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

例2

設(shè)在半徑為a的球體內(nèi)分布著電荷體密度為0

的電荷，試計(jì)算空間中任意點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。

當(dāng)r<a

時(shí)，當(dāng)r>a

時(shí)，第22頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

例3

設(shè)半徑為a，電荷體密度為

的無限長(zhǎng)圓柱帶電體位于真空，計(jì)算該帶電圓柱內(nèi)、外的電場(chǎng)強(qiáng)度。

xzyaLS1

選取圓柱坐標(biāo)系，由于場(chǎng)量與

z

坐標(biāo)無關(guān)，且上下對(duì)稱，因此電場(chǎng)強(qiáng)度一定垂直于z軸。再考慮到圓柱結(jié)構(gòu)具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的特點(diǎn)，場(chǎng)強(qiáng)一定與角度

無關(guān)。

因此，可以利用高斯定律求解。第23頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

取半徑為r

，長(zhǎng)度為L(zhǎng)

的圓柱面與其上下端面構(gòu)成高斯面。應(yīng)用高斯定律，得

xzyaLS1

因電場(chǎng)強(qiáng)度方向處處與圓柱側(cè)面S1的外法線方向一致，而與上下端面的外法線方向垂直，因此上式左端的面積分為第24頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

當(dāng)r<a

時(shí)，則電荷量q為,求得電場(chǎng)強(qiáng)度為

當(dāng)r>a

時(shí)，則電荷量q為,求得電場(chǎng)強(qiáng)度為第25頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

a2

可以認(rèn)為是單位長(zhǎng)度內(nèi)的電荷量。那么，柱外電場(chǎng)可以看作為位于圓柱軸上線密度為a2

的線電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)。因此線密度為的無限長(zhǎng)線電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度為

由上可見，對(duì)于無限長(zhǎng)圓柱體分布電荷，利用高斯定律計(jì)算其電場(chǎng)強(qiáng)度是十分簡(jiǎn)便的。若根據(jù)電荷分布直接積分計(jì)算電位或電場(chǎng)強(qiáng)度，顯然不易。第26頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（1）電場(chǎng)是一種保守場(chǎng)。靜電場(chǎng)幾個(gè)重要特性（2）靜電場(chǎng)的電場(chǎng)線既不能閉合的也不可能相交。（3）若電荷分布已知，計(jì)算靜電場(chǎng)的方法是：直接根據(jù)電荷分布計(jì)算電場(chǎng)強(qiáng)度通過電位求出電場(chǎng)強(qiáng)度利用高斯定律計(jì)算電場(chǎng)強(qiáng)度第27頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

由上兩式可以求出電場(chǎng)強(qiáng)度的散度及旋度分別為

左式表明，真空中靜電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度在某點(diǎn)的散度等于該點(diǎn)電荷體密度與真空介電常數(shù)之比。右式表明，真空中靜電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度的旋度處處為零。真空中靜電場(chǎng)是有散無旋場(chǎng)。1.

真空中靜電場(chǎng)方程

第28頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2.兩種介質(zhì)的邊界條件

由于介質(zhì)的特性不同，引起場(chǎng)量在兩種介質(zhì)的分界面上發(fā)生突變，這種變化規(guī)律稱為靜電場(chǎng)的邊界條件。

通常分別討論邊界上場(chǎng)量的切向分量和法向分量的變化規(guī)律。

1

2enetn—normalt—tangential第29頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一E2E1

1

2et①電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量在兩介質(zhì)的邊界面兩側(cè)的電場(chǎng)強(qiáng)度切向分量相等。hS

1

2enD2D1②

電通密度的法向分量?jī)煞N介質(zhì)邊界上電通量密度的法向分量不相等。

1324lh第30頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一介質(zhì)E,D導(dǎo)體en3.介質(zhì)與導(dǎo)體的銜接條件

