廣東省汕尾市重點(diǎn)中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題及參考答案

-2023學(xué)年下學(xué)期汕尾市重點(diǎn)中學(xué)高二3月月考數(shù)學(xué)試卷（試卷滿分：150分；考試時(shí)間：120分鐘）★祝考試順利★第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問題：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣，自冬至日起，其日影長依次成等差數(shù)列，立春當(dāng)日日影長為9．5尺，立夏當(dāng)日日影長為2．5尺，則春分當(dāng)日日影長為（）A．4．5尺B．5尺C．5．5尺D．6尺2．曲線在點(diǎn)處的切線方程是（）A．B．C．D．或3．已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，，則等于（）A．40B．42C．43D．454．降低室內(nèi)微生物密度的有效方法是定時(shí)給室內(nèi)注入新鮮空氣，即開窗通風(fēng)換氣．在某室內(nèi)，空氣中微生物密度（）隨開窗通風(fēng)換氣時(shí)間（）的關(guān)系如下圖所示．則下列時(shí)間段內(nèi)，空氣中微生物密度變化的平均速度最快的是（）A．B．C．D．5．已知為正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，且，，成等差數(shù)列，則（）A．2B．C．D．46．已知函數(shù)在處取得極值10，則實(shí)數(shù)（）A．4或B．4或C．4D．7．大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題．已知該數(shù)列的前10項(xiàng)依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，記，，則數(shù)列的前20項(xiàng)和是（）A．110B．100C．90D．808．設(shè)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，已知，，則下列結(jié)論正確的是（）A．在單調(diào)遞增B．在單調(diào)遞減C．在上有極大值D．在上有極小值二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯(cuò)的得0分）9．以下四個(gè)式子分別是函數(shù)在其定義域內(nèi)求導(dǎo)，其中正確的是（）A．B．C．D．10．已知函數(shù)，則（）A．成立B．是上的減函數(shù)C．1為的極值點(diǎn)D．只有一個(gè)零點(diǎn)11．黃金螺旋線又名等角螺線，是自然界最美的鬼斧神工．在一個(gè)黃金矩形（寬長比約等于0．618）里先以寬為邊長做正方形，然后在剩下小的矩形里以其寬為邊長做正方形，如此循環(huán)下去，再在每個(gè)正方形里畫出一段四分之一圓弧，最后順次連接，就可得到一條“黃金螺旋線”．達(dá)·芬奇的《蒙娜麗莎》，希臘雅典衛(wèi)城的帕特農(nóng)神廟等都符合這個(gè)曲線．現(xiàn)將每一段黃金螺旋線與其所在的正方形所圍成的扇形半徑設(shè)為，數(shù)列滿足，．再將半徑為，圓心角為的扇形面積設(shè)為，則（）A．B．C．D．12．若方程和的根分別為，和，，則下列判斷正確的是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．若，則________．14．函數(shù)的極值點(diǎn)為________．15．已知函數(shù)滿足，且在上的導(dǎo)數(shù)滿足，則不等式的解集為________．16．對于定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若滿足①；②當(dāng)，且時(shí)，都有；③當(dāng)，且時(shí)，都有，則稱為“偏對稱函數(shù)”．現(xiàn)給出四個(gè)函數(shù)：①；②；③；④．則其中是“偏對稱函數(shù)”的函數(shù)序號為________．四、解答題（本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17．（10分）某市一家商場的新年最高促銷獎設(shè)立了兩種領(lǐng)獎方式：第一種，獲獎?wù)呖梢赃x擇2000元的獎金；第二種，從12月20日到第二年的1月1日，每天到該商場領(lǐng)取獎品，第1天領(lǐng)取的獎品價(jià)值為100元，第2天為110元，以后逐天增加10元．你認(rèn)為哪種領(lǐng)獎方式獲獎?wù)呤芤娓啵?8．（12分）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）．19．（12分）已知函數(shù)在處有極值2．（1）求，的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最值．20．（12分）已知函數(shù)．（1）若在區(qū)間上為增函數(shù)，求的取值范圍；（2）若的單調(diào)遞減區(qū)間為，求的值．21．