河南省正陽(yáng)縣第二高級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年高三最后一卷數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷請(qǐng)考生注意:1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù),則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.已知函數(shù),,其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),若存在實(shí)數(shù),使成立,則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C. D.3.如圖所示,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為,粗線畫(huà)出的是某多面體的三視圖,則該幾何體的各個(gè)面中最大面的面積為()A. B. C. D.4.已知是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形,點(diǎn),分別是邊,的中點(diǎn),連接并延長(zhǎng)到點(diǎn),使得,則的值為()A. B. C. D.5.設(shè),則,則()A. B. C. D.6.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7.若,則的值為()A. B. C. D.8.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是,則()A.2 B.3 C.-2 D.-39.已知雙曲線:(,)的焦距為.點(diǎn)為雙曲線的右頂點(diǎn),若點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為,則雙曲線的離心率是()A. B. C.2 D.310.若復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位),則的共軛復(fù)數(shù)的模為()A. B.4 C.2 D.11.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限12.拋物線的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn),若點(diǎn),則的最小值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.某中學(xué)高一年級(jí)有學(xué)生1200人,高二年級(jí)有學(xué)生900人,高三年級(jí)有學(xué)生1500人,現(xiàn)按年級(jí)用分層抽樣的方法從這三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為720的樣本進(jìn)行某項(xiàng)研究,則應(yīng)從高三年級(jí)學(xué)生中抽取_____人.14.我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載“今有人共買(mǎi)物,人出八,盈三;人出七,不足四.問(wèn)人數(shù)、物價(jià)各幾何?”設(shè)人數(shù)、物價(jià)分別為、,滿足,則_____,_____.15.的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_________.16.設(shè)α、β為互不重合的平面,m,n是互不重合的直線,給出下列四個(gè)命題:①若m∥n,則m∥α;②若m?α,n?α,m∥β,n∥β,則α∥β;③若α∥β,m?α,n?β,則m∥n;④若α⊥β,α∩β=m,n?α,m⊥n,則n⊥β;其中正確命題的序號(hào)為_(kāi)____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)如圖,三棱臺(tái)的底面是正三角形,平面平面,.(1)求證:;(2)若,求直線與平面所成角的正弦值.18.(12分)在①,②,③這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問(wèn)題中,并解答.已知等差數(shù)列的公差為,等差數(shù)列的公差為.設(shè)分別是數(shù)列的前項(xiàng)和,且,,(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.19.(12分)如圖,三棱柱的側(cè)棱垂直于底面,且,,,,是棱的中點(diǎn).(1)證明:;(2)求二面角的余弦值.20.(12分)已知矩陣,二階矩陣滿足.(1)求矩陣;(2)求矩陣的特征值.21.(12分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓的離心率為,以橢圓C左頂點(diǎn)T為圓心作圓,設(shè)圓T與橢圓C交于點(diǎn)M與點(diǎn)N.(1)求橢圓C的方程;(2)求的最小值,并求此時(shí)圓T的方程;(3)設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上異于M,N的任意一點(diǎn),且直線MP,NP分別與x軸交于點(diǎn)R,S,O為坐標(biāo)原點(diǎn),求證:為定值.22.(10分)已知函數(shù).(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(Ⅱ)若存在滿足不等式,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡(jiǎn),由此求得對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限.【詳解】依題意,對(duì)應(yīng)點(diǎn)為,在第一象限.故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)除法運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)所在象限,屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】令f(x)﹣g(x)=x+ex﹣a﹣1n(x+1)+4ea﹣x,令y=x﹣ln(x+1),y′=1﹣=,故y=x﹣ln(x+1)在(﹣1,﹣1)上是減函數(shù),(﹣1,+∞)上是增函數(shù),故當(dāng)x=﹣1時(shí),y有最小值﹣1﹣0=﹣1,而ex﹣a+4ea﹣x≥4,(當(dāng)且僅當(dāng)ex﹣a=4ea﹣x,即x=a+ln1時(shí),等號(hào)成立);故f(x)﹣g(x)≥3(當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)同時(shí)成立時(shí),等號(hào)成立);故x=a+ln1=﹣1,即a=﹣1﹣ln1.故選:A.3、B【解析】

