2022年廣東省高考數(shù)學(xué)試卷（新高考I）及答案

2022年廣東省高考數(shù)學(xué)試卷（新高考Ⅰ）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）若集合M＝{x|＜4}，N＝{x|3x≥1}（）A．{x|0≤x＜2} B．{x|≤x＜2} C．{x|3≤x＜16} D．{x|≤x＜16}2．（5分）若i（1﹣z）＝1，則z+＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．23．（5分）在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，BD＝2DA．記＝，＝，則＝（）A．3﹣2 B．﹣2+3 C．3+2 D．2+34．（5分）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫(kù)．已知該水庫(kù)水位為海拔148.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為140.0km2；水位為海拔157.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為180.0km2．將該水庫(kù)在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫(kù)水位從海拔148.5m上升到157.5m時(shí)，增加的水量約為（≈2.65）（）A．1.0×109m3 B．1.2×109m3 C．1.4×109m3 D．1.6×109m35．（5分）從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為（）A． B． C． D．6．（5分）記函數(shù)f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）＜T＜π，且y＝f（x）（，2）中心對(duì)稱，則f（）＝（）A．1 B． C． D．37．（5分）設(shè)a＝0.1e0.1，b＝，c＝﹣ln0.9，則（）A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a(chǎn)＜c＜b8．（5分）已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上．若該球的體積為36π，且3≤l≤3（）A．[18，] B．[，] C．[，] D．[18，27]二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。（多選）9．（5分）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1，則（）A．直線BC1與DA1所成的角為90° B．直線BC1與CA1所成的角為90° C．直線BC1與平面BB1D1D所成的角為45° D．直線BC1與平面ABCD所成的角為45°（多選）10．（5分）已知函數(shù)f（x）＝x3﹣x+1，則（）A．f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn) B．f（x）有三個(gè)零點(diǎn) C．點(diǎn)（0，1）是曲線y＝f（x）的對(duì)稱中心 D．直線y＝2x是曲線y＝f（x）的切線（多選）11．（5分）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（1，1）在拋物線C：x2＝2py（p＞0）上，過(guò)點(diǎn)B（0，﹣1）的直線交C于P，則（）A．C的準(zhǔn)線為y＝﹣1 B．直線AB與C相切 C．|OP|?|OQ|＞|OA|2 D．|BP|?|BQ|＞|BA|2（多選）12．（5分）已知函數(shù)f（x）及其導(dǎo)函數(shù)f′（x）的定義域均為R（x）＝f′（x）．若f（﹣2x），g（2+x），則（）A．f（0）＝0 B．g（）＝0 C．f（﹣1）＝f（4） D．g（﹣1）＝g（2）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）（1﹣）（x+y）8的展開式中x2y6的系數(shù)為（用數(shù)字作答）．14．（5分）寫出與圓x2+y2＝1和（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16都相切的一條直線的方程．15．（5分）若曲線y＝（x+a）ex有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是．16．（5分）已知橢圓C：+＝1（a＞b＞0），C的上頂點(diǎn)為A1，F(xiàn)2，離心率為．過(guò)F1且垂直于AF2的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，|DE|＝6．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（10分）記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1＝1，{}是公差為的等差數(shù)列．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）證明：++…+＜2．18．