導(dǎo)體中的電場(chǎng)強(qiáng)度為零，導(dǎo)體表面的外側(cè)不可能存在電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量。換言之，電場(chǎng)強(qiáng)度必須垂直于導(dǎo)體的表面，即第31頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1.電位微分方程利用電位與電場(chǎng)強(qiáng)度E的關(guān)系

對(duì)于線性各向同性的均勻介質(zhì)，電位滿足的微分方程式為

泊松方程

拉普拉斯方程對(duì)于無源區(qū)，，上式變?yōu)?/p>

分布在V

中的電荷在無限大的自由空間產(chǎn)生的電位為第32頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

第二類邊界條件是給定邊界上物理量的法向?qū)?shù)值，這種邊值問題又稱為諾依曼問題。

第三類邊界條件是給定一部分邊界上的物理量及另一部分邊界上物理量的法向?qū)?shù)值，這種邊界條件又稱為混合邊界條件。

第一類邊界條件給定的是邊界上的物理量，這種邊值問題又稱為狄里赫利問題。2.邊界條件第33頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3.解的存在、穩(wěn)定及惟一性問題

惟一性：在給定的定解條件下所求得的解是否是惟一的。

穩(wěn)定性：

當(dāng)定解條件發(fā)生微小變化時(shí)，所求得的解是否有很大的變化。存在是指在給定的定解條件下，方程是否有解。

若靜電場(chǎng)邊界為導(dǎo)體，給定導(dǎo)體上的電位就是第一類邊界。若在此基礎(chǔ)上再給定了導(dǎo)體表面上的電荷量就是第二類邊界。當(dāng)邊界上的電位，或電位的法向?qū)?shù)給定時(shí)，或?qū)w表面電荷給定時(shí)，空間的靜電場(chǎng)即被惟一地確定。這個(gè)結(jié)論稱為靜電場(chǎng)惟一性定理。第34頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

靜電場(chǎng)的邊值問題——

根據(jù)給定的邊界條件求解靜電場(chǎng)的電位分布。

對(duì)于線性各向同性的均勻介質(zhì)，有源區(qū)中的電位滿足泊松方程方程在無源區(qū)，電位滿足拉普拉斯方程利用格林函數(shù)，可以求解泊松方程。利用分離變量法可以求解拉普拉斯方程。第35頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1.鏡像法

實(shí)質(zhì):以一個(gè)或幾個(gè)等效電荷代替邊界的影響，將原來具有邊界的非均勻空間變成無限大的均勻自由空間，從而使計(jì)算過程大為簡(jiǎn)化。

這些等效電荷通常處于原電荷的鏡像位置，因此稱為鏡像電荷，這種方法稱為鏡像法。第36頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（1）點(diǎn)電荷與無限大的導(dǎo)體平面

介質(zhì)

導(dǎo)體

qrP

介質(zhì)q

rP

hh

介質(zhì)

以一個(gè)鏡像點(diǎn)電荷q'代替邊界的影響，使整個(gè)空間變成均勻的介電常數(shù)為的空間，則空間任一點(diǎn)P的電位由q

及q'

共同產(chǎn)生，即

無限大導(dǎo)體平面的電位為零第37頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

依據(jù)：惟一性定理。等效電荷的引入不能改變?cè)瓉淼倪吔鐥l件。關(guān)鍵：確定鏡像電荷的大小及其位置。

局限性：僅僅對(duì)于某些特殊的邊界以及特殊的電荷分布才有可能確定其鏡像電荷。

第38頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（2）點(diǎn)電荷與接地導(dǎo)體球

令鏡像點(diǎn)電荷q

位于球心與點(diǎn)電荷q的連線，則球面上任一點(diǎn)電位：

鏡像電荷電量必須選擇為：qfOPadrqr為使鏡像電荷具有確定值，必須要求比值對(duì)于球面上任一點(diǎn)均具同一數(shù)值。若△OPq~△OqP

，則鏡像電荷鏡像電荷離球心距離第39頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一l（3）線電荷與帶電的導(dǎo)體圓柱