根據(jù)三視圖可以得到原幾何體為三棱錐,且是有三條棱互相垂直的三棱錐,根據(jù)幾何體的各面面積可得最大面的面積.【詳解】解:分析題意可知,如下圖所示,該幾何體為一個(gè)正方體中的三棱錐,最大面的表面邊長(zhǎng)為的等邊三角形,故其面積為,故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的三視圖問(wèn)題,解題的關(guān)鍵是要能由三視圖解析出原幾何體,從而解決問(wèn)題.4、D【解析】

設(shè),,作為一個(gè)基底,表示向量,,,然后再用數(shù)量積公式求解.【詳解】設(shè),,所以,,,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的基本運(yùn)算,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

根據(jù)換底公式可得,再化簡(jiǎn),比較的大小,即得答案.【詳解】,,.,顯然.,即,,即.綜上,.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查換底公式和對(duì)數(shù)的運(yùn)算,屬于中檔題.6、D【解析】

將復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)得,,即可得到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,即可得出結(jié)果.【詳解】,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,考查共軛復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)與平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)應(yīng),難度容易.7、C【解析】

根據(jù),再根據(jù)二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?,所以二?xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為:,令,所以,因此有.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,考查了二項(xiàng)式展開(kāi)式通項(xiàng)公式的應(yīng)用,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力8、B【解析】

根據(jù)求出再根據(jù)也在直線上,求出b的值,即得解.【詳解】因?yàn)椋运?,又也在直線上,所以,解得所以.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.9、A【解析】

由點(diǎn)到直線距離公式建立的等式,變形后可求得離心率.【詳解】由題意,一條漸近線方程為,即,∴,,即,,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率,掌握漸近線方程與點(diǎn)到直線距離公式是解題基礎(chǔ).10、D【解析】

由復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)算求出,再寫(xiě)出其共軛復(fù)數(shù),然后由模的定義計(jì)算模.【詳解】,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算,考查共軛復(fù)數(shù)與模的定義,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】

試題分析:由題意可得:.共軛復(fù)數(shù)為,故選A.考點(diǎn):1.復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算;2.以及復(fù)平面上的點(diǎn)與復(fù)數(shù)的關(guān)系12、B【解析】

通過(guò)拋物線的定義,轉(zhuǎn)化,要使有最小值,只需最大即可,作出切線方程即可求出比值的最小值.【詳解】解:由題意可知,拋物線的準(zhǔn)線方程為,,過(guò)作垂直直線于,由拋物線的定義可知,連結(jié),當(dāng)是拋物線的切線時(shí),有最小值,則最大,即最大,就是直線的斜率最大,設(shè)在的方程為:,所以,解得:,所以,解得,所以,.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的基本性質(zhì),直線與拋物線的位置關(guān)系,轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1.【解析】

先求得高三學(xué)生占的比例,再利用分層抽樣的定義和方法,即可求解.【詳解】由題意,高三學(xué)生占的比例為,所以應(yīng)從高三年級(jí)學(xué)生中抽取的人數(shù)為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分層抽樣的定義和方法,其中解答中熟記分層抽樣的定義和抽取的方法是解答的關(guān)鍵,著重考查了運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

利用已知條件,通過(guò)求解方程組即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)人數(shù)、物價(jià)分別為、,滿足,解得,.故答案為:;.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用,方程組的求解,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.15、31【解析】

由二項(xiàng)式定理及其展開(kāi)式得通項(xiàng)公式得:因?yàn)榈恼归_(kāi)式得通項(xiàng)為,則的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為:,得解.【詳解】解:,則的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為:.故答案為:31.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理及其展開(kāi)式的通項(xiàng)公式,求某項(xiàng)的導(dǎo)數(shù),考查計(jì)算能力.16、④【解析】