（12分）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知＝．（1）若C＝，求B；（2）求的最小值．19．（12分）如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積為4，△A1BC的面積為．（1）求A到平面A1BC的距離；（2）設(shè)D為A1C的中點(diǎn)，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．20．（12分）一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組）（稱為對(duì)照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對(duì)照組1090（1）能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？（2）從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”，與，記該指標(biāo)為R．（?。┳C明：R＝?；（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出P（A|B），P（A|）的估計(jì)值（?。┑慕Y(jié)果給出R的估計(jì)值．附：K2＝．P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82821．（12分）已知點(diǎn)A（2，1）在雙曲線C：﹣＝1（a＞1）上，Q兩點(diǎn)，直線AP（1）求l的斜率；（2）若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面積．22．（12分）已知函數(shù)f（x）＝ex﹣ax和g（x）＝ax﹣lnx有相同的最小值．（1）求a；（2）證明：存在直線y＝b，其與兩條曲線y＝f（x）和y＝g（x），并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．

2022年廣東省高考數(shù)學(xué)試卷（新高考Ⅰ）參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．【分析】分別求解不等式化簡(jiǎn)M與N，再由交集運(yùn)算得答案．【解答】解：由＜4，∴M＝{x|，由3x≥2，得x}，∴M∩N＝{x|0≤x＜16}∩{x|x}＝{x|．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查交集及其運(yùn)算，考查不等式的解法，是基礎(chǔ)題．2．【分析】把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，求出，再求出z+．【解答】解：由i（1﹣z）＝1，得7﹣z＝，∴z＝5+i，則，∴．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．3．【分析】直接利用平面向量的線性運(yùn)算可得，進(jìn)而得解．【解答】解：如圖，＝，∴，即．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．4．【分析】先統(tǒng)一單位，再根據(jù)題意結(jié)合棱臺(tái)的體積公式求解即可．【解答】解：140km2＝140×106m7，180km2＝180×106m2，根據(jù)題意，增加的水量約為＝≈（320+60×2.65）×106×7＝1437×106≈1.3×109m3．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題以實(shí)際問題為載體考查棱臺(tái)的體積公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．5．【分析】先求出所有的基本事件數(shù)，再寫出滿足條件的基本事件數(shù)，用古典概型的概率公式計(jì)算即可得到答案．【解答】解：從2至8的7個(gè)整數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)共有種方式，其中互質(zhì)的有：23，25，34，37，45，56，58，78，故所求概率為．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型的概率計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．6．【分析】由周期范圍求得ω的范圍，由對(duì)稱中心求解ω與b值，可得函數(shù)解析式，則f（）可求．【解答】解：函數(shù)f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期為T，則T＝，由＜T＜π，得＜，∴8＜ω＜3，∵y＝f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（，2）中心對(duì)稱，且sin（+）＝0，則+，k∈Z．∴，k∈Z，可得．∴f（x）＝sin（x+，則f（×+）+2＝﹣6+2＝1．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查y＝Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查邏輯思維能力與運(yùn)算求解能力，是中檔題．