高考數(shù)學(xué)二輪課件推理與證明

專題四數(shù)列、推理與證明第3講推理與證明主干

知識(shí)梳理熱點(diǎn)分類突破真題與押題1.以數(shù)表、數(shù)陣、圖形為背景與數(shù)列、周期性等知識(shí)相結(jié)合考查歸納推理和類比推理，多以小題形式出現(xiàn).2.直接證明和間接證明的考查主要作為證明和推理數(shù)學(xué)命題的方法，常與函數(shù)、數(shù)列及不等式等綜合命題．考情解讀主干知識(shí)梳理1.合情推理(1)歸納推理①歸納推理是由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理.②歸納推理的思維過程如下：實(shí)驗(yàn)、觀察概括、推廣猜測一般性結(jié)論→→(2)類比推理①類比推理是由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理.②類比推理的思維過程如下：觀察、比較聯(lián)想、類推猜測新的結(jié)論→→2.演繹推理(1)“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情況；③結(jié)論——根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷.(2)合情推理與演繹推理的區(qū)別歸納和類比是常用的合情推理，從推理形式上看，歸納是由部分到整體、個(gè)別到一般的推理；類比是由特殊到特殊的推理；而演繹推理是由一般到特殊的推理.從推理所得的結(jié)論來看，合情推理的結(jié)論不一定正確，有待進(jìn)一步證明；演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確的前提下，得到的結(jié)論一定正確.3.直接證明(1)綜合法用P表示已知條件、已有的定義、定理、公理等，Q表示所要證明的結(jié)論，則綜合法可用框圖表示為：P?Q1Q1?Q2Q2?Q3Qn?Q→→→…→(2)分析法用Q表示要證明的結(jié)論，則分析法可用框圖表示為：Q?P1P1?P2P2?P3得到一個(gè)明顯成立的條件→→→…→4.間接證明反證法的證明過程可以概括為“否定——推理——否定”，即從否定結(jié)論開始，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)致邏輯矛盾，從而達(dá)到新的否定(即肯定原命題)的過程.用反證法證明命題“若p，則q”的過程可以用如圖所示的框圖表示.肯定條件p否定結(jié)論q導(dǎo)致邏輯矛盾“既p，又綈q”為假“若p，則q”

為真→→→5.數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法證明的步驟：(1)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0∈N*)時(shí)命題成立.(2)假設(shè)n＝k(k∈N*，且k≥n0)時(shí)命題成立，證明n＝k＋1時(shí)命題也成立.由(1)(2)可知，對(duì)任意n≥n0，且n∈N*時(shí)，命題都成立.熱點(diǎn)一歸納推理熱點(diǎn)二類比推理熱點(diǎn)三直接證明和間接證明熱點(diǎn)分類突破熱點(diǎn)四數(shù)學(xué)歸納法例1

(1)有菱形紋的正六邊形地面磚，按下圖的規(guī)律拼成若干個(gè)圖案，則第六個(gè)圖案中有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)是(

)熱點(diǎn)一歸納推理思維啟迪

根據(jù)三個(gè)圖案中的正六邊形個(gè)數(shù)尋求規(guī)律；A.26 B.31C.32 D.36解析有菱形紋的正六邊形個(gè)數(shù)如下表：圖案123…個(gè)數(shù)61116…由表可以看出有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)依次組成一個(gè)以6為首項(xiàng)，以5為公差的等差數(shù)列，所以第六個(gè)圖案中有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)是6＋5×(6－1)＝31.故選B.答案B(2)兩旅客坐火車外出旅游，希望座位連在一起，且有一個(gè)靠窗，已知火車上的座位的排法如圖所示，則下列座位號(hào)碼符合要求的應(yīng)當(dāng)是(

