線性代數(shù)考研講義完整版

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考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)講義

目錄

第一講基本概念

線性方程組矩陣與向量初等變換和階梯形矩陣線性方程組的矩陣消元法其次講行列式

完全展開式化零降階法其它性質(zhì)克萊姆法則第三講矩陣

乘法乘積矩陣的列向量和行向量矩陣分解矩陣方程逆矩陣伴隨矩陣第四講向量組

線性表示向量組的線性相關(guān)性向量組的極大無關(guān)組和秩矩陣的秩第五講方程組

解的性質(zhì)解的狀況的判別基礎(chǔ)解系和通解第六講特征向量與特征值相像與對角化

特征向量與特征值—概念,計算與應(yīng)用相像對角化—判斷與實現(xiàn)附錄一內(nèi)積正交矩陣施密特正交化實對稱矩陣的對角化第七講二次型

二次型及其矩陣可逆線性變量替換實對稱矩陣的合同標(biāo)準(zhǔn)化和規(guī)范化慣性指數(shù)正定二次型與正定矩陣

附錄二向量空間及其子空間

附錄三兩個線性方程組的解集的關(guān)系

附錄四06,07年考題

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第一講基本概念

1．線性方程組的基本概念線性方程組的一般形式為:a11x1+a12x2+?+a1nxn=b1,a21x1+a22x2+?+a2nxn=b2,????am1x1+am2x2+?+amnxn=bm,

其中未知數(shù)的個數(shù)n和方程式的個數(shù)m不必相等.

線性方程組的解是一個n維向量(k1,k2,?,kn)(稱為解向量),它滿足:當(dāng)每個方程中的未知數(shù)xi都用ki替代時都成為等式.

線性方程組的解的狀況有三種:無解,唯一解,無窮多解.

對線性方程組探討的主要問題兩個:(1)判斷解的狀況.(2)求解,特別是在有無窮多接時求通解.

b1=b2=?=bm=0的線性方程組稱為齊次線性方程組.

n維零向量總是齊次線性方程組的解,稱為零解.因此齊次線性方程組解的狀況只有兩種:唯一解(即只要零解)和無窮多解(即有非零解).

把一個非齊次線性方程組的每個方程的常數(shù)項都換成0，所得到的齊次線性方程組稱為原方程組的導(dǎo)出齊次線性方程組，簡稱導(dǎo)出組.

2.矩陣和向量(1)基本概念

矩陣和向量都是描寫事物形態(tài)的數(shù)量形式的發(fā)展.

由m?n個數(shù)排列成的一個m行n列的表格,兩邊界以圓括號或方括號,就成為一個m?n型矩陣.例如

2-101111102

254-29333-18是一個4?5矩陣.對于上面的線性方程組,稱矩陣

a11a12?a1na11a12?a1nb1A=a21a22?a2n和(A|?)=a21a22?a2nb2

???????am1am2?amnam1am2?amnbm

為其系數(shù)矩陣和增廣矩陣.增廣矩陣表達了方程組的全部信息,而齊次方程組只用系數(shù)矩陣就表達其全部信息.

一個矩陣中的數(shù)稱為它的元素,位于第i行第j列的數(shù)稱為(i,j)位元素.元素全為0的矩陣稱為零矩陣,尋常就記作0.

兩個矩陣A和B相等(記作A=B),是指它的行數(shù)相等,列數(shù)也相等(即它們的類型一致),并且對應(yīng)的元素都相等.

由n個數(shù)構(gòu)成的有序數(shù)組稱為一個n維向量,稱這些數(shù)為它的分量.

書寫中可用矩陣的形式來表示向量,例如分量依次是a1,a2,?,an的向量可表示成

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a1(a1,a2,?,an)或a2,┆an請注意,作為向量它們并沒有區(qū)別,但是作為矩陣,它們不一樣(左邊是1?n矩陣,右邊是n?1矩陣).習(xí)慣上把它們分別稱為行向量和列向量.(請注意與下面規(guī)定的矩陣的行向量和列向量概念的區(qū)別.)

一個m?n的矩陣的每一行是一個n維向量,稱為它的行向量;每一列是一個m維向量,稱為它的列向量.往往用矩陣的列向量組來寫出矩陣,例如當(dāng)矩陣A的列向量組為?1,??2,?,?n時(它們都是表示為列的形式!)可記A=(?1,??2,?,?n).

矩陣的大量概念也可對向量來規(guī)定,如元素全為0的向量稱為零向量,尋常也記作0.兩個向量?和?相等(記作?=?),是指它的維數(shù)相等,并且對應(yīng)的分量都相等.

