測量誤差的基本理論

測量誤差的基本理論第1頁，共51頁，2023年，2月20日，星期日§6-1概述一、測量誤差的概念人們對客觀事物或現(xiàn)象的認識總會存在不同程度的誤差。這種誤差在對變量進行觀測和量測的過程中反映出來，稱為測量誤差。二、觀測與觀測值的分類1．同精度觀測和不同精度觀測在相同的觀測條件下，即用同一精度等級的儀器、設備，用相同的方法和在相同的外界條件下，由具有大致相同技術水平的人所進行的觀測稱為同精度觀測，其觀測值稱為同精度觀測值或等精度觀測值。反之，則稱為不同精度觀測，其觀測值稱為不同（不等）精度觀測值。

第2頁，共51頁，2023年，2月20日，星期日§6-1概述二、觀測與觀測值的分類2．直接觀測和間接觀測為確定某未知量而直接進行的觀測，即被觀測量就是所求未知量本身，稱為直接觀測，觀測值稱為直接觀測值。通過被觀測量與未知量的函數(shù)關系來確定未知量的觀測稱為間接觀測，觀測值稱為間接觀測值。3．獨立觀測和非獨立觀測各觀測量之間無任何依存關系，是相互獨立的觀測，稱為獨立觀測，觀測值稱為獨立觀測值。若各觀測量之間存在一定的幾何或物理條件的約束，則稱為非獨立觀測，觀測值稱為非獨立觀測值。第3頁，共51頁，2023年，2月20日，星期日§6-1概述三、測量誤差及其來源1．測量誤差的定義真值：客觀存在的值“X”（通常不知道）真誤差：真值與觀測值之差，即：真誤差=真值-觀測值

2．測量誤差的反映測量誤差是通過“多余觀測”產(chǎn)生的差異反映出來的。3．測量誤差的來源（1）測量儀器：儀器精度的局限、軸系殘余誤差等。（2）觀測者：判斷力和分辨率的限制、經(jīng)驗等。（3）外界環(huán)境條件：溫度變化、風、大氣折光等。

第4頁，共51頁，2023年，2月20日，星期日§6-1概述四、測量誤差的種類按測量誤差對測量結果影響性質的不同，可將測量誤差分為系統(tǒng)誤差和偶然誤差兩類。1．系統(tǒng)誤差在相同的觀測條件下，對某量進行的一系列觀測中，數(shù)值大小和正負符號固定不變或按一定規(guī)律變化的誤差，稱為系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差可以消除或減弱。(計算改正、觀測方法、儀器檢校)例：誤差處理方法

鋼尺尺長誤差ld

計算改正

鋼尺溫度誤差lt

計算改正

水準儀視準軸誤差I

操作時抵消(前后視等距)

經(jīng)緯儀視準軸誤差C

操作時抵消(盤左盤右取平均)

…………第5頁，共51頁，2023年，2月20日，星期日§6-1概述四、測量誤差的種類2．偶然誤差在相同的觀測條件下對某量進行一系列觀測，單個誤差的出現(xiàn)沒有一定的規(guī)律性，其數(shù)值的大小和符號都不固定，表現(xiàn)出偶然性，這種誤差稱為偶然誤差，又稱為隨機誤差。例：估讀數(shù)、氣泡居中判斷、瞄準、對中等誤差，導致觀測值產(chǎn)生誤差。第6頁，共51頁，2023年，2月20日，星期日§6-1概述四、測量誤差的種類

