福建省尤溪縣新陽中學(xué)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)期中試卷及參考答案

2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．若復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A.1 B.-2 C. D.2．已知，向量與的夾角為，則（）A.5 B. C. D.3．如圖所示，正方形的邊長為2cm，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長是（）A.16cmB.cmC.8cm D.cm4．已知三角形的外接圓圓心為，且，，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.5．設(shè)內(nèi)角的對邊分別為，已知，，，的平分線交邊BC于點D，則線段的長度為（）A. B. C. D.6．在△ABC中，sinA＝，則△ABC的形狀為（）A.直角三角形 B.等邊三角形 C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形7．“迪拜世博會”于2021年10月1日至2022年3月31日在迪拜舉行，中國館建筑名為“華夏之光”，外觀取型中國傳統(tǒng)燈籠，寓意希望和光明．它的形狀可視為內(nèi)外兩個同軸圓柱，某愛好者制作了一個中國館的實心模型，已知模型內(nèi)層底面直徑為，外層底面直徑為，且內(nèi)外層圓柱的底面圓周都在一個直徑為的球面上.此模型的體積為（）A. B. C. D.8．已知O為的外心，，則的值為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．下列命題正確的是（）A.直棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的矩形B.用一個平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間部分是棱臺C.存在四個面均為直角三角形的四面體D.棱臺的側(cè)棱延長后交于一點，且棱臺側(cè)面均為梯形10．設(shè)是內(nèi)部（不含邊界）的一點，以下可能成立的是（）A. B.C. D.11．如圖所示，在棱長為2的正方體中，M，N分別為棱，的中點，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線BN與MB1是異面直線 B.直線AM與BN是平行直線C.直線MN與AC所成的角 D.平面BMN截正方體所得的截面面積為12．已知的內(nèi)角分別為，滿足，且，則以下說法中正確的有（）A.若為直角三角形，則；B.若，則為等腰三角形；C.若，則的面積為；D.若，則．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知i為虛數(shù)單位，若，則______．14.如圖①，一個正三棱柱容器，底面邊長為a，高為2a，內(nèi)裝水若干，將容器放倒，把一個側(cè)面作為底面，如圖②，這時水面恰好為中截面，則圖①中容器內(nèi)水面的高度是_____.

15.一般地，的夾角可記為，已知，，，，，，，則_________．16．已知銳角的內(nèi)角所對的邊分別為，若，則的取值范圍為____________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知復(fù)數(shù)，其中i為虛數(shù)單位．（1）若z是純虛數(shù)，求實數(shù)m的值；（2）若，是關(guān)于x的實系數(shù)方程的一個復(fù)數(shù)根，求實數(shù)a，b的值．18．已知，．（1）若與的夾角為鈍角，求實數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時，求的取值范圍．19．已知正三棱錐，頂點為P，底面是三角形．（1）若該三棱錐的側(cè)棱長為2，且兩兩成角為，設(shè)質(zhì)點自A出發(fā)依次沿著三個側(cè)面的表面移動，環(huán)繞一周直至回到出發(fā)點A，求質(zhì)點移動路程的最小值；（2）若該三棱錐的所有棱長均為2，試求以P為頂點，以三角形內(nèi)切圓為底面的圓錐的體積．20．如圖所示，已知矩形ABCD中，，AC與MN相交于點E．（1）若，求和的值；（2）用向量表示．21．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．（1）求角C的大?。唬?）若是銳角三角形，且，求面積的取值范圍．22．如圖1，某景區(qū)是一個以為圓心，半徑為的圓形區(qū)域，道路，成60°角，且均和景區(qū)邊界相切，現(xiàn)要修一條與景區(qū)相切的觀光木棧道，點，分別在和上，修建的木棧道與道路，圍成三角地塊．（注：圓的切線長性質(zhì)：圓外一點引圓的兩條切線長相等）．（1）當(dāng)為正三角形時求修建的木棧道與道路，圍成的三角地塊面積；（2）若的面積，求木棧道長；（3）如圖2，若景區(qū)中心與木棧道段連線的，①將木棧道的長度表示為的函數(shù)，并指定定義域；②求木棧道的最小值．參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．若復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A.1 B.-2 C. D.【答案】A【解析】因為復(fù)數(shù)，所以，所以的虛部為1，故選：A2．已知，向量與的夾角為，則（）A.5 B. C. D.【答案】D【解析】∵，向量與的夾角為∴∴故選：D.3．如圖所示，正方形的邊長為2cm，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長是（）A.16cmB.cmC.8cm D.cm【答案】A【解析】由斜二測畫法，原圖形是平行四邊形，，又，，，所以，周長為．