2013北京海淀區(qū)高三一模數(shù)學(xué)(理)試題答案

海淀區(qū)高三年級(jí)第二學(xué)期期中練習(xí)數(shù)學(xué)（理）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說(shuō)明：合理答案均可酌情給分，但不得超過(guò)原題分?jǐn)?shù)一、選擇題（本大題共8小題,每小題5分,共40分）題號(hào)答案二、填空題（本大題共6小題,每小題5分,有兩空的小題，第一空3分，第二空2分，共30分）249 1 533^15 4<a<1 2,(2k-1,2k),keZ.'16 , 9三、解答題(本大題共6小題,共80分)15．(本小題滿(mǎn)分13分)解：()因?yàn)閒(x)=2-(/sinx-cosx)2=2-(3sin2x+cos2x-2J3sinxcosx)TOC\o"1-5"\h\z=2-(1+2sin2x-J3sin2x) 分=1—2sin2x+、3sin2x=cos2x+<3sin2x 分n. n=2sin(2x+) 分所以6=2sm(2,n+n)=2sin2n=5

TOC\o"1-5"\h\z2n 2n所以f(x)的周期為丁二兩=y=nrnn n2n n、「n5n、(I當(dāng)x￡[——,^7]時(shí)，2x￡[—彳，,(2x+-)￡[-7，~7~]63 33 6 66一一.nn、所以當(dāng)x=-6時(shí)，函數(shù)取得最小值f(一6)=-1 分n ti當(dāng)x=-時(shí)，函數(shù)取得最大值f(-)=2 分66解：(I)因?yàn)椤皵?shù)學(xué)與邏輯”科目中成績(jī)等級(jí)為的考生有人，所以該考場(chǎng)有10?0.25=40人 分所以該考場(chǎng)考生中“閱讀與表達(dá)”科目中成績(jī)等級(jí)為的人數(shù)為40x(1-0.375-0.375-0.15-0.025)=40x0.075=3 分求)該考場(chǎng)考生“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的平均分為1x(40x0.2)+2x(40x0.1)+3x(40x0.375)+4x(40x0.25)+5x(40x0.075)。八40 =2.940(ni)設(shè)兩人成績(jī)之和為白，則占的值可以為，，，， 分C2P(1=16)=C2-=1545，P化=17)=CCC2_12=451010P化=18)=CC10C2 13+CT=45，10P&=19)=CCC210_4=45TOC\o"1-5"\h\zC2 1P(-20)二1=4510所以己的分布列為XP154512451345445145分

