新陽中學(xué)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中考試仿真模擬數(shù)學(xué)試題及參考答案

新陽中學(xué)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中考試仿真模擬數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（）A. B. C. D.2．已知向量，，，則與夾角為（）A. B. C. D.3．如圖，在中，，若的水平放置直觀圖為，則的面積為（）A.B.C. D.4．歐拉是世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，在很多領(lǐng)域中都有杰出的貢獻(xiàn)．由《物理世界》發(fā)起的一項調(diào)查表明，人們把歐拉恒等式“”與麥克斯韋方程組并稱為“史上最偉大的公式”．其中，歐拉恒等式是歐拉公式：的一種特殊情況．根據(jù)歐拉公式，若復(fù)數(shù)z滿足，則z的虛部是（）A. B. C. D.5．設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，為測量A，B兩點(diǎn)間的距離，小明同學(xué)在A的同側(cè)選定一點(diǎn)C，測出A，C兩點(diǎn)間的距離為80米，，請你幫小明同學(xué)計算出A，B兩點(diǎn)間的距離，距離為（）米．A.B.C. D.6．《九章算術(shù)》是中國古代的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著．其中卷五記載：“今有芻甍，下廣三丈，表四丈，上袤二丈，無廣，高一丈．問積幾何？”問題即為：今有如圖所示的屋脊?fàn)钚w，下底面是矩形，假設(shè)屋脊沒有歪斜，即中點(diǎn)在底面ABCD上的投影為矩形ABCD的中心O，PQ//AB，AB=4，AD=3，PQ=2，OR=1(長度單位：丈)．則楔體的體積為(體積單位：立方丈)（）A.10 B.8 C. D.7．中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，，，，則為（）A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.銳角三角形或鈍角三角形 D.直角三角形8．若，，平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，的最大值是（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．復(fù)數(shù)滿足，且，則下列正確的有（）A. B.C. D.10．，，是空間三條不同的直線，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.， B.，C.，，共面 D.，，共點(diǎn)，，共面11．在中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，下列命題中正確的是（）A.若，則點(diǎn)M是邊的中點(diǎn)B.若，，，則有兩種形狀C.若，則是等腰或直角三角形D.若為的內(nèi)心，則12．在中，為邊上的中線，，以下說法正確的是（）A.B.C.若，則D.若，則的取值范圍是三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．若，則________．14.已知某圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，母線長為7，圓臺的側(cè)面積為，則該圓臺全面積為________.15.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，且，若BC邊上的中線長，則的面積為________．16．已知是等邊三角形，點(diǎn)在的延長線上，且，，則______；______．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知向量與的夾角為，且，.（1）若與共線，求；（2）求，.18．已知復(fù)數(shù)（1）若z為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值；（2）若z在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)位于第二象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍及的最小值19．已知四棱錐A—BCDE，AB=BC=AC=BE=1，CD=2BE=2，CD面ABC，BE∥CD，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)．（1）求證：EF∥面ABC；（2）求四棱錐A—BCDE的體積，20．的內(nèi)角，，所對邊分別為，，.已知.(1)求；(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍。21．長沙市雅禮中學(xué)為“雅禮杯”足球賽制作了冠軍獎杯，獎杯的剖面圖形如圖所示，其中扇形OAB的半徑為10，，，若按此方案設(shè)計：（1）當(dāng)時，在中，G為AB邊上任意一點(diǎn)，求的最大值；（2）制作商發(fā)現(xiàn)，當(dāng)OP最長時，該獎杯比較美觀，求此時的大小.22．如圖，某城市有一條從正西方通過市中心后轉(zhuǎn)向東偏北60°方向的公路，為了緩解城市交通壓力，現(xiàn)準(zhǔn)備修建一條繞城高速公路，并在，上分別設(shè)置兩個出口A，，在A的東偏北的方向（A，兩點(diǎn)之間的高速路可近似看成直線段），由于A，之間相距較遠(yuǎn)，計劃在A，之間設(shè)置一個服務(wù)區(qū).