故選：A．4．已知三角形的外接圓圓心為，且，，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依題意三角形的外接圓圓心為，且，所以是的中點，即是圓的直徑，且，由于，所以三角形是等邊三角形，設(shè)圓的半徑為，則，，所以在上的投影向量為.故選：A5．設(shè)內(nèi)角的對邊分別為，已知，，，的平分線交邊BC于點D，則線段的長度為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意和余弦定理可得，由角平分線性質(zhì)定理可得，由余弦定理知，，整理可得,解得或（舍去，不滿足兩邊之和大于第三邊）故選：B6．在△ABC中，sinA＝，則△ABC的形狀為（）A.直角三角形 B.等邊三角形 C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形【答案】A【解析】由條件可知,因為，所以，所以，所以，整理為：,即因為，所以，，所以是直角三角形.故選：A7．“迪拜世博會”于2021年10月1日至2022年3月31日在迪拜舉行，中國館建筑名為“華夏之光”，外觀取型中國傳統(tǒng)燈籠，寓意希望和光明．它的形狀可視為內(nèi)外兩個同軸圓柱，某愛好者制作了一個中國館的實心模型，已知模型內(nèi)層底面直徑為，外層底面直徑為，且內(nèi)外層圓柱的底面圓周都在一個直徑為的球面上.此模型的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖，該模型內(nèi)層圓柱底面直徑為，且其底面圓周在一個直徑為的球面上，可知內(nèi)層圓柱的高同理，該模型外層圓柱底面直徑為，且其底面圓周在一個直徑為的球面上，可知外層圓柱高此模型的體積為故選：C8．已知O為的外心，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)的外接圓的半徑為R，∵，∴，且圓心在三角形內(nèi)部，∴∴，∴根據(jù)圓心角等于同弧對應(yīng)的圓周角的兩倍得：∴解得=故選：A二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．下列命題正確的是（）A.直棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的矩形B.用一個平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間部分是棱臺C.存在四個面均為直角三角形的四面體D.棱臺的側(cè)棱延長后交于一點，且棱臺側(cè)面均為梯形【答案】CD【解析】對于A：根據(jù)直棱柱的概念：側(cè)棱與底面垂直的棱柱，則直棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面也是矩形，但底面多邊形的邊長不一定相等，所以側(cè)面不一定全等，A錯誤；對于B、D：根據(jù)棱臺的概念：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分是棱臺，B錯誤；棱臺的側(cè)棱延長后交于一點，且棱臺側(cè)面均為梯形，D正確；對于C：如圖，三棱錐，平面，∵平面，則可得：,,平面，則∴三棱錐的四個面均為直角三角形，C正確；故選：CD．10．設(shè)是內(nèi)部（不含邊界）的一點，以下可能成立的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】由，，若，則：當(dāng)時在外部；當(dāng)時在上；當(dāng)時在內(nèi)部；若λ,μ=0，則P在OA或OB上；若，則在外部；A：且，故在內(nèi)部；B：且，故在上；C：，有，故在外部；D：，有且，故在內(nèi)部；故選：AD11．如圖所示，在棱長為2的正方體中，M，N分別為棱，的中點，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線BN與MB1是異面直線 B.直線AM與BN是平行直線C.直線MN與AC所成的角 D.平面BMN截正方體所得的截面面積為【答案】AD【解析】直線BN與MB1是異面直線，故A正確；直線AM與BN是異面直線，故B錯誤；如下圖，由條件可知，所以異面直線與所成的角為，是等邊三角形，所以，故C錯誤；如下圖，連接、、，因為，，所以，又，則四邊形是梯形，且四邊形為平面截正方體所得的截面，，，所以四邊形是等腰梯形，則梯形的高是，所以梯形的面積，故D正確.故選：AD.12．已知的內(nèi)角分別為，滿足，且，則以下說法中正確的有（）A.若為直角三角形，則；B.若，則為等腰三角形；C.若，則的面積為；D.若，則．【答案】BD【解析】根據(jù)題意，依次分析4個結(jié)論：對于A，根據(jù)題意，若sinA：sinB：sinC＝ln2：ln4：lnt，則a：b：c＝ln2：ln4：lnt，故可設(shè)a＝kln2，b＝kln4＝2kln2，c＝klnt，k＞0．則有b﹣a＜c＜b+a，則kln2＜c＜3kln2，變形可得2＜t＜8，當(dāng)時；c最大，若直角三角形，則，即，解得；當(dāng)時；若為直角三角形，則，即，解得綜上：或，故A錯；由題意，abcosC＝abmc2，∴m．若，則解得t=4，故，為等腰三角形；B正確；對于C，當(dāng)t＝4，a＝kln2時，則b＝kln4，c＝klnt＝kln4，則有b＝c＝2a，此時等腰△ABC底邊上高為，三角形面積為，C錯；對于D，當(dāng),則有a2+b2﹣c2＜0，即解得由選項A,B的解析知kln2＜c＜3kln2綜合兩式得，故m選項D正確；綜合可得BD正確；故選：BD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知i為虛數(shù)單位，若，則______．【答案】1【解析】故答案為：114.如圖①，一個正三棱柱容器，底面邊長為a，高為2a，內(nèi)裝水若干，將容器放倒，把一個側(cè)面作為底面，如圖②，這時水面恰好為中截面，則圖①中容器內(nèi)水面的高度是_____.