幾個概念:準確度：(測量成果與真值的差異，取決于系統(tǒng)誤差的大?。┚埽┒龋?觀測值之間的離散程度，取決于偶然誤差的大?。?/p>

最或是值：（最接近真值的估值，最可靠值）；

測量平差：（求解最或是值并評定精度）。第7頁，共51頁，2023年，2月20日，星期日§6-1概述五、偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù)例如，在相同條件下對某一個平面三角形的三個內角重復觀測了358次，由于觀測值含有誤差，故每次觀測所得的三個內角觀測值之和一般不等于180°，按下式算得三角形各次觀測的真誤差i，然后對三角形閉合差i進行分析。分析結果表明，當觀測次數(shù)很多時，偶然誤差的出現(xiàn)，呈現(xiàn)出統(tǒng)計學上的規(guī)律性。而且，觀測次數(shù)越多，規(guī)律性越明顯。第8頁，共51頁，2023年，2月20日，星期日§6-1概述誤差區(qū)間負誤差正誤差個數(shù)相對個數(shù)個數(shù)相對個數(shù)0.0～0.2450.126460.1280.2～0.4400.112410.1150.4～0.6330.092330.0920.6～0.8230.064210.0590.8～1.0170.047160.0451.0～1.2130.036130.0361.2～1.460.01750.0141.4～1.640.01120.0061.6以上00.00000.000總和1810.5051770.495第9頁，共51頁，2023年，2月20日，星期日§6-1概述五、偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù)偶然誤差的四個特性：（1）有界性：在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限度，即偶然誤差是有界的；（2）單峰性：絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的機會大；（3）對稱性：絕對值相等的正、負誤差出現(xiàn)的機會相等；（4）補償性：在相同條件下，對同一量進行重復觀測，偶然誤差的算術平均值隨著觀測次數(shù)的無限增加而趨于零，即第10頁，共51頁，2023年，2月20日，星期日§6-1概述五、偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù)用頻率直方圖表示的偶然誤差統(tǒng)計：頻率直方圖中，每一條形的面積表示誤差出現(xiàn)在該區(qū)間的頻率k/n，而所有條形的總面積等于1。頻率直方圖的中間高、兩邊低，并向橫軸逐漸逼近，對稱于y軸。各條形頂邊中點連線經(jīng)光滑后的曲線形狀，表現(xiàn)出偶然誤差的普遍規(guī)律。第11頁，共51頁，2023年，2月20日，星期日§6-1概述五、偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù)用頻率直方圖表示的偶然誤差統(tǒng)計：當觀測次數(shù)n無限增多(n→∞)、誤差區(qū)間d無限縮小(d→0)時，各矩形的頂邊就連成一條光滑的曲線,這條曲線稱為“正態(tài)分布曲線”，又稱為“高斯誤差分布曲線”。所以偶然誤差具有正態(tài)分布的特性。第12頁，共51頁，2023年，2月20日，星期日§6-1概述五、偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù)偶然誤差處理方式第13頁，共51頁，2023年，2月20日，星期日§6-2衡量精度的指標一、精度精確度是準確度與精密度的總稱。對基本排除系統(tǒng)誤差，而以偶然誤差為主的一組觀測值，用精密度來評價該組觀測值質量的優(yōu)劣。精密度簡稱精度。二、中誤差某觀測值真值X已知；（設在相同觀測條件下，對任一個未知量進行了n次觀測，其觀測值分別為、、，n個觀測值的真誤差、、。為了避免正負誤差相抵消和明顯地反映觀測值中較大誤差的影響，通常是以各個真誤差的平方和的平均值再開方作為評定該組每一觀測值的精度的標準，即第14頁，共51頁，2023年，2月20日，星期日§6-2衡量精度的指標二、中誤差某觀測值真值X已知；（設在相同觀測條件下，對任一個未知量進行了n次觀測，其觀測值分別為、、，n個觀測值的真誤差、、。為了避免正負誤差相抵消和明顯地反映觀測值中較大誤差的影響，通常是以各個真誤差的平方和的平均值再開方作為評定該組每一觀測值的精度的標準，即m稱為中誤差，m小精度高；m大精度低。n－觀測值個數(shù)