（1）若在的正北方向且，求A，到市中心的距離和最小時的值；（2）若到市中心的距離為，此時設(shè)在的平分線與的交點(diǎn)位置，且滿足，則求A到市中心的距離最大時的值.答案解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由可得，所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是，故選：C2．已知向量，，，則與夾角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，，解得：，又，，即與夾角為.故選：D.3．如圖，在中，，若的水平放置直觀圖為，則的面積為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】在中，，，則，，由斜二測畫法規(guī)則知，，，，邊上的高，所以的面積為.故選：B4．歐拉是世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，在很多領(lǐng)域中都有杰出的貢獻(xiàn)．由《物理世界》發(fā)起的一項調(diào)查表明，人們把歐拉恒等式“”與麥克斯韋方程組并稱為“史上最偉大的公式”．其中，歐拉恒等式是歐拉公式：的一種特殊情況．根據(jù)歐拉公式，若復(fù)數(shù)z滿足，則z的虛部是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意得，所以，所以，則z的虛部是1.故選：A5．設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，為測量A，B兩點(diǎn)間的距離，小明同學(xué)在A的同側(cè)選定一點(diǎn)C，測出A，C兩點(diǎn)間的距離為80米，，請你幫小明同學(xué)計算出A，B兩點(diǎn)間的距離，距離為（）米．A. B.C. D.【答案】B【解析】由正弦定理可知，故選：B6．《九章算術(shù)》是中國古代的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著．其中卷五記載：“今有芻甍，下廣三丈，表四丈，上袤二丈，無廣，高一丈．問積幾何？”問題即為：今有如圖所示的屋脊?fàn)钚w，下底面是矩形，假設(shè)屋脊沒有歪斜，即中點(diǎn)在底面ABCD上的投影為矩形ABCD的中心O，PQ//AB，AB=4，AD=3，PQ=2，OR=1(長度單位：丈)．則楔體的體積為(體積單位：立方丈)（）A.10 B.8 C. D.【答案】D【解析】根據(jù)題意，分別過點(diǎn)，作平面的垂直平面，則可以把楔體分成一個三棱柱和兩個四棱錐.三棱柱體積(立方丈)，四棱錐體積(立方丈)，故楔體的體積(立方丈).故選：D.7．中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，，，，則為（）A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.銳角三角形或鈍角三角形 D.直角三角形【答案】B【解析】由正弦定理得，得，得，過作垂直所在的直線，則，所以角有兩種情況，即角為銳角，角為鈍角，如圖對應(yīng)的三角形分別為和，由圖可得為鈍角三角形，在中，，所以為鈍角，綜上，為鈍角三角形，故選：B8．若，，平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，的最大值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，可得因?yàn)椋?，即是角平分線所以由角平分線的性質(zhì)可得設(shè)，則，由可得因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，即的最小值為所以的最大值是故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．復(fù)數(shù)滿足，且，則下列正確的有（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】由題意，設(shè)復(fù)數(shù)，（不同時為0），因?yàn)?，所以，即，所以，所以，所以，故選項A錯誤；，故選項B正確；，故選項C正確；，故選項D正確故選：BCD.10．，，是空間三條不同的直線，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.， B.，C.，，共面 D.，，共點(diǎn)，，共面【答案】ACD【解析】由，，則、平行、異面都有可能，故A錯誤；由，得，故B正確；當(dāng)時，，，不一定共面，如三棱柱的三條側(cè)棱，互相平行但不共面，故C錯誤；當(dāng)，，共點(diǎn)時，，，不一定共面，如三棱柱共頂點(diǎn)的三條棱不共面，故D錯誤；故選：ACD.11．在中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，下列命題中正確的是（）A.若，則點(diǎn)M是邊的中點(diǎn)B.若，，，則有兩種形狀C.若，則是等腰或直角三角形D.