)A.48,49 B.62,63C.75,76 D.84,85思維啟迪

靠窗口的座位號(hào)碼能被5整除或者被5除余1.解析由已知圖形中座位的排列順序，可得：被5除余1的數(shù)和能被5整除的座位號(hào)臨窗，由于兩旅客希望座位連在一起，且有一個(gè)靠窗，分析答案中的4組座位號(hào)，只有D符合條件.答案D歸納遞推思想在解決問題時(shí)，從特殊情況入手，通過觀察、分析、概括，猜想出一般性結(jié)論，然后予以證明，這一數(shù)學(xué)思想方法在解決探索性問題、存在性問題或與正整數(shù)有關(guān)的命題時(shí)有著廣泛的應(yīng)用.其思維模式是“觀察——?dú)w納——猜想——證明”，解題的關(guān)鍵在于正確的歸納猜想.思維升華變式訓(xùn)練1(1)四個(gè)小動(dòng)物換座位，開始是鼠、猴、兔、貓分別坐1、2、3、4號(hào)位上(如圖)，第一次前后排動(dòng)物互換座位，第二次左右列動(dòng)物互換座位，…這樣交替進(jìn)行下去，那么第202次互換座位后，小兔坐在第______號(hào)座位上.A.1B.2 C.3D.4解析考慮小兔所坐的座位號(hào)，第一次坐在1號(hào)位上，第二次坐在2號(hào)位上，第三次坐在4號(hào)位上，第四次坐在3號(hào)位上，第五次坐在1號(hào)位上，因此小兔的座位數(shù)更換次數(shù)以4為周期，因?yàn)?02＝50×4＋2，因此第202次互換后，小兔所在的座位號(hào)與小兔第二次互換座位號(hào)所在的座位號(hào)相同，因此小兔坐在2號(hào)位上，故選B.答案B熱點(diǎn)二類比推理思維啟迪

平面幾何中的面積可類比到空間幾何中的體積；解析平面幾何中，圓的面積與圓的半徑的平方成正比，而在空間幾何中，球的體積與半徑的立方成正比，所以＝思維啟迪

可利用和角或差角公式猜想，然后驗(yàn)證.故知ch(x＋y)＝chxchy＋shxshy，或sh(x－y)＝shxchy－chxshy，或sh(x＋y)＝shxchy＋chxshy.答案ch(x－y)＝chxchy－shxshy類比推理是合情推理中的一類重要推理，強(qiáng)調(diào)的是兩類事物之間的相似性，有共同要素是產(chǎn)生類比遷移的客觀因素，類比可以由概念性質(zhì)上的相似性引起，如等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比，也可以由解題方法上的類似引起.當(dāng)然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的類比，例2即屬于此類題型.一般來說，高考中的類比問題多發(fā)生在橫向與縱向類比上，如圓錐曲線中橢圓與雙曲線等的橫向類比以及平面與空間中三角形與三棱錐的縱向類比等.思維升華變式訓(xùn)練2

解析由{an}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，又正項(xiàng)數(shù)列{cn}為等比數(shù)列，設(shè)公比為q，答案D解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，熱點(diǎn)三直接證明和間接證明(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；思維啟迪

利用已知遞推式中的特點(diǎn)構(gòu)造數(shù)列{1－

}；由anan＋1<0，知數(shù)列{an}的項(xiàng)正負(fù)相間出現(xiàn)，(2)證明：數(shù)列{bn}中的任意三項(xiàng)不可能成等差數(shù)列.思維啟迪

否定性結(jié)論的證明可用反證法.證明假設(shè)存在某三項(xiàng)成等差數(shù)列，不妨設(shè)為bm、bn、bp，其中m、n、p是互不相等的正整數(shù)，可設(shè)m<n<p，那么只能有2bn＝bm＋bp，所以假設(shè)不成立，那么數(shù)列{bn}中的任意三項(xiàng)不可能成等差數(shù)列.(1)有關(guān)否定性結(jié)論的證明常用反證法或舉出一個(gè)結(jié)論不成立的例子即可.(2)綜合法和分析法是直接證明常用的兩種方法，我們常用分析法尋找解決問題的突破口，然后用綜合法來寫出證明過程，有時(shí)候，分析法和綜合法交替使用.思維升華變式訓(xùn)練3(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn；所以數(shù)列{bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列.熱點(diǎn)四數(shù)學(xué)歸納法思維啟迪

利用{an}的前n項(xiàng)確定通項(xiàng)公式(公差、首項(xiàng))，{bn}的通項(xiàng)公式可分段給出；(1)求an，bn；解得a1＝2，d＝4，所以an＝4n－2.思維啟迪

先求Tn，歸納猜想Tn與2n2＋

的關(guān)系，再用數(shù)學(xué)歸納法證明.解T2n＝1＋2×2－3＋22＋2×4－3＋24＋…＋22n－2＋2×2n－3＝1＋22＋24＋…＋22n－2＋4(1＋2＋…＋n)－3n即n≥2時(shí)，4n>4n＋1.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n＝2時(shí)，42＝16,4×2＋1＝9,16>9，成立；②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2)時(shí)成立，即4k>4k＋1.則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，4k＋1＝4·4k>4·(4k＋1)＝16k＋4>4k＋5＝4(k＋1)＋1，所以n＝k＋1時(shí)成立.由①②得，當(dāng)n≥2時(shí)，4n>4n＋1成立.在使用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí)，在歸納假設(shè)后,歸納假設(shè)就是證明n＝k＋1時(shí)的已知條件，把歸納假設(shè)當(dāng)已知條件證明后續(xù)結(jié)論時(shí)，可以使用綜合法、分析法、反證法.思維升華變式訓(xùn)練4