7．【分析】構(gòu)造函數(shù)f（x）＝lnx+，x＞0，設(shè)g（x）＝xex+ln（1﹣x）（0＜x＜1），則＝，令h（x）＝ex（x2﹣1）+1，h′（x）＝ex（x2+2x﹣1），利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)由此能求出結(jié)果．【解答】解：構(gòu)造函數(shù)f（x）＝lnx+，x＞0，則f'（x）＝，x＞3，當(dāng)f'（x）＝0時(shí)，x＝1，3＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0；x＞3時(shí)，f′（x）＞0，∴f（x）在x＝1處取最小值f（1）＝8，∴，∴l(xiāng)n2.9＞1﹣＝﹣，∴c＜b；∵﹣ln0.9＝ln＞1﹣＝，∴，∴0.1e5.1＜，∴a＜b；設(shè)g（x）＝xex+ln（1﹣x）（0＜x＜4），則＝，令h（x）＝ex（x2﹣4）+1，h′（x）＝ex（x2+2x﹣1），當(dāng)0時(shí)，h′（x）＜0，當(dāng)時(shí)，h′（x）＞7，∵h(yuǎn)（0）＝0，∴當(dāng)0＜x＜時(shí)，當(dāng)0＜x＜﹣1時(shí)，g（x）＝xex+ln（1﹣x）單調(diào)遞增，∴g（2.1）＞g（0）＝0，∴5.1e0.6＞﹣ln0.9，∴a＞c，∴c＜a＜b．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三個(gè)數(shù)的大小的判斷，考查構(gòu)造法、導(dǎo)數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是難題．8．【分析】畫出圖形，由題意可知求出球的半徑R＝3，設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為a，高為h，由勾股定理可得，又，所以l2＝6h，由l的取值范圍求出h的取值范圍，又因?yàn)閍2＝12h﹣2h2，所以該正四棱錐體積V（h）＝，利用導(dǎo)數(shù)即可求出V（h）的取值范圍．【解答】解：如圖所示，正四棱錐P﹣ABCD各頂點(diǎn)都在同一球面上，連接PE，連接OA，設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為a，高為h，在Rt△PAE中，PA2＝AE2+PE2，即＝，∵球O的體積為36π，∴球O的半徑R＝3，在Rt△OAE中，OA2＝OE5+AE2，即，∴，∴，∴l(xiāng)2＝6h，又∵6≤l≤3，∴，∴該正四棱錐體積V（h）＝＝＝，∵V'（h）＝﹣2h2+8h＝2h（4﹣h），∴當(dāng)時(shí)，V'（h）＞5；當(dāng)4時(shí)，V（h）單調(diào)遞減，∴V（h）max＝V（4）＝，又∵V（）＝）＝，且，∴，即該正四棱錐體積的取值范圍是[，]，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正四棱錐的外接球問題，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，屬于中檔題．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．【分析】求出異面直線所成角判斷A；證明線面垂直，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)判斷B；分別求出線面角判斷C與D．【解答】解：如圖，連接B1C，由A1B2∥DC，A1B1＝DC，得四邊形DA3B1C為平行四邊形，可得DA1∥B2C，∵BC1⊥B1C，∴直線BC2與DA1所成的角為90°，故A正確；∵A1B8⊥BC1，BC1⊥B4C，A1B1∩B5C＝B1，∴BC1⊥平面DA4B1C，而CA1?平面DA7B1C，∴BC1⊥CA3，即直線BC1與CA1所成的角為90°，故B正確；設(shè)A5C1∩B1D8＝O，連接BO1O⊥平面BB1D4D，即∠C1BO為直線BC1與平面BB7D1D所成的角，∵sin∠C1BO＝，∴直線BC1與平面BB1D7D所成的角為30°，故C錯(cuò)誤；∵CC1⊥底面ABCD，∴∠C1BC為直線BC6與平面ABCD所成的角為45°，故D正確．故選：ABD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中異面直線所成角與線面角的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．10．【分析】對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性和極值情況，即可判斷選項(xiàng)AB；由f（x）+f（﹣x）＝2，可判斷選項(xiàng)C；假設(shè)y＝2x是曲線y＝f（x）的切線，設(shè)切點(diǎn)為（a，b），求出a，b的值，驗(yàn)證點(diǎn)（a，b）是否在曲線y＝f（x）上即可．