863"TOC\o"1-5"\h\z15 12 13 4 1863"所以EE=16x +17x—+18x +19x—+20x—=45 45 45 45 45所以之的數(shù)學(xué)期望為86 分證明： 因?yàn)锳ABC是正三角形，M是AC中點(diǎn)，所以BM1AC即BD1AC 分又因?yàn)镻A1平面ABCD,BDu平面ABCD,PA1BD 分又PA^AC=A,所以BD1平面PAC 分又PCu平面PAC，所以BD1PC 分(II)在正三角形ABC中，BM=2<3 分在AACD中，因?yàn)镸為AC中點(diǎn)，DM1AC，所以AD=CDZCDA=120，所以DM=2^3，所以BM:MD=3:1 分3在等腰直角三角形PAB中，PA=AB=4,PB=4V12,所以BN:NP=3:1,BN:NP=BM:MD，所以MN//PD 分又MN亡平面PDC,PDu平面PDC,所以MN//平面PDC 分z本yMxA.(III)因?yàn)閆BAD=ZBAC+ZCAD=90,oz本yMxA.所以AB1AD，分別以AB,ADAP為x軸》軸z軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，所以B(4,0,0),C(2,2%/3,0),D(0,岑,0),P(0,0,4)由(I)可知，DB二(4,-4J3,0)為平面PAC的法向量 分3PC=(2,2%'3,-4),PB=(4,0,-4)設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為n=(x,y,z)n?PC=0 2x+2J3y—4z=0則彳 ，即八，n?PB=0 〔4x—4z=0V-A令Z=3^^平面PBC的一個(gè)法向量為n=(3,J3,3) 分—?0n.DB<7設(shè)二面角A—PC—B的大小為9,則cos6二一—二亍n?DB/-? *所以二面角A—PC-B余弦值為豆 …F7解：()因?yàn)閒(x)=lnx+ax2+bx,所以f(x)=—+2ax+bx因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=lnx+ax2+bx在x=1處取得極值TOC\o"1-5"\h\zff(1)=1+2a+b=0 分2x2一3x+1當(dāng)a=1時(shí)，b=-3，f(x)= ，xf'(x),f(x)隨x的變化情況如下表：x(0,2)乙12中）1（1，+8）f'(x)++f(x)極大值極小值 分所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0,1）（1，+8）TOC\o"1-5"\h\z1單調(diào)遞減區(qū)間為（5』） 分2ax2-2(a+1)x+1 (2ax-1)(x-1)因?yàn)閒(x)= = xx令f(x)=0x1=1,x2=2a 分因?yàn)閒(x)在x=1處取得極值，所以x=1-中x=12 2a 11當(dāng)丁<0時(shí)，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，e］上單調(diào)遞減2a所以f(x)在區(qū)間(0,e］上的最大值為f(1)，令f(1)=1，解得a=-2 分1當(dāng)a>0，x=——>022a當(dāng)!<1時(shí)，f(x)在(0，」)上單調(diào)遞增，(」,1)上單調(diào)遞減，(1，e)上單調(diào)遞增2a 2a 2a1所以最大值1可能在、=五或x=e處取得而f(―)=ln—+a(—)2-(2a+1)—=ln----1<02a2a 2a 2a 2a 4a所以f⑥二lne+ae2-(2a+De=1解得a=占當(dāng)1<」<e時(shí)f(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，(1，!)上單調(diào)遞減，(3,e)上單調(diào)遞增2a 2a 2a所以最大值1可能在x=1或x=e處取得而f(1)=ln1+a-(2a+1)<0所以f(e)=lne+ae2-(2a+1)e=1，11TOC\o"1-5"\h\z解得a=一，與1<x=丁<e矛盾 分e-2 2 2a當(dāng)x=1>e時(shí)，f(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,e)單調(diào)遞減，2 2a所以最大值1可能在x=1處取得，而f(1)=ln1+a-(2a+1)<0，矛盾1綜上所述，a=--或a=-2 分e-29(本小題滿(mǎn)分分)解：()設(shè)橢圓的焦距為2c,