(2)線性運算和轉(zhuǎn)置

線性運算是矩陣和向量所共有的,下面以矩陣為例來說明.

加(減)法:兩個m?n的矩陣A和B可以相加(減),得到的和(差)仍是m?n矩陣,記作A+B(A-B),法則為對應(yīng)元素相加(減).

數(shù)乘:一個m?n的矩陣A與一個數(shù)c可以相乘,乘積仍為m?n的矩陣,記作cA,法則為A的每個元素乘c.

這兩種運算統(tǒng)稱為線性運算,它們滿足以下規(guī)律:①加法交換律:A+B=B+A.

②加法結(jié)合律:(A+B)+C=A+(B+C).

③加乘分派律:c(A+B)=cA+cB.(c+d)A=cA+dA.④數(shù)乘結(jié)合律:c(d)A=(cd)A.⑤cA=0?c=0或A=0.

T

轉(zhuǎn)置:把一個m?n的矩陣A行和列互換,得到的n?m的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置,記作A(或A?).有以下規(guī)律:

TT

①(A)=A.

TTT

②(A+B)=A+B.

TT

③(cA)=cA.

轉(zhuǎn)置是矩陣所特有的運算,如把轉(zhuǎn)置的符號用在向量上,就意味著把這個向量看作矩

TT

陣了.當(dāng)?是列向量時,??表示行向量,?當(dāng)?是行向量時,?表示列向量.

向量組的線性組合:設(shè)?1,??2,?,?s是一組n維向量,c1,c2,?,cs是一組數(shù),則稱c1?1+c2?2+?+cs?s

為?1,??2,?,?s的(以c1,c2,?,cs為系數(shù)的)線性組合.

n維向量組的線性組合也是n維向量.

(3)n階矩陣與幾個特別矩陣

行數(shù)和列數(shù)相等的矩陣稱為方陣,行列數(shù)都為n的矩陣也往往叫做n階矩陣.

把n階矩陣的從左上到右下的對角線稱為它對角線.(其上的元素行號與列號相等.)

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下面列出幾類常用的n階矩陣,它們都是考試大綱中要求把握的.對角矩陣:對角線外的的元素都為0的n階矩陣.

單位矩陣:對角線上的的元素都為1的對角矩陣,記作E(或I).

數(shù)量矩陣:對角線上的的元素都等于一個常數(shù)c的對角矩陣,它就是cE.上三角矩陣:對角線下的的元素都為0的n階矩陣.下三角矩陣:對角線上的的元素都為0的n階矩陣.

T

對稱矩陣:滿足A=A矩陣.也就是對任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素總是相等的n階矩陣.

T

(反對稱矩陣:滿足A=-A矩陣.也就是對任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素之和總等于0的n階矩陣.反對稱矩陣對角線上的元素一定都是0.)

3.矩陣的初等變換和階梯形矩陣

矩陣有以下三種初等行變換:

①交換兩行的位置.

②用一個非0的常數(shù)乘某一行的各元素.

③把某一行的倍數(shù)加到另一行上.(稱這類變換為倍加變換)

類似地,矩陣還有三種初等列變換,大家可以模仿著寫出它們,這里省略了.初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱初等變換.

階梯形矩陣:一個矩陣稱為階梯形矩陣,假使?jié)M足:

①假使它有零行,則都出現(xiàn)在下面.

②假使它有非零行,則每個非零行的第一個非0元素所在的列號自上而下嚴(yán)格單調(diào)遞增.

把階梯形矩陣的每個非零行的第一個非0元素所在的位置稱為臺角.

簡單階梯形矩陣:是特別的階梯形矩陣,特點為:③臺角位置的元素為1.

④并且其正上方的元素都為0.

每個矩陣都可以用初等行變換化為階梯形矩陣和簡單階梯形矩陣.這種運算是在線性代數(shù)的各類計算題中頻繁運用的基本運算,必需十分熟練.

請注意:1.一個矩陣用初等行變換化得的階梯形矩陣并不是唯一的,但是其非零行數(shù)和臺角位置是確定的.

2.一個矩陣用初等行變換化得的簡單階梯形矩陣是唯一的.

4.線性方程組的矩陣消元法

線性方程組的基本方法即中學(xué)課程中的消元法:用同解變換把方程組化為階梯形方程組(即增廣矩陣為階梯形矩陣的方程組).

線性方程組的同解變換有三種:

①交換兩個方程的上下位置.②用一個非0的常數(shù)乘某個方程.

③把某個方程的倍數(shù)加到另一個方程上.

以上變換反映在增廣矩陣上就是三種初等行變換.

線性方程