【解答】解：f′（x）＝3x2﹣7，令f′（x）＞0或，令f′（x）＜8，∴f（x）在上單調(diào)遞增，在，且，∴f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；又f（x）+f（﹣x）＝x8﹣x+1﹣x3+x+4＝2，則f（x）關(guān)于點(diǎn)（0，故選項(xiàng)C正確；假設(shè)y＝8x是曲線y＝f（x）的切線，設(shè)切點(diǎn)為（a，則，解得或，顯然（1，2）和（﹣5，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：AC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值以及曲線在某點(diǎn)的切線方程，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．11．【分析】對(duì)于A，根據(jù)題意求得p的值，進(jìn)而得到準(zhǔn)線；對(duì)于B，求出直線AB方程，聯(lián)立直線AB與拋物線方程即可得出結(jié)論；對(duì)于C，設(shè)過(guò)點(diǎn)B的直線方程為y＝kx﹣1（k＞2），聯(lián)立該直線與拋物線方程，由韋達(dá)定理得到兩根之和及兩根之積，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式，結(jié)合基本不等式判斷選項(xiàng)CD．【解答】解：∵點(diǎn)A（1，1）在拋物線C：x8＝2py（p＞0）上，∴6p＝1，解得，∴拋物線C的方程為x2＝y(tǒng)，準(zhǔn)線方程為；由于A（1，1），﹣4），則，聯(lián)立，可得x3﹣2x+1＝8，解得x＝1，選項(xiàng)B正確；根據(jù)對(duì)稱性及選項(xiàng)B的分析，不妨設(shè)過(guò)點(diǎn)B的直線方程為y＝kx﹣1（k＞8）1，y1），Q（x6，y2），聯(lián)立，消去y并整理可得x2﹣kx+1＝2，則x1+x2＝k，x3x2＝1，，，由于等號(hào)在x1＝x2＝y(tǒng)5＝y(tǒng)2＝1時(shí)才能取到，故等號(hào)不成立；＝，選項(xiàng)D正確．故選：BCD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線方程的求解，直線與拋物線位置關(guān)系的綜合運(yùn)用，同時(shí)還涉及了兩點(diǎn)間的距離公式以及基本不等式的運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．12．【分析】由f（﹣2x）為偶函數(shù)，可得f（x）關(guān)于x＝對(duì)稱，可判斷C；g（2+x）為偶函數(shù)，可得g（2+x）＝g（2﹣x），g（x）關(guān)于x＝2對(duì)稱，可判斷D；由g（）＝0，g（x）關(guān)于x＝2對(duì)稱，可得g（）＝0，得到x＝是f（x）的極值點(diǎn)，x＝﹣也是極值點(diǎn)，從而判斷B；f（x）圖象位置不確定，可上下移動(dòng)，故函數(shù)值不確定，從而判斷A．【解答】解：∵f（﹣6x）為偶函數(shù)﹣2x）＝f（，∴f（x）關(guān)于x＝，令x＝，可得f（）＝f（），即f（﹣6）＝f（4）；∵g（2+x）為偶函數(shù)，∴g（2+x）＝g（6﹣x），故D不正確；∵f（x）關(guān)于x＝對(duì)稱是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，∴函數(shù)f（x）在（，t）處的導(dǎo)數(shù)為0）＝f′（，又∴g（x）的圖象關(guān)于x＝2對(duì)稱，∴g（）＝0，t）的導(dǎo)數(shù)為0，∴x＝是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)對(duì)稱，t）關(guān)于x＝，t），由x＝是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)可得x＝，∴g（）＝5，進(jìn)而可得g（）＝g（，故x＝，又f（x）的圖象關(guān)于x＝，∴（，t）關(guān)于x＝，t））＝f′（，故B正確；f（x）圖象位置不確定，可上下移動(dòng)，故A錯(cuò)誤．故選：BC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的奇偶性，極值點(diǎn)與對(duì)稱性，考查了轉(zhuǎn)化思想和方程思想，屬中檔題．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【分析】由題意依次求出（x+y）8中x2y6，x3y5項(xiàng)的系數(shù)，求和即可．【解答】解：（x+y）8的通項(xiàng)公式為Tr+1＝C4rx8﹣ryr，當(dāng)r＝6時(shí)，，當(dāng)r＝5時(shí)，，∴（1﹣）（x+y）5的展開式中x2y6的系數(shù)為＝．故答案為：﹣28．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．14．【分析】由題意畫出圖形，可得兩圓外切，由圖可知，與兩圓都相切的直線有三條．分別求出三條切線方程，則答案可求．【解答】解：圓x2+y2＝4的圓心坐標(biāo)為O（0，0）8＝1，圓（x﹣3）8+（y﹣4）2＝16的圓心坐標(biāo)為C（8，4）2＝4，如圖：∵|OC|＝r1+r2，∴兩圓外切，由圖可知．