（12分）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，在等差數(shù)列中，，且，又，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．22．（12分）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）已知，且，若，求證：．參考答案一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．【答案】D【分析】設(shè)十二節(jié)氣自冬至日起的日影長構(gòu)成的等差數(shù)列為，利用等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解．【詳解】設(shè)十二節(jié)氣自冬至日起的日影長構(gòu)成的等差數(shù)列為，則立春當(dāng)日日影長為，立夏當(dāng)日日影長為，所以春分當(dāng)日日影長為．故選：D2．解析：導(dǎo)數(shù)y′＝3－3x2，則切線斜率k＝3－3×22＝－9，所以切線方程為y－（－2）＝－9（x－2），即切線為y＝－9x＋16，故選A．3．解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則2a1＋3d＝13，∴d＝3，故a4＋a5＋a6＝3a1＋12d＝3×2＋12×3＝42．故選B．4．【答案】C【分析】連接圖上的點(diǎn)，利用直線的斜率與平均變化率的定義判斷即可；【詳解】解：如圖分別令、、、、所對應(yīng)的點(diǎn)為、、、、，由圖可知，所以內(nèi)空氣中微生物密度變化的平均速度最快；故選：C5．解析：設(shè)數(shù)列{an}的公比為q（q>0），則由S3＝3a1＋2a2可得q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1（舍去），又，a4，a5成等差數(shù)列，所以，即，所以．故選C．6．解析：∵f（x）＝x3＋ax2＋bx＋a2，∴f′（x）＝3x2＋2ax＋b．∵f（x）在x＝1處取得極值10，∴即解得或經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，無極值，不符合題意，當(dāng)時(shí)函數(shù)f（x）在x＝1處取得極小值10，∴故選C．7．【答案】A【分析】根據(jù)所給數(shù)列的項(xiàng)歸納出通項(xiàng)公式，利用分組求和法求和即可．【詳解】觀察此數(shù)列可知，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，因?yàn)?，所以?shù)列的前20項(xiàng)和為：，故選：A8．解析：令g（x）＝xf（x）（x>0），則g′（x）＝xf′（x）＋f（x），∵x2f′（x）＋xf（x）＝lnx，∴，∴，∴當(dāng)0<x<1時(shí)，g′（x）<0，當(dāng)x>1時(shí)g′（x）>0，∴g（x）在（0,1）上單調(diào)遞減，在（1，＋∞）上單調(diào)遞增，∵，∴，∴g（x）在（0，＋∞）上有極小值，即xf（x）在（0，＋∞）上有極小值，故選D．二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯(cuò)的得0分）9．【答案】BCD【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算對四個(gè)選項(xiàng)一一求導(dǎo)，即可判斷．【詳解】對于A：．故A錯(cuò)誤；對于B：．故B正確；對于C：．故C正確；對于D：．故D正確．故選：BCD10．【答案】CD【分析】本題首先可根據(jù)求導(dǎo)得出，然后利用導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，最后結(jié)合單調(diào)性求出函數(shù)的最值，即可得出結(jié)果．【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，，即當(dāng)時(shí)是增函數(shù)，B錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，，，即當(dāng)時(shí)是減函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，取極小值，即最小值，，，故A錯(cuò)誤，C正確，D正確，故選：CD．11．解析：由題意得，則，則選項(xiàng)A正確；又?jǐn)?shù)列{an}滿足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2（n≥3），所以an－2＝an－an－1（n≥3），a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝（a3－a2）＋（a4－a3）＋（a5－a4）＋…＋（a2021－a2020）＝a2021－a2＝a2021－1，則B正確；數(shù)列{an}滿足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2（n≥3），即an－1＝an－an－2，兩邊同乘an－1，可得，則，則選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由題意an－1＝an－an－2，則a2019·a2021－（a2020）2＋a2018·a2020－（a2019）2＝a2019·（a2021－a2019）＋a2020·（a2018－a2020）＝a2019·a2020＋a2020·（－a2019）＝0，則選項(xiàng)D正確．