因?yàn)閍=22,c=旦，所以c=1,所以b=1a2所以橢圓C：—+w=1 分(I設(shè)A(5,不，BX2,y2由直線l與橢圓c交于兩點(diǎn)a,B,所以(1+2k由直線l與橢圓c交于兩點(diǎn)a,B,所以(1+2k2)x2—2=0，則Ux+x=0,128 '8(1+k2)所以AB\=：(1+k2) = …1+2k2 11+2k2_ V2k點(diǎn)M(22,)到直線l的距離d—<1+k2則GH\=2、：'r2-22k- 分顯然，若點(diǎn)H也在線段AB上，則由對(duì)稱(chēng)性可知，直線y=kx就是y軸，矛盾，所以要使IAGI=BH,只要1ABi=1GHi所以8(12k2)122k2=4(r2-分2k2 2(12k2) 2(3k423k221) k4r2= + = =2(1+ ) 1+k2 1+2k2 2k4 + 3k2 +1 2k4 + 3k2 +1當(dāng)k=0時(shí)，r=72 分11r2=2(1+——5——)<2(1+—)=3當(dāng)k豐0時(shí)，(13) ( 2) -\乙k4k21r2=2(1+ )>2又顯然 1 3 7 ,所以v2<r<；3 -\乙k4k2綜上，72<r<73 分解：（I）因?yàn)閨Ax|+|Ay|=3（Ax,Ay為非零整數(shù)）故|Ax|=1,|Ay|=2或|Ax|=2,|Ax|=1,所以點(diǎn)P0的相關(guān)點(diǎn)有8個(gè) 又因?yàn)?Ax)2+(Ay)2=5，即(x—x)2+(y—y)2=5TOC\o"1-5"\h\z1 0 1 0所以這些可能值對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以P為圓心，＜5為半徑的圓上 分0(II)依題意P(x,y)與P(x,y)重合nnn0 0 0則x=(x—x)+(x—x)+...+(x—x)+(x—x)+x=x,nn n—1 n-1 n—2 2 1 1 0 0 0y=(y—y)+(y—y)+…+(y—y)+(y—y)+y=ynnn—1 n-1n—2 21 10 0 0即(x—x)+(x—x)+...+(x—x)+(x—x)=0,n n—1 n-1 n—2 2 1 1 0(y—y)+(y—y)+?.?+(y—y)+(y—y)=0n n—1 n-1 n—2 2 1 1 0兩式相加得[(x—x)+(y—y )]+[(x —x)+(y—y)]+...+[(x—x)+(y—y)]=0(*)n n—1 n n—1 n—1 n—2 n-1n—2 1 0 1 0因?yàn)閤,yeZ,x—x1+y—y=3(i=1,2,3,...,n)ii i i—11 i i—1故(x—x)+(y—y)(i=1,2,3,...,n)為奇數(shù)，i i—1 i i—1于是(*)的左邊就是n個(gè)奇數(shù)的和，因?yàn)槠鏀?shù)個(gè)奇數(shù)的和還是奇數(shù)，所以n一定為偶數(shù) 分(III)令A(yù)x=x—x,Ay=y—y,(i=1,2,3,...,n),ii i—1 ii i—1依題意(y—y)+(y—y)+...+(y—y)=100,n n—1 n—1 n—2 1 0因?yàn)門(mén)=￡x=x+x+x++xi0 1 2 ni=0???=1+(1+Ax)+(1+Ax+Ax)+ +(1+Ax+Ax+ +Ax)1 1 2 1 2 n=n+1+nAx+(n—1)Ax+ +Ax 分2 n因?yàn)橛衸Axi||Ayi|=3，且|AxJ,|Ay丁為非零整數(shù)，所以當(dāng)Ax=2的個(gè)數(shù)越多，則T的值越大，i而且在Ax,Ax,Ax,..,Ax這個(gè)序列中，數(shù)字2的位置越靠前，則相應(yīng)的T的值越大1 2 3n

而當(dāng)Ay取值為1或-1的次數(shù)最多時(shí)，Ax取2的次數(shù)才能最多，T的值才能最大i i當(dāng)n=100時(shí)，令所有的Ay都為1,Ax都取2,ii則T=101+2(1+2++100)=10201當(dāng)n>100時(shí)，???若n=2k(k>50,keN*)，此時(shí)，Ay可取k+50個(gè)1，k-50個(gè)-1，此時(shí)Ax可都取2，S(n)達(dá)到最大ii此時(shí)T=n+1+2(n+(n-1)++1)=n2+2n+1.若n=2k+1(k>50,keN*),令A(yù)y=2其余的Ay中有k-49個(gè)-1，k+49個(gè)n i相應(yīng)的，對(duì)于Ax，有Ax=1其余的都為，in則T=n+1+2(n+(n-1)++1)-1=n2+2n當(dāng)50<n<100時(shí)，令A(yù)y=?1;i<2n-100,Ay=2,2n-100<i<n,則相應(yīng)的取Ax=2,i<2n-100,Ay=1,2n-100<i<n,ii貝UT