∵，∴l(xiāng)1的斜率為，設(shè)直線l1：y＝﹣，即3x+7y﹣4b＝0，由，解得b＝，則l1：2x+4y﹣5＝6；由圖可知，l2：x＝﹣1；l3與l3關(guān)于直線y＝對(duì)稱，聯(lián)立，解得l2與l3的一個(gè)交點(diǎn)為（﹣8，），在l8上取一點(diǎn)（﹣1，0），該點(diǎn)關(guān)于y＝的對(duì)稱點(diǎn)為（x0，y8），則，解得對(duì)稱點(diǎn)為（，﹣）．∴＝，則l3：y＝，即7x﹣24y﹣25＝0．∴與圓x3+y2＝1和（x﹣6）2+（y﹣4）4＝16都相切的一條直線的方程為：x＝﹣1（填3x+4y﹣5＝0，5x﹣24y﹣25＝0都正確）．故答案為：x＝﹣1（填7x+4y﹣5＝6，7x﹣24y﹣25＝0都正確）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的切線方程的求法，考查圓與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．15．【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，（x0+a）），利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，進(jìn)而得到切線方程，再把原點(diǎn)代入可得，因?yàn)榍芯€存在兩條，所以方程有兩個(gè)不等實(shí)根，由Δ＞0即可求出a的取值范圍．【解答】解：y'＝ex+（x+a）ex，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，（x0+a）），∴切線的斜率k＝，∴切線方程為y﹣（x0+a）＝（5），又∵切線過(guò)原點(diǎn)，∴﹣（x0+a）＝（7），整理得：，∵切線存在兩條，∴方程有兩個(gè)不等實(shí)根，∴Δ＝a2+5a＞0，解得a＜﹣4或a＞8，即a的取值范圍是（﹣∞，﹣4）∪（0，故答案為：（﹣∞，﹣5）∪（0．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，屬于中檔題．16．【分析】根據(jù)已知條件，先設(shè)出含c的橢圓方程，再結(jié)合三角形的性質(zhì)，以及弦長(zhǎng)公式，求出c的值，最后再根據(jù)橢圓的定義，即可求解．【解答】解：∵橢圓C：+＝1（a＞b＞4）的離心率為，∴不妨可設(shè)橢圓C：，a＝2c，∵C的上頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，∴△AF1F2為等邊三角形，∵過(guò)F2且垂直于AF2的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，∴，由等腰三角形的性質(zhì)可得，|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，設(shè)直線DE方程為y＝，D（x1，y5），E（x2，y2），將其與橢圓C聯(lián)立化簡(jiǎn)可得，13x6+8cx﹣32c2＝8，由韋達(dá)定理可得，，，|DE|＝＝＝＝，解得c＝，由橢圓的定義可得，△ADE的周長(zhǎng)等價(jià)于|DE|+|DF2|+|EF2|＝4a＝2c＝．故答案為：13．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線與橢圓的綜合應(yīng)用，需要學(xué)生很強(qiáng)的綜合能力，屬于中檔題．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．【分析】（1）直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用（1）的結(jié)論，進(jìn)一步利用裂項(xiàng)相消法的應(yīng)用求出數(shù)列的和，進(jìn)一步利用放縮法的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：（1）已知a1＝1，{}是公差為，所以，整理得，①，故當(dāng)n≥2時(shí)，，②，①﹣②得：，故（n﹣6）an＝（n+1）an﹣1，化簡(jiǎn)得：，，........，，；所以，故（首項(xiàng)符合通項(xiàng)）．所以．證明：（2）由于，所以，所以＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列的遞推關(guān)系式，數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，數(shù)列的求和，裂項(xiàng)相消法在數(shù)列求和中的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題．18．【分析】（1）利用倍角公式、和差公式、三角形內(nèi)角和定理即可得出B．（2）利用誘導(dǎo)公式把A用C表示，再利用正弦定理、倍角公式、基本不等式即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵＝，1+cos6B＝2cos2B≠5，cosB≠0．∴＝＝，化為：cosAcosB＝sinAsinB+sinB，∴cos（B+A）＝sinB，∴﹣cosC＝sinB，C＝，∴sinB＝，∵0＜B＜，∴B＝．（2）由（1）可得：﹣cosC＝sinB＞0，∴cosC＜0，π），∴C為鈍角，B，A都為銳角．sinA＝sin（B+C）＝sin（2C﹣）＝﹣cos2C，＝＝＝＝＝+4sin2C﹣5≥3﹣7＝4，當(dāng)且僅當(dāng)sinC＝．