電磁場的數(shù)學物理基礎(chǔ)知識

電磁場的數(shù)學物理基礎(chǔ)知識2023/4/131第1頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一第一章

電磁場的數(shù)學、物理基礎(chǔ)知識1-1電磁場與矢量代數(shù)

1-2正交曲面坐標系

1-3標量場及其梯度1-4矢量場的通量、散度與高斯散度定理1-5矢量場的環(huán)量、旋度與斯托克斯定理1-6亥姆赫茲定理1-7電磁場麥克斯韋方程組1-8矢量場惟一性定理2023/4/132第2頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一1-1電磁場與矢量代數(shù)1.1.1矢量及其表示方法1.1.2矢量相加(疊加)1.1.3矢量的乘積運算2023/4/133第3頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一1.1.1

矢量及其表示方法一個由大小和方向共同確定的物理量叫做矢量。

，

2023/4/134第4頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一1.1.2矢量相加(疊加)，

2023/4/135第5頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一1.1.3矢量的乘積運算

A?B=ABcosθ⑴A?B=B?A⑵(A+B)?C=A?C+B?C⑶λ(A

?B)=(λA)?

B=A?(λB)⑷若A⊥B，則A?B=01.矢量的標量積dotproduct，

兩個標量a與b相乘，標量參數(shù)之間可用“

”號、“

?

”

號或什么符號也不加，都代表二者之間的倍數(shù)關(guān)系，即2023/4/136第6頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一2.矢量的矢量積crossproduct

⑴A×B≠B×A

A×B

=－B×A⑵C

?(A+B)=C

?

A

+C

?

B⑶λ(A×B)=(λA)×B=

A×(λB)⑷若A∥B，則A×B=0C=A×B=ABsinθec

ec為垂直于A、B平面的單位矢量，A、B、C服從右手螺旋法則。2023/4/137第7頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一

3.矢量的混合積⑴轉(zhuǎn)換性

C

?

(

A×B)=

A?

(

B×C)=B?

(

C×A)

C

?

(

A×B)=|C|?|A×B|cosθ⑶三個矢量共面的條件

C

?

(

A×B)=0

Cx

Cy

Cz

C

?

(

A×B)=Ax

Ay

AzBx

ByBz⑵坐標表示式2023/4/138第8頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一

4.矢量的三重積

A

×

(B×C）⑴A×(B×C）≠（A×B）×C

不滿足結(jié)合律⑵A×(B×C）=（A?C)B－(A?B)C

2023/4/139第9頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一

矢量代數(shù)運算式均為矢量垂直于所在平面并與成右手螺旋關(guān)系。2023/4/1310第10頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一矢量代數(shù)運算式2023/4/1311第11頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一場的概念

場是一個以空間位置(x,y,z)和時間(t)為自變量的函數(shù)。標量場矢量場穩(wěn)恒場均勻場——描繪場的函數(shù)為標量函數(shù)φ=φ(x,y,z,t)——描繪場的函數(shù)為矢量函數(shù)A=A(x,y,z,t)——不隨時間變化的場φ(x,y,z),A(x,y,z)——不隨空間變化的場φ(t),A(t)2023/4/1312第12頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一

標量體元矢量面元矢量線元矢量積分運算矢量線積分矢量面積分標量體積分2023/4/1313第13頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一1-2正交曲面坐標系矢量線元把長度元與坐標元之比定義為拉梅(Lame)系數(shù)2023/4/1314第14頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一

直角坐標系

2023/4/1315第15頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一2023/4/1316第16頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一

圓柱坐標系2023/4/1317第17頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一2023/4/1318第18頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一

2023/4/1319第19頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一球坐標系2023/4/1320第20頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一2023/4/1321第21頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一，

2023/4/1322第22頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一2023/4/1323第23頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一1-3標量場及其梯度標量場u(x,y,z)的等值面U(x,y,z)=const2023/4/1324第24頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一標量場的梯度(gradient)梯度是描述標量場各點最大空間變化率的量——矢量。2023/4/1325第25頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一▽：哈密爾頓算符(del)哈密爾頓算符

——是一個兼有微分運算和矢量運算雙重性質(zhì)的運算符——服從矢量運算的規(guī)則；——代表一種微分運算，服從微分運算規(guī)則。①▽本身無獨立意義，只有作用于標量函數(shù)或矢量

函數(shù)時才代表一種運算。②只對它后邊的量起運算作用。不能隨便交換▽的

位置。▽矢量算子2023/4/1326第26頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一梯度的展開式