在圓柱軸線與線電荷之間，離軸線的距離d處，平行放置一根鏡像線電荷

。因此，離線電荷r

處，以為參考點(diǎn)的電位為

Pafdr–lO已知無限長(zhǎng)線電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為，第40頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

若令鏡像線電荷產(chǎn)生的電位也取相同的作為參考點(diǎn)，則及在圓柱面上P點(diǎn)共同產(chǎn)生的電位為已知導(dǎo)體圓柱是一個(gè)等位體，必須要求比值與前同理，可令第41頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

（4）點(diǎn)電荷與無限大的介質(zhì)平面

E

1

1qr0E'EtEnq'

2

2q"E"

1

2qeten=+

對(duì)于上半空間，可用鏡像電荷q'

等效邊界上束縛電荷的作用，將整個(gè)空間變?yōu)榻殡姵?shù)為1的均勻空間。

對(duì)于下半空間，可用位于原點(diǎn)電荷處的q"

等效原來的點(diǎn)電荷q與邊界上束縛電荷的共同作用，將整個(gè)空間變?yōu)榻殡姵?shù)為2

的均勻空間。

第42頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

必須使所求得的場(chǎng)符合邊界條件，即電場(chǎng)切向分量和電通密度的法向分量應(yīng)該保持連續(xù)，即

已知各個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度分別為代入上述邊界條件，求得鏡像電荷如下：第43頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

例已知同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，電壓為U，外導(dǎo)體接地，其內(nèi)半徑為b。試求內(nèi)外導(dǎo)體之間的電位分布函數(shù)以及電場(chǎng)強(qiáng)度。

解對(duì)于該邊值問題，鏡像法不適用，只好求解電位方程。求得UbaO

選用圓柱坐標(biāo)系。由于場(chǎng)量?jī)H與坐標(biāo)r

有關(guān)，因此，電位所滿足的拉普拉斯方程變?yōu)榈?4頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一利用邊界條件：最后求得求得第45頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

為了利用給定的邊界條件，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是非常重要的。對(duì)于上述一維微分方程，可以采用直接積分方法。

分離變量法是將原先的三維偏微分方程通過變量分離簡(jiǎn)化為三個(gè)獨(dú)立的常微分方程，從而簡(jiǎn)化求解過程。

為了求解三維拉普拉斯方程，一種有效的方法就是分離變量法。分離變量法對(duì)于3種坐標(biāo)系都是行之有效的。第46頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3.直角坐標(biāo)系中的分離變量法

在直角坐標(biāo)系中，拉普拉斯方程展開式為

令式中的左邊各項(xiàng)僅與一個(gè)變量有關(guān)。因此，將上式對(duì)變量x

求導(dǎo)，第二項(xiàng)及第三項(xiàng)均為零，求得第一項(xiàng)對(duì)x

的導(dǎo)數(shù)為零，說明了第一項(xiàng)等于常數(shù)。代入上式，兩邊再除以，得

第47頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

同理，再分別對(duì)變量y

及z

求導(dǎo)，得知第二項(xiàng)及第三項(xiàng)也分別等于常數(shù)。令各項(xiàng)的常數(shù)分別為，求得式中，kx，ky，kz

稱為分離常數(shù)，它們可以是實(shí)數(shù)或虛數(shù)。三個(gè)分離常數(shù)不是獨(dú)立的，必須滿足下列方程第48頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一由上可見，經(jīng)過變量分離后，三維偏微分方程式被簡(jiǎn)化為三個(gè)一維常微分方程。常微分方程的求解較為簡(jiǎn)便，而且三個(gè)常微分方程又具有同一結(jié)構(gòu)，因此它們解的形式也一定相同。或者式中，A,B,C,D為待定常數(shù)。例如，含變量x

的常微分方程的通解為第49頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一當(dāng)kx為虛數(shù)時(shí)，令，則上述通解變?yōu)榛蛘吆兞縳

