數乘向量 教學設計

課2.1.4數乘向量教學目標通過經歷探究數乘運算法則及幾何意義的過程,掌握實數與向量積的定義,理解實數與向量積的幾何意義,掌握實數與向量的積的運算律.能力目標：理解兩個向量共線的等價條件,能夠運用兩向量共線條件判定兩向量是否平行.情感目標：通過探究,體會類比遷移的思想方法,滲透研究新問題的思想和方法,培養(yǎng)創(chuàng)新能力和積極進取精神.通過解決具體問題,體會數學在生活中的重要作用.教學程序設計教材處理設計師生活動設計復習引入知識鋪墊：實數的運算與向量運算的聯(lián)系與區(qū)別引入數乘運算,充分展現(xiàn)了數學知識之間的內在聯(lián)系.實數與向量的乘積,仍然是一個向量,既有大小,也有方向.特別是方向與已知向量是共線向量,進而引出共線向量定理.問題預設：①已知非零向量a,試一試作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a).②你能對你的探究結果作出解釋,并說明它們的幾何意義嗎?③引入向量數乘運算后,你能發(fā)現(xiàn)數乘向量與原向量之間的位置關系嗎?怎樣理解兩向量平行？與兩直線平行有什么異同？教材解讀：思路1.前面兩節(jié)課,我們一起學習了向量加減法運算,這一節(jié),我們將在加法運算基礎上研究相同向量和的簡便計算及推廣.在代數運算中,a+a+a=3a,故實數乘法可以看成是相同實數加法的簡便計算方法,那么相同向量的求和運算是否也有類似的簡便計算.思路2.一物體做勻速直線運動,一秒鐘的位移對應的向量為a,那么在同一方向上3秒鐘的位移對應的向量怎樣表示？是3a嗎？怎樣用圖形表示？由此展開新課.學生積極思考，回答教師提出的問題。學生獨立思考后，分組討論、交流，教師巡視，關注學生談論的情況。對問題①,學生通過作圖1可發(fā)現(xiàn),=++=a+a+a.類似數的乘法,可把a+a+a記作3a,即=3a.顯然3a的方向與a的方向相同,3a的長度是a的長度的3倍,即|3a|=3|a|.同樣,由圖1可知,圖1==(-a)+(-a)+(-a),即(-a)+(-a)+(-a)=3(-a).顯然3(-a)的方向與a的方向相反,3(-a)的長度是a的長度的3倍,這樣,3(-a)=-3a.概念形成師生互動，抓住函數概念這一重點，舉出實例來突破理解對應法則f這一難點。對問題②,上述過程推廣后即為實數與向量的積.我們規(guī)定實數λ與向量a的積是一個向量,這種運算叫做向量的數乘,記作λa,它的長度與方向規(guī)定如下:(1)|λa|=|λ||a|;(2)當λ>0時,λa的方向與a的方向相同;當λ<0時,λa的方向與a的方向相反.由(1)可知,λ=0時,λa=0.根據實數與向量的積的定義,我們可以驗證下面的運算律.實數與向量的積的運算律設λ、μ為實數,那么(1)λ(μa)=(λμ)a;(2)(λ+μ)a=λa+μa;(3)λ(a+b)=λa+λb.對問題③,向量共線的等價條件是:如果a(a≠0)與b共線,那么有且只有一個實數λ,使b=λa.推證過程教師可引導學生自己完成,推證過程如下:對于向量a(a≠0)、b,如果有一個實數λ,使b=λa,那么由向量數乘的定義,知a與b共線.反過來,已知向量a與b共線,a≠0,且向量b的長度是向量a的長度的μ倍,即|b|=μ|a|,那么當a與b同方向時,有b=μa;當a與b反方向時,有b=-μa.其目的是通過0與任意向量的平行來加深對向量共線的等價條件的認識.在判斷兩個非零向量是否共線時,只需看這兩個向量的方向是否相同或相反即可,與這兩個向量的長度無關.在沒有指明非零向量的情況下,共線向量可能有以下幾種情況:(1)有一個為零向量;(2)兩個都為零向量;(3)同向且模相等;(4)同向且模不等;(5)反向且模相等;(6)反向且模不等.引導學生回顧相關知識并猜想結果,對于運算律的驗證,點撥學生通過作圖來進行.通過學生的動手作圖,讓學生明確向量數乘運算的運算律及其幾何意義.關于向量共線的條件,教師要點撥學生做進一步深層探究,讓學生思考,若去掉a≠0這一條件,上述條件成立嗎?概念深化加強學生對概念的理解:①數與向量的積仍是一個向量,向量的方向由實數的正負及原向量的方向確定,大小由|λ|·|a|確定.②它的幾何意義是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或縮小.③向量的平行與直線的平行是不同的,直線的平行是指兩條直線在同一平面內沒有公共點;而向量的平行既包含沒有交點的情況,又包含兩個向量在同一條直線上的情形.教師指導學生閱讀教材,通過閱讀教材思考討論以上問題.教學程序設計教材處理設計師生活動設計教師先分析每個例題，學生分組討論，然后自己獨立解答，最后通過大屏幕展示規(guī)范的解題格式，培養(yǎng)解題規(guī)范的習慣。鞏固練習例1計算:(1)(2)2(a+b)-3(a-b)(3)例2設x是未知向量，解方程本例是數乘運算的簡單應用,可讓學生自己完成,要求學生熟練運用向量數乘運算的運算律.歸納總結幫助學生鞏固所學知識，反饋課堂教學效果。小結1.讓學生回顧本節(jié)學習的數學知識:向量的數乘運算法則,向量的數乘運算律,向量共線的條件,體會本節(jié)學習中用到的思想方法:特殊到一般,歸納、猜想、類比,分類討論,等價轉化.2.向量及其運算與數及其運算可以類比,這種類比是我們提高思想性的有效手段,在今后的學習中應予以充分的重視,它是我們學習中偉大的引路人.課后作業(yè)課本89頁練習A、B板書設計數乘向量主板書一預習問題二概念三例題副板書小測：若3m+2n=a,m-3n=b,其中a,b是已知向量,求m,n.課后反思本教案的設計流程符合新課程理念,充分抓住本節(jié)教學中的學生探究、猜想、推證等活動,引導學生畫出草圖幫助理解題意和解決問題