P82023/4/1327第27頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一

1-4矢量場的通量與散度矢量場A矢量線——曲線上任一點處場的矢量都沿著（位于）

該點的切線方向2023/4/1328第28頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一矢量場的描述有旋場無旋場2023/4/1329第29頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一矢量場的通量2023/4/1330第30頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一矢量場的散度(divergence)散度也是描述矢量場的一種空間變化率，其數(shù)值表征矢量場中任一點處場源的流(發(fā))散程度——標量2023/4/1331第31頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一散度展開式P112023/4/1332第32頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一

1-5矢量場的環(huán)量與旋度

若在閉合有向曲線l上，矢

量場A的方向處處與線元

dl的方向保持一致，則環(huán)

量大于零；若處處相反，

則環(huán)量小于零。因此，環(huán)

量既可以用來描述矢量場的渦旋特性，又可以根據(jù)其正負判斷矢量場的大致的旋轉(zhuǎn)方向。如果任意選擇一個閉合曲線，其環(huán)量總為零，則說明該矢量場為無旋場，否則稱為有旋場。若環(huán)量大于零，說明矢量場的渦旋方向與有向曲線的方向大體一致，否則旋轉(zhuǎn)方向與有向曲線的方向相逆。2023/4/1333第33頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一矢量場的旋度(curl)也是一種空間最大變化率，描述矢量場中每一點的渦旋（旋轉(zhuǎn)）強弱程度的量——矢量2023/4/1334第34頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一旋度的展開式

P14廣義正交曲面坐標系中旋度的展開式為直角坐標系中拉梅系數(shù)均為1，故2023/4/1335第35頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一

1-6矢量場中的常用定理梯度場、散度場和旋度場的關(guān)系定理矢量場的積分定理矢量場唯一性定理亥姆霍茲定理2023/4/1336第36頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一

⑴標量場的梯度為無旋場;⑵矢量場的旋度為無源(散)場;⑶無旋場必可表示為標量場的梯度；如，則必存在某一標量場ψ，使

得。⑷無源場必可表示為另一矢量場的旋度；如，則必存在某一矢量場，使得。梯度場、散度場和旋度場

的關(guān)系定理2023/4/1337第37頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一

⑸如果一個矢量場B為另一個矢量場的旋度，即，則任意選擇的值，矢量場的值不受影響。

這說明不論是有源場，還是無源場，或取任何值，對的渦旋性皆無影響。即矢量場的散度和旋度是彼此獨立的，不能相互代替。因此，對于一個矢量場只有同時研究它的散度和旋度才能準確的把握場的變化規(guī)律。

2023/4/1338第38頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一(1)高斯(散度)定理2.矢量場的積分定理此定理揭示了矢量場的“表里”關(guān)系。(2)斯托克斯定理

此定理揭示了矢量場的“邊面”關(guān)系。2023/4/1339第39頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一設(shè)有矢量場，在以S為界面的區(qū)域V內(nèi)，它的散度和旋度及其S面上的法向分量均已知,3.矢量場唯一性定理2023/4/1340第40頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一4.亥姆霍茲定理1)場與源，源與散度、旋度

矢量場是由場源激發(fā)出來的,應把源看作是產(chǎn)生場的起因；矢量場的散度對應于一個激發(fā)通量的源；矢量場的旋度對應于一個激發(fā)渦旋量(環(huán)流量)的源。

進一步說,用場的散度可唯一確場中任一點的通量源密度，用場的旋度可唯一確定場中任一點的環(huán)量源密度。2023/4/1341第41頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一假如在有限空間τ內(nèi),一個場矢量的散度和旋度處處已給定,邊界條件也已確定,那么,這個矢量場就是給定的了.進而這個矢量場還可用無旋場,一個標量函數(shù)的梯度;無散場,一個矢量函數(shù)的旋度之和來表示,即2)定理2023/4/1342第42頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一說明:

無旋場應存在如下關(guān)系:

無散場應存在如下關(guān)系:2023/4/1343第43頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一

研究一個矢量場時一定要從散度和旋度兩個方面進行。

既要導出矢量場散度應滿足的關(guān)系，又要導出矢量場旋度應滿足的關(guān)系，這種關(guān)系決定了場的基本性質(zhì),故又稱為微分形式的基本方程。也可用矢量沿閉合面的通量和矢量沿閉合路徑的環(huán)流去研究，從而得到積分形式的基本方程。3)定理的意義2023/4/1344