或y

的常微分方程的解完全相同。解中待定常數(shù)也取決于給定的邊界條件。解的形式的選擇決取于給定的邊界條件。

這些解的線性組合仍然是方程的解。通常為了滿足給定的邊界條件，必須取其線性組合作為方程的解。第50頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一一一一⊕⊕⊕⊕靜電屏蔽E=0E0⊕⊕⊕一一一⊕⊕⊕E0一一一⊕⊕⊕一一一⊕⊕⊕E=0⊕⊕⊕⊕第51頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

例已知半徑為r1

的導(dǎo)體球攜帶的正電荷量為q，該導(dǎo)體球被內(nèi)半徑為r2

的導(dǎo)體球殼所包圍，球與球殼之間填充介質(zhì)，其介電常數(shù)為1

，球殼的外半徑為r3

，球殼的外表面敷有一層介質(zhì)，該層介質(zhì)的外半徑為r4

，介電常數(shù)為2

，外部區(qū)域?yàn)檎婵?，如左下圖所示。試求：①各區(qū)域中的電場(chǎng)強(qiáng)度；

②各個(gè)表面上的自由電 荷和束縛電荷。r1r2r3r4

0

2

1可以應(yīng)用高斯定律求解嗎?第52頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解在r<r1及r2<r<r3

區(qū)域中

E=0

在r1<r<r2

區(qū)域中同理，在r3<r<r4

區(qū)域中，求得在r>r4

區(qū)域中，求得？注意，各區(qū)域中的介電常數(shù)不同！r1r2r3r4

0

2

1第53頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一根據(jù)及，分別求得r=r1:r=r4:r=r2:r=r3:r1r2r3r4

0

2

1第54頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1.電容的概念由物理學(xué)得知，平板電容器的電容為

電容的單位F（法拉）。C地球

F

實(shí)際中，使用F（微法）及

pF（皮法）作為電容單位。第55頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

多導(dǎo)體系統(tǒng)中,每個(gè)導(dǎo)體的電位與導(dǎo)體本身電荷及其他導(dǎo)體上的電荷均有關(guān)。

各個(gè)導(dǎo)體上的電荷與導(dǎo)體間電位差的關(guān)系為其中Cii

稱為固有部分電容；Cij

稱為互有部分電容。q1q3qnq2||||||||||||2.電容系數(shù)和部分電容第56頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

例已知同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，內(nèi)、外導(dǎo)體之間填充介質(zhì)的介電常數(shù)為

。試求單位長(zhǎng)度內(nèi)、外導(dǎo)體之間的電容。

解設(shè)內(nèi)導(dǎo)體單位長(zhǎng)度內(nèi)的電荷量為q，圍繞內(nèi)導(dǎo)體作一個(gè)單位長(zhǎng)度圓柱面作為高斯面S，則ab內(nèi)、外導(dǎo)體間電位差U為

單位長(zhǎng)度內(nèi)電容為

第57頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一9.電場(chǎng)能量

電場(chǎng)力作功，需要消耗自身的能量，可見靜電場(chǎng)是具有能量的。

外力反抗電場(chǎng)力作功，此功將轉(zhuǎn)變?yōu)殪o電場(chǎng)的能量?jī)?chǔ)藏在靜電場(chǎng)中。

根據(jù)電場(chǎng)力作功或外力作功與靜電場(chǎng)能量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，可以計(jì)算靜電場(chǎng)能量。十EF十十Ev十第58頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