根據(jù)直線和平面,平面和平面的位置關(guān)系依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】對(duì)于①,當(dāng)m∥n時(shí),由直線與平面平行的定義和判定定理,不能得出m∥α,①錯(cuò)誤;對(duì)于②,當(dāng)m?α,n?α,且m∥β,n∥β時(shí),由兩平面平行的判定定理,不能得出α∥β,②錯(cuò)誤;對(duì)于③,當(dāng)α∥β,且m?α,n?β時(shí),由兩平面平行的性質(zhì)定理,不能得出m∥n,③錯(cuò)誤;對(duì)于④,當(dāng)α⊥β,且α∩β=m,n?α,m⊥n時(shí),由兩平面垂直的性質(zhì)定理,能夠得出n⊥β,④正確;綜上知,正確命題的序號(hào)是④.故答案為:④.【點(diǎn)睛】本題考查了直線和平面,平面和平面的位置關(guān)系,意在考查學(xué)生的空間想象能力和推斷能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(Ⅰ)見(jiàn)證明;(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)取的中點(diǎn)為,連結(jié),易證四邊形為平行四邊形,即,由于,為的中點(diǎn),可得到,從而得到,即可證明平面,從而得到;(Ⅱ)易證,,兩兩垂直,以,,分別為,,軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,求出平面的一個(gè)法向量為,設(shè)與平面所成角為,則,即可得到答案.【詳解】解:(Ⅰ)取的中點(diǎn)為,連結(jié).由是三棱臺(tái)得,平面平面,從而.∵,∴,∴四邊形為平行四邊形,∴.∵,為的中點(diǎn),∴,∴.∵平面平面,且交線為,平面,∴平面,而平面,∴.(Ⅱ)連結(jié).由是正三角形,且為中點(diǎn),則.由(Ⅰ)知,平面,,∴,,∴,,兩兩垂直.以,,分別為,,軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè),則,,,,∴,,.設(shè)平面的一個(gè)法向量為.由可得,.令,則,,∴.設(shè)與平面所成角為,則.【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何中,面面垂直的性質(zhì),線線垂直的證明,及線面角的求法,考查了學(xué)生的邏輯推理能力與計(jì)算求解能力,屬于中檔題.18、(1);(2)【解析】

方案一:(1)根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式列方程組,求出和,從而寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)由第(1)題的結(jié)論,寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng),采用分組求和、等比求和公式以及裂項(xiàng)相消法,求出數(shù)列的前項(xiàng)和.其余兩個(gè)方案與方案一的解法相近似.【詳解】解:方案一:(1)∵數(shù)列都是等差數(shù)列,且,,解得,綜上(2)由(1)得:方案二:(1)∵數(shù)列都是等差數(shù)列,且,解得,.綜上,(2)同方案一方案三:(1)∵數(shù)列都是等差數(shù)列,且.,解得,,.綜上,(2)同方案一【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用,考查了分組求和、等比求和及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和,屬于中檔題.19、(1)詳見(jiàn)解析;(2).【解析】

(1)根據(jù)平面,四邊形是矩形,由為中點(diǎn),且,利用平面幾何知識(shí),可得,又平面,所以,根據(jù)線面垂直的判定定理可有平面,從而得證.(2)分別以,,為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,得到,,,,分別求得平和平面的法向量,代入二面角向量公式求解.【詳解】(1)證明:∵平面,∴四邊形是矩形,∵為中點(diǎn),且,∴,∵,,,∴.∴,∵,∴與相似,∴,∴,∴,∵,∴平面,∴平面,∵平面,∴,∴平面,∴.(2)如圖,分別以,,為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,設(shè)平面的法向量為,則,,解得:,同理,平面的法向量,設(shè)二面角的大小為,則.即二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查線線垂直、線面垂直的轉(zhuǎn)化以及二面角的求法,還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和推理論證、運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.20、(1)(2)特征值為或.【解析】

(1)先設(shè)矩陣,根據(jù),按照運(yùn)算規(guī)律,即可求出矩陣.(2)令矩陣的特征多項(xiàng)式等于,即可求出矩陣的特征值.【詳解】解:(1)設(shè)矩陣由題意,因?yàn)?所以,即所以,(2)矩陣的特征多項(xiàng)式,令,解得或,所以矩陣的特征值為1或.【點(diǎn)睛】本題主要考查矩陣的乘法和矩陣的特征值,考查學(xué)生的劃歸與轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算求解能力.21、(1);(2);(3)【解析】

(1)依題意,得,,由此能求出橢圓C的方程.(2)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng),設(shè),,設(shè),由于點(diǎn)在橢圓C上,故,由,知,由此能求出圓T的方程.(3)設(shè),則直線MP的方程為:,令,得,同理:,由此能證明為定值.【詳解】(1)依題意,得,,,故橢圓C的方程為.(2)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng),設(shè),,設(shè),由于點(diǎn)在橢圓C上,所以,由,則,.由于,故當(dāng)時(shí),的最小值為,所以,故,又點(diǎn)在圓T上,代入圓的方程得到.故圓T的方程為:(3)設(shè),則直線MP的方程為:,令,得,同理:.故又點(diǎn)與點(diǎn)

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