真誤差第15頁，共51頁，2023年，2月20日，星期日§6-2衡量精度的指標二、中誤差例:設有甲、乙兩個小組，對三角形的內角和進行了9次觀測，分別求得其真誤差為：甲組：乙組：試比較這兩組觀測值的中誤差。解：說明乙組的觀測精度比甲組高。第16頁，共51頁，2023年，2月20日，星期日§6-2衡量精度的指標三、容許誤差根據(jù)誤差分布的密度函數(shù)，誤差出現(xiàn)在微分區(qū)間d內的概率為：誤差出現(xiàn)在K倍中誤差區(qū)間內的概率為：將K=1、2、3分別代入上式，可得到偶然誤差分別出現(xiàn)在一倍、二倍、三倍中誤差區(qū)間內的概率：P(||m)=0.683=68.3；P(||2m)=0.954=95.4P(||3m)=0.997=99.7第17頁，共51頁，2023年，2月20日，星期日§6-2衡量精度的指標三、容許誤差將K=1、2、3分別代入上式，可得到偶然誤差分別出現(xiàn)在一倍、二倍、三倍中誤差區(qū)間內的概率：P(||m)=0.683=68.3；P(||2m)=0.954=95.4P(||3m)=0.997=99.7測量中，一般取兩倍中誤差(2m)作為容許誤差，也稱為限差：|容|=3|m|或|容|=2|m第18頁，共51頁，2023年，2月20日，星期日§6-2衡量精度的指標四、相對誤差(相對中誤差)

—中誤差絕對值與觀測量之比。用分子為1的分數(shù)表示。分數(shù)值較小相對精度較高；分數(shù)值較大相對精度較低。例：用鋼尺丈量兩段距離分別得S1=100米,m1=0.02m；S2=200米,m2=0.03m。計算S1、S2的相對誤差。解：K2<K1，所以距離S2精度較高。第19頁，共51頁，2023年，2月20日，星期日§6-3算術平均值及其中誤差一、算術平均值設在相同的觀測條件下，對某未知量進行了n次觀測，得n個觀測值1,2,···,n,則該量的算術平均值為x：第20頁，共51頁，2023年，2月20日，星期日§6-3算術平均值及其中誤差一、算術平均值證明算術平均值為該量的最或是值：設該量的真值為X，則各觀測值的真誤差為：當觀測次數(shù)無限多時，觀測值的算術平均值就是該量的真值；當觀測次數(shù)有限時，觀測值的算術平均值最接近真值。所以，算術平均值是最或是值。第21頁，共51頁，2023年，2月20日，星期日§6-3算術平均值及其中誤差二、觀測值改正數(shù)未知量的最或是值x與觀測值li之差稱為觀測值改正數(shù)vi，即第22頁，共51頁，2023年，2月20日，星期日§6-3算術平均值及其中誤差三、由觀測值改正數(shù)計算觀測值中誤差第23頁，共51頁，2023年，2月20日，星期日§6-3算術平均值及其中誤差三、由觀測值改正數(shù)計算觀測值中誤差第24頁，共51頁，2023年，2月20日，星期日§6-3算術平均值及其中誤差四、算術平均值中誤差算術平均值的中誤差Mx，可由下式計算:第25頁，共51頁，2023年，2月20日，星期日§6-4誤差傳播定律一、誤差傳播定律定義：表述觀測值函數(shù)的中誤差與觀測值中誤差之間關系的定律稱為誤差傳播定律。?如何由觀測值精度評定觀測值函數(shù)精度第26頁，共51頁，2023年，2月20日，星期日§6-4誤差傳播定律一、誤差傳播定律一般函數(shù)的中誤差設有函數(shù)：(a)為獨立觀測值設有真誤差，函數(shù)也產(chǎn)生真誤差對(a)全微分：由于和是一個很小的量，可代替上式中的和：(b)(c)第27頁，共51頁，2023年，2月20日，星期日§6-4誤差傳播定律一、誤差傳播定律一般函數(shù)的中誤差令的系數(shù)為，(c)式為：對Z觀測了k次，有k個式(d)第28頁，共51頁，2023年，2月20日，星期日§6-4誤差傳播定律一、誤差傳播定律一般函數(shù)的中誤差(e)(f)對K個(e)式取總和：(g)第29頁，共51頁，2023年，2月20日，星期日§6-4誤差傳播定律一、誤差傳播定律一般函數(shù)的中誤差由偶然誤差的抵償性知：(g)(h)第30頁，共51頁，2023年，2月20日，星期日§6-4誤差傳播定律一、誤差傳播定律一般函數(shù)的中誤差(h)(6-10)上式為一般函數(shù)的中誤差公式，也稱為誤差傳播定律。第31頁，共51頁，2023年，2月20日，星期日§6-4誤差傳播定律一、誤差傳播定律一般函數(shù)的中誤差求觀測值函數(shù)中誤差的步驟：1.列出函數(shù)式；2.對函數(shù)式求全微分；3.套用誤差傳播定律，寫出中誤差式。第32頁，共51頁，2023年，2月20日，星期日§6-4誤差傳播定律一、誤差傳播定律一般函數(shù)的中誤差