首先根據(jù)外力作功與靜電場(chǎng)能量之間的關(guān)系計(jì)算電荷量為Q的孤立帶電體的能量。

設(shè)帶電體的電荷量Q

是從零開始逐漸由無限遠(yuǎn)處移入的。由于開始時(shí)并無電場(chǎng)，移入第一個(gè)微量

dq

時(shí)外力無需作功。當(dāng)?shù)诙€(gè)dq移入時(shí)，外力必須克服電場(chǎng)力作功。

若獲得的電位為

，則外力必須作的功為

dq

，因此，電場(chǎng)能量的增量為

dq

。第59頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

已知孤立導(dǎo)體的電位等于攜帶的電量Q

與電容C的之比，即求得電量為Q

的孤立帶電體具有的能量為

或者為

已知帶電體的電位隨著電荷荷的逐漸增加而不斷升高，可見電位是電量q的函數(shù)。那么當(dāng)電荷量增至最終值

Q

時(shí)，外力作的總功為第60頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

對(duì)于n

個(gè)帶電體，設(shè)每個(gè)帶電體的電荷量均從零開始，且以同樣的比例增長(zhǎng)。若周圍介質(zhì)是線性的，則當(dāng)各個(gè)帶電體的電荷量增加一倍時(shí)，各個(gè)帶電體的電位也升高一倍。

設(shè)第i

個(gè)帶電體的電位最終值為i，電荷量最終值為Qi，若某一時(shí)刻第i

個(gè)帶電體的電荷量為qi=Qi(<1)，則電位為第61頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

當(dāng)各個(gè)帶電體的電量同時(shí)分別增至最終值時(shí)，該系統(tǒng)的總電場(chǎng)能為

求得

那么當(dāng)各個(gè)帶電體的電荷量均以同一比例

增長(zhǎng)，外力必須作的功為第62頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

當(dāng)帶電體的電荷為連續(xù)的體分布、面分布或線分布電荷時(shí)，由，求得總能量為

式中，

(r)

為體元dV、面元dS、或線元

dl

所在處的電位；積分區(qū)域?yàn)殡姾煞植嫉恼麄€(gè)空間。

從場(chǎng)的觀點(diǎn)來看，靜電場(chǎng)的能量分布在電場(chǎng)所占據(jù)的整個(gè)空間，應(yīng)該計(jì)算靜電場(chǎng)的能量分布密度。靜電場(chǎng)的能量密度以小寫英文字母we表示。第63頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

設(shè)兩個(gè)導(dǎo)體攜帶的電荷量為Q1和Q2，其表面積分別為S1和S2，如下所示。

S2Q2Q1S1Venen

已知電荷分布在導(dǎo)體的表面上，因此，該系統(tǒng)的總能量為

又知，求得第64頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一S

若在無限遠(yuǎn)處再作一個(gè)無限大的球面S，由于電荷分布在有限區(qū)域，無限遠(yuǎn)處的電位及場(chǎng)強(qiáng)均趨于零。因此，積分

S2Q2Q1S1Venen那么，上面的儲(chǔ)能公式可寫為

式中。第65頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一考慮到區(qū)域V

中沒有自由電荷，所以。又，代入上式，求得由此求得靜電場(chǎng)的能量密度

利用散度定理，上式可寫第66頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一已知各向同性的線性介質(zhì)，，代入后得

此式表明，靜電場(chǎng)能量與電場(chǎng)強(qiáng)度平方成正比。因此，能量不符合疊加原理，多帶電體的總能量并不等于各個(gè)帶電體單獨(dú)存在時(shí)具有的各個(gè)能量之和。

因?yàn)榈?個(gè)帶電體引入系統(tǒng)時(shí)，外力必須反抗第1個(gè)帶電體對(duì)第2個(gè)帶電體產(chǎn)生的電場(chǎng)力而作功，此功轉(zhuǎn)變?yōu)殡妶?chǎng)能量，這份能量稱為互有能，而帶電體單獨(dú)存在時(shí)具有的能量稱為固有能。第67頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一能量計(jì)算第68頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

例計(jì)算半徑為a，電荷量為Q的導(dǎo)體球具有的能量。導(dǎo)體周圍介質(zhì)的介電常數(shù)為

。

解①通過電位。aQ可以通過三種途徑求解。已知半徑為a，電荷量為Q

的導(dǎo)體球的電位為第69頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一②通過表面電荷。③通過能量密度。求得已知導(dǎo)體表面是一個(gè)等位面，那么積分求得