若為的內(nèi)心，則【答案】CD【解析】對于A選項，由得，即，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，故錯誤；對于B選項，由正弦定理得，由于，故或，所以或，故均為鈍角三角形，故錯誤；對于C選項，由正弦定理邊角互化得，故，由于，故或，即或，所以是等腰或直角三角形，故正確；對于D選項，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，角的角平分線所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，其中，，，則，由于不共線，則存在使得，即，故，所以，另一方面，由于，，，其中為內(nèi)切圓的半徑，，，，所以，所以，故，所以，D選項正確.故選：CD12．在中，為邊上的中線，，以下說法正確的是（）A. B.C.若，則 D.若，則的取值范圍是【答案】ACD【解析】對于A，∵為邊上的中線，∴，故A正確；對于B，∵，，又，∴，∴，故B錯誤；對于C，若，，由，可得∴，∴，，∴，故C正確；對于D，在中，設(shè)角所對邊為為，因?yàn)椋缮现?，，所以，∴，即，∴，又，∴，，∴，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．若，則________．【答案】【解析】由可得，即,可得，則，故答案為：14.已知某圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，母線長為7，圓臺的側(cè)面積為，則該圓臺全面積為________.【答案】【解析】設(shè)圓臺較小底面的半徑為，則另一底面的半徑為.由，解得.則該圓臺全面積為.故答案為：15.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，且，若BC邊上的中線長，則的面積為________．【答案】【解析】∵，∴由正弦定理得，∵，∴，∵，∴，∴，．設(shè)，則DC=DB=x，在中，由余弦定理得，解得，∴，∴．故答案為：．16．已知是等邊三角形，點(diǎn)在的延長線上，且，，則______；______．【答案】①.②.【解析】如圖，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭堑冗吶切危c(diǎn)在的延長線上，且，所以，，，，所以，在中，，即，解得.所以.故答案為：；四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知向量與的夾角為，且，.（1）若與共線，求；（2）求，.【答案】（1）（2），【解析】（1）若與共線，則存在，使得，即，又因向量與不共線，所以，解得，所以；（2），.18．已知復(fù)數(shù)（1）若z為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值；（2）若z在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)位于第二象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍及的最小值【答案】（1）1；（2），.【解析】（1）為純虛數(shù)，且（2）在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)為由題意：，．即實(shí)數(shù)的取值范圍是．而，當(dāng)時，．19．已知四棱錐A—BCDE，AB=BC=AC=BE=1，CD=2BE=2，CD面ABC，BE∥CD，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)．（1）求證：EF∥面ABC；（2）求四棱錐A—BCDE的體積，【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）取中點(diǎn)，連接，又是中點(diǎn)，則，，又，所以，所以是平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面；（2）取中點(diǎn)，連接，由于是等邊三角形，則，因?yàn)镃D面ABC，面ABC，所以，因?yàn)椋矫?，所以平面，由已知，由CD面ABC，面ABC，所以，是直角梯形，，所以．20．的內(nèi)角，，所對邊分別為，，.已知.(1)求；(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍?！敬鸢浮浚?）B=60°；（2）.【解析】（1）由題設(shè)及正弦定理得．又因?yàn)橹锌傻茫?所以，因?yàn)橹衧inA0，故．因?yàn)?，故，因此B=60°．（2）由題設(shè)及（1）知△ABC的面積．由正弦定理得．由于△ABC為銳角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°，由（1）知A+C=180°B＝120°，所以30°<C<90°，故.所以，從而．因此，△ABC面積的取值范圍是．21．長沙市雅禮中學(xué)為“雅禮杯”足球賽制作了冠軍獎杯，獎杯的剖面圖形如圖所示，其中扇形OAB的半徑為10，，，若按此方案設(shè)計：（1）當(dāng)時，在中，G為AB邊上任意一點(diǎn)，求的最大值；（2）制作商發(fā)現(xiàn)，當(dāng)OP最長時，該獎杯比較美觀，求此時的大小.【答案】（1）最大值為100（2）【解析】（1）根據(jù)題意，如圖建立直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，∵，，，所以，∴當(dāng)，即與重合時取得最大值為.（2）作交于，交于，且，設(shè)，則，，設(shè)，作交于，交于，因?yàn)椋?，，，所以，所以，即，，所?因?yàn)?，所以?dāng)，即時最大，也就是最長時.22．如圖，某城市有一條從正西方通過市中心后轉(zhuǎn)向東偏北60°方向的公路，為了緩解城市交通壓力，現(xiàn)準(zhǔn)備修建一條繞城高速公路，并在，上分別設(shè)置兩個出口A，，在A的東偏北的方向（