中誤差傳播公式

函數(shù)名稱函數(shù)式中誤差傳播公式倍數(shù)函數(shù)和差函數(shù)線性函數(shù)第33頁，共51頁，2023年，2月20日，星期日§6-4誤差傳播定律二、誤差傳播定律的應用例1：在1：500地形圖上量得某兩點間的距離，其中誤差，求該兩點間的地面水平距離D的值及其中誤差。解:第34頁，共51頁，2023年，2月20日，星期日§6-4誤差傳播定律二、誤差傳播定律的應用例2：設對某一個三角形觀測了其中αβ，兩個角，測角中誤差分別為，，試求角的中誤差。解：第35頁，共51頁，2023年，2月20日，星期日§6-4誤差傳播定律二、誤差傳播定律的應用例3：試推導出算術平均值中誤差的公式：解：第36頁，共51頁，2023年，2月20日，星期日§6-5權及加權平均值一、權定義：在計算不同精度觀測值的最或然值時，精度高的觀測值在其中占的“比重”大一些，而精度低的觀測值在其中占的“比重”小一些。這里，這個“比重”就反映了觀測的精度。“比重”可以用數(shù)值表示，在測量工作中，稱這個數(shù)值為觀測值的“權”。定義公式：設以Pi表示觀測值li的權，則權的定義公式為：第37頁，共51頁，2023年，2月20日，星期日§6-5權及加權平均值一、權μ是權等于1的觀測值的中誤差，通常稱等于1的權為單位權，權為1的觀測值為單位權觀測值。為單位權觀測值的中誤差，簡稱為單位權中誤差。權與中誤差的平方成反比，即精度愈高，權愈大。第38頁，共51頁，2023年，2月20日，星期日§6-5權及加權平均值二、權的性質（1）權是相對性數(shù)值，表示觀測值的相對精度。（2）權與中誤差平方成反比，中誤差越小，權越大，表示觀測值越可靠，精度越高。（3）權始終取正號。（4）對于單一觀測值而言，權無意義。（5）權的大小隨的不同而不同，但權之間的比例關系不變。（6）在同一個問題中只能選定一個li值，不能同時選用幾個不同的μ值，否則就破壞了權之間的比例關系。第39頁，共51頁，2023年，2月20日，星期日§6-5權及加權平均值三、測量中常用的確權方法1．同精度觀測值的算術平均值的權設一次觀測的中誤差為m，n次同精度觀測值的算術平均值的中誤差。則一次觀測值的權為：算術平均值的權為：第40頁，共51頁，2023年，2月20日，星期日§6-5權及加權平均值三、測量中常用的確權方法1．同精度觀測值的算術平均值的權對于中誤差為mi的觀測值（或觀測值的函數(shù)），其權Pi為:則相應的中誤差的另一表示式可寫為:第41頁，共51頁，2023年，2月20日，星期日§6-5權及加權平均值三、測量中常用的確權方法2．權在水準測量中的應用設每一測站觀測高差的精度相同，其中誤差為m站，則不同測站數(shù)的水準路線觀測高差的中誤差為：取c個測站的高差中誤差為單位權中誤差，即則各水準路線的權為第42頁，共51頁，2023年，2月20日，星期日§6-5權及加權平均值三、測量中常用的確權方法3．權在距離丈量工作中的應用設單位長度（一公里）的丈量中誤差為m，則長度為s公里的丈量中誤差為。取長度為c公里的丈量中誤差為單位權中誤差，即，則得距