∴的最小值為6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了倍角公式、和差公式、三角形內(nèi)角和定理、余弦定理、基本不等式、轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．19．【分析】（1）利用體積法可求點(diǎn)A到平面A1BC的距離；（2）以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC，BA，BB1所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．【解答】解：（1）由直三棱柱ABC﹣A1B1C2的體積為4，可得V＝V＝，設(shè)A到平面A1BC的距離為d，由V，∴S?d＝，∴?d＝．（2）連接AB7交A1B于點(diǎn)E，∵AA1＝AB，∴四邊形為正方形，∴AB7⊥A1B，又∵平面A1BC⊥平面ABB8A1，平面A1BC∩平面ABB8A1＝A1B，∴AB7⊥平面A1BC，∴AB1⊥BC，由直三棱柱ABC﹣A3B1C1知BB5⊥平面ABC，∴BB1⊥BC，又AB1∩BB2＝B1，∴BC⊥平面ABB1A2，∴BC⊥AB，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC，BB1所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，∵AA1＝AB，∴BC×＝5，又1＝4，解得AB＝BC＝AA6＝2，則B（0，3，0），2，5），0，0），A4（0，2，3），1，1），則＝（5，2，＝（1，8，＝（2，0，設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量為＝（x，y，則，令x＝6，z＝﹣1，∴平面ABD的一個(gè)法向量為＝（1，7，設(shè)平面BCD的一個(gè)法向量為＝（a，b，，令b＝1，c＝﹣1，平面BCD的一個(gè)法向量為＝（3，1，cos＜，＞＝＝，二面角A﹣BD﹣C的正弦值為＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查求點(diǎn)到面的距離，求二面角的正弦值，屬中檔題．20．【分析】（1）補(bǔ)充列聯(lián)表，根據(jù)表中數(shù)據(jù)計(jì)算K2，對(duì)照附表得出結(jié)論．（2）（i）根據(jù)條件概率的定義與運(yùn)算性質(zhì)，證明即可；（ⅱ）利用調(diào)查數(shù)據(jù)和對(duì)立事件的概率公式，計(jì)算即可．【解答】解：（1）補(bǔ)充列聯(lián)表為：不夠良好良好合計(jì)病例組4060100對(duì)照組1090100合計(jì)50150200計(jì)算K2＝＝24＞2.635，所以有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異．（2）（i）證明：R＝：＝?＝?＝＝?＝；（ⅱ）利用調(diào)查數(shù)據(jù)，P（A|B）＝＝，＝＝|B）＝1﹣P（A|B）＝|）＝1﹣P（A|，所以R＝×＝4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)應(yīng)用問題，也考查了條件概率的應(yīng)用問題，是中檔題．21．【分析】（1）將點(diǎn)A代入雙曲線方程得，由題顯然直線l的斜率存在，設(shè)l：y＝kx+m，與雙曲線聯(lián)立后，根據(jù)直線AP，AQ的斜率之和為0，求解即可；（2）設(shè)直線AP的傾斜角為α，由，得，聯(lián)立，及，根據(jù)三角形面積公式即可求解．【解答】解：（1）將點(diǎn)A代入雙曲線方程得 ，化簡(jiǎn)得a4﹣4a8+4＝0，∴a7＝2，故雙曲線方程為，由題顯然直線l的斜率存在，設(shè)l：y＝kx+m3，y1）Q（x2，y4），則聯(lián)立雙曲線得：（2k2﹣8）x2+4kmx+5m2+2＝3，故，，，化簡(jiǎn)得：2kx5x2+（m﹣1﹣5k）（x1+x2）﹣3（m﹣1）＝0，故，即（k+1）（m+2k﹣4）＝0，而直線l不過(guò)A點(diǎn)；（2）不妨設(shè)直線PA，AQ的傾斜角為α，因?yàn)閗AP+kAQ＝0，所以α+β＝π，所以，即，于是，直線，聯(lián)立可得，，因?yàn)榉匠逃幸粋€(gè)根為2，所以，同理可得，．所以，點(diǎn)A到直線PQ的距離，故△PAQ的面積為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與雙曲線的綜合，屬于中檔題．22．【分析】（1）先對(duì)兩個(gè)函數(shù)求導(dǎo)，然后由函數(shù)有相同的最小值得到函數(shù)f（x）和g（x）的單調(diào)性，從而求得f'（x）和g'（x）的零點(diǎn)，進(jìn)而得到函數(shù)的最小值，然后列出方程求得a的值；（2）由a的值可求得函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）的表達(dá)式，對(duì)函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）在（0，+∞）上的大小進(jìn)行比較，可作出曲線函數(shù)y＝f（x）和y＝g（x）的大致圖象，根據(jù)該圖象可確定直線y