【答案】a##15a【解析】在圖②中，水所占部分為四棱柱，四棱柱底面積為，高為，所以四棱柱的體積為，設(shè)圖①中容器內(nèi)水面的高度為h，則，解得故答案為：##1.5a15.一般地，的夾角可記為，已知，，，，，，，則_________．【答案】##025【解析】因為，所以，，即，解得，所以．故答案為：．16．已知銳角的內(nèi)角所對的邊分別為，若，則的取值范圍為____________．【答案】【解析】，又銳角中，，且，，將代入上面三個不等式，得到且，，令，則，所以在上單減，在上單增，又當(dāng)時，的值為，當(dāng)或時，的值為，故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知復(fù)數(shù)，其中i為虛數(shù)單位．（1）若z是純虛數(shù)，求實數(shù)m的值；（2）若，是關(guān)于x的實系數(shù)方程的一個復(fù)數(shù)根，求實數(shù)a，b的值．【答案】（1）1（2）【解析】（1）因為復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，所以，解得：m=1.（2）當(dāng)時，.因為是關(guān)于x的實系數(shù)方程的一個復(fù)數(shù)根，所以的共軛復(fù)數(shù)也是實系數(shù)方程的根，所以，解得：.18．已知，．（1）若與的夾角為鈍角，求實數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】（1）因為，，所以，，因為與的夾角為鈍角，所以，且，解得且，所以的取值范圍為；（2）根據(jù)題意，，則，所以，又，則，所以的取值范圍是．19．已知正三棱錐，頂點為P，底面是三角形．（1）若該三棱錐的側(cè)棱長為2，且兩兩成角為，設(shè)質(zhì)點自A出發(fā)依次沿著三個側(cè)面的表面移動，環(huán)繞一周直至回到出發(fā)點A，求質(zhì)點移動路程的最小值；（2）若該三棱錐的所有棱長均為2，試求以P為頂點，以三角形內(nèi)切圓為底面的圓錐的體積．【答案】（1）（2）【解析】（1）沿側(cè)棱將正三棱錐的側(cè)面展開，如圖，則即為質(zhì)點移動路程的最小值，依題意，，且，由余弦定理得，所以，所以質(zhì)點移動路程的最小值為.（2）正三棱錐的所有棱長均為2，則為正四面體，設(shè)其高為，正內(nèi)切圓的半徑為，由，解得，正四面體的斜高為，，依題意，圓錐的高為，所以圓錐的體積為.20．如圖所示，已知矩形ABCD中，，AC與MN相交于點E．（1）若，求和的值；（2）用向量表示．【答案】（1），（2）【解析】（1）以A點為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，所以所以，所以解得（2）設(shè)，因為，所以．解得，即，所以，又因為M，E，N三點共線，所以，所以﹒21．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．（1）求角C的大??；（2）若是銳角三角形，且，求面積的取值范圍．【答案】（1）或（2）【解析】（1）由正弦定理可得整理得因為，所以，所以，所以或（2）因為，所以，由正弦定理可得因為銳角三角形，所以，所以所以所以，可得即面積的取值范圍為22．如圖1，某景區(qū)是一個以為圓心，半徑為的圓形區(qū)域，道路，成60°角，且均和景區(qū)邊界相切，現(xiàn)要修一條與景區(qū)相切的觀光木棧道，點，