已知電荷量為Q

的導(dǎo)體球外的電場(chǎng)強(qiáng)度為第70頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一10.電場(chǎng)力

某點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度在數(shù)值上等于單位正電荷在該點(diǎn)受到的電場(chǎng)力。因此，點(diǎn)電荷受到的電場(chǎng)力為

若上式中

E

為點(diǎn)電荷q產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度，則

式中，

為該點(diǎn)電荷周圍介質(zhì)的介電常數(shù)。第71頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一那么，點(diǎn)電荷q對(duì)于點(diǎn)電荷的作用力為

式中er

為由q

指向的單位矢量。庫(kù)侖定律qq'F第72頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

根據(jù)庫(kù)侖定律可以計(jì)算電場(chǎng)力。但是，對(duì)于電荷分布復(fù)雜的帶電系統(tǒng)，根據(jù)庫(kù)侖定律計(jì)算電場(chǎng)力是非常困難的。為了計(jì)算電場(chǎng)力，通常采用虛位移法。

這種方法是假定帶電體在電場(chǎng)作用下發(fā)生一定的位移，根據(jù)位移過程中電場(chǎng)能量的變化與外力及電場(chǎng)力所作的功之間的關(guān)系計(jì)算電場(chǎng)力。第73頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

以平板電容器為例，設(shè)兩極板上的電荷量分別為+q

及–q

，板間距離為l

。dll–

q+q

兩極板間的相互作用力實(shí)際上導(dǎo)致板間距離減小。因此，在上述假定下，求出的作用力應(yīng)為負(fù)值。

假定在電場(chǎng)力作用下，極板之間的距離增量為dl。第74頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

已假定作用力F

導(dǎo)致位移增加，因此，作用力F的方向?yàn)槲灰频脑黾臃较?。這樣，為了產(chǎn)生dl

位移增量，電場(chǎng)力作的功應(yīng)為式中，下標(biāo)“q=常數(shù)”

說明發(fā)生位移時(shí)，極板上的電荷量沒有變化，這樣的帶電系統(tǒng)稱為常電荷系統(tǒng)。

根據(jù)能量守恒定律，這部分功應(yīng)等于電場(chǎng)能量的減小值，即第75頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一已知平板電容器的電容及能量分別為式中，負(fù)號(hào)表明作用力的實(shí)際方向是指向位移減小的方向。代入前式求得平板電容器兩極板之間的作用力為第76頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

如果假定發(fā)生位移時(shí)，電容器始終與電源相連，這樣，在虛位移過程中，兩極板的電位保持不變，這種系統(tǒng)稱為常電位系統(tǒng)。

根據(jù)這種常電位的假定，也可以計(jì)算平板電容器兩極板之間的作用力，所得結(jié)果應(yīng)該與上完全相同。第77頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

由于位移增加，電容減小，為了保持電位不變，極板電荷一定增加。式中為兩極板之間的電壓。

常電位系統(tǒng)

設(shè)正極板的電荷增量為dq，負(fù)極板為–dq

，對(duì)應(yīng)的電位分別為

1

及

2

，則電場(chǎng)能量的增量為dll–2

+1

U+–第78頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

為了將dq電荷移至電位為1的正極板，將電荷–dq

移至電位為2

的負(fù)極板，外源必須作的功為

根據(jù)能量守恒定律，外源作功的一部分供給電場(chǎng)力作功，另一部分轉(zhuǎn)變?yōu)殡妶?chǎng)能的增量，因此第79頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一已知平板電容器的電容及能量分別為求得同樣結(jié)果如果利用庫(kù)侖定律，如何計(jì)算？那么能量為第80頁(yè)，共90頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

例利用虛位移法計(jì)算平板電容器極