(1)當(dāng)n＝1,2,3時(shí)，試比較f(n)與g(n)的大小關(guān)系；解當(dāng)n＝1時(shí)，f(1)＝1，g(1)＝1，所以f(1)＝g(1)，(2)猜想f(n)與g(n)的大小關(guān)系，并給出證明.解由(1)，猜想f(n)≤g(n)，下面用數(shù)學(xué)歸納法給出證明①當(dāng)n＝1,2,3時(shí)，不等式顯然成立②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥3)時(shí)不等式成立，那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式成立.由①②可知，對(duì)一切n∈N*，都有f(n)≤g(n)成立.1.合情推理的精髓是“合情”，即得到的結(jié)論符合“情理”，其中主要是歸納推理與類比推理.歸納推理是由部分得到整體的一種推理模式.類比推理是由此及彼的推理模式；演繹推理是一種嚴(yán)格的證明方式.2.直接證明的最基本的兩種證明方法是綜合法和分析法，這兩種方法也是解決數(shù)學(xué)問題時(shí)常見的思維方式.在實(shí)際解題時(shí)，通常先用分析法尋求解題思路，再用綜合法有條理地表述解題過程.本講規(guī)律總結(jié)3.數(shù)學(xué)歸納法是證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種方法，在遇到與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題時(shí)，要考慮是否可以使用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.(1)在證明過程中突出兩個(gè)“湊”字，即一“湊”假設(shè)，二“湊”結(jié)論，關(guān)鍵是在證明n＝k＋1時(shí)要用上n＝k時(shí)的假設(shè),其次要明確n＝k＋1時(shí)證明的目標(biāo)，充分考慮由n＝k到n＝k＋1時(shí)，命題形式之間的區(qū)別和聯(lián)系，化異為同，中間的計(jì)算過程千萬不能省略.(2)注意“兩個(gè)步驟、一個(gè)結(jié)論”一個(gè)也不能少，切忌忘記歸納結(jié)論.真題感悟押題精練真題與押題12真題感悟1.(2014·福建)若集合{a，b，c，d}＝{1,2,3,4}，且下列四個(gè)關(guān)系：①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4.有且只有一個(gè)是正確的，則符合條件的有序數(shù)組(a，b，c，d)的個(gè)數(shù)是________.12真題感悟解析由題意知①②③④中有且只有一個(gè)正確，其余三個(gè)均不正確，下面分類討論滿足條件的有序數(shù)組(a，b，c，d)的個(gè)數(shù)：(1)若①正確，即a＝1，則②③④都錯(cuò)誤，即b＝1，c≠2，d＝4.其中a＝1與b＝1矛盾，顯然此種情況不存在；12真題感悟(2)若②正確，即b≠1，則①③④都錯(cuò)誤，即a≠1，c≠2，d＝4，則當(dāng)b＝2時(shí)，有a＝3，c＝1；當(dāng)b＝3時(shí)，有a＝2，c＝1，此時(shí)有2種有序數(shù)組.(3)若③正確，即c＝2，則①②④都錯(cuò)誤，即a≠1，b＝1，d＝4，則a＝3，即此種情況有1種有序數(shù)組.12真題感悟(4)若④正確，即d≠4，則①②③都錯(cuò)誤，即a≠1，b＝1，c≠2，則當(dāng)d＝2時(shí)，有a＝3，c＝4或a＝4，c＝3，有2種有序數(shù)組；當(dāng)d＝3時(shí)，有c＝4，a＝2，僅1種有序數(shù)組.綜上可得，共有2＋1＋2＋1＝6(種)有序數(shù)組.答案6真題感悟212.(2014·陜西)觀察分析下表中的數(shù)據(jù)：多面體面數(shù)(F)頂點(diǎn)數(shù)(V)棱數(shù)(E)三棱柱569五棱錐6610立方體6812猜想一般凸多面體中F，V，E所滿足的等式是____________.解析觀察F，V，E的變化得F＋V－E＝2.F＋V－E＝2押題精練121.圓周上2個(gè)點(diǎn)可連成1條弦，這條弦可將圓面劃分成2部分；圓周上3個(gè)點(diǎn)可連成3條弦，這3條弦可將圓面劃分成4部分；圓周上4個(gè)點(diǎn)可連成6條弦，這6條弦最多可將圓面劃分成8部分.則n個(gè)點(diǎn)連成的弦最多可把圓面分成________部分.(

)A.2n－1 B.2nC.2n＋1