故選ABD．12．解析：由題，x1，x2和x3，x4分別是和的兩個(gè)根，即y＝m與和交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．對于函數(shù)，定義域?yàn)閧x|x≠0}，，所以函數(shù)在（－∞，0）和（0，＋∞）上單調(diào)遞增，且x＝1時(shí)，y＝－1；對于函數(shù)，，所以函數(shù)在（－∞，1）上單調(diào)遞增，在（1，＋∞）單調(diào)遞減，且當(dāng)x→＋∞，y→－2，x＝0時(shí)，y＝－2，x＝1時(shí)，y＝－1；故作出函數(shù)，的圖象如圖所示，注意到：當(dāng)x∈（0,1）時(shí)，，由圖可知，0<x3<x2<1，m∈（－2，－1），從而，解得，所以選項(xiàng)AD正確，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，又－1＝x1x2<x1x3<0．故選ABD．第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．【答案】【分析】先求出的解析式，再求即可．【詳解】由題設(shè)，，∴．故答案為：14．【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求的極值點(diǎn)．【詳解】由題設(shè)，當(dāng)時(shí)，，遞減；當(dāng)時(shí)，，遞增；所以由極小值點(diǎn)為，無極大值點(diǎn)．故答案為：15．．解析：令g（x）＝f（x）－x，則g′（x）＝f′（x）－1<0，∴g（x）在R上單調(diào)遞減．由f（x2）<x2＋1，得f（x2）－x2<1，即g（x2）<1．又g（2）＝f（2）－2＝1，∴g（x2）<g（2），∴x2>2，解得或．故不等式的解集為．16．4．解析：由知，當(dāng)時(shí)，導(dǎo)函數(shù)f′（x）<0，函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，導(dǎo)函數(shù)f′（x）>0，函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞增．由題意可知函數(shù)f（x）的草圖如圖所示，由圖象可知方程f（x）＝cosx在[－2π，2π]上的根的個(gè)數(shù)為4．四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17．【答案】第二種方式獲獎?wù)呤找娓啵痉治觥繌脑绿柕降诙甑脑绿柟蔡?，每天領(lǐng)取獎金數(shù)是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求和公式求和，比較即可得結(jié)果．【詳解】從月號到第二年的月號共天，每天領(lǐng)取獎金數(shù)是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，即，，所以共獲獎金元，由于，故第二種方式獲獎?wù)呤找娓啵?8．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可得結(jié)果．（2）同樣根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可得結(jié)果．【詳解】（1）令，，則，而，，故．（2）令，，則，而，，故，化簡得到．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，此類問題一般是先把函數(shù)分解為簡單函數(shù)的復(fù)合，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可得所求的導(dǎo)數(shù)，本題屬于容易題．19．已知函數(shù)在處有極值2．（1）求，的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最值．【答案】（1），；（2）最小值是-2，最大值是2．【分析】（1）由題意知，，求的導(dǎo)函數(shù)，代入計(jì)算可得的值，注意檢驗(yàn)；（2）在上的單調(diào)區(qū)間，從而確定最小值，計(jì)算端點(diǎn)值比較可求出最大值．【詳解】解：（1），∵函數(shù)在處取得極值2，∴，解得，，經(jīng)驗(yàn)證在處取極值2，故，（2）由，令，解得令，解得或，因此，在遞減，在遞增，的最小值是而，故函數(shù)的最大值是2．20．【答案】（1）；（2）3．【分析】（1）由題意可得在上恒成立，即在上恒成立，轉(zhuǎn)化為不等式右邊的最小值成立，可得答案；（2）顯然，否則函數(shù)在上遞增．利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的遞減區(qū)間為，再根據(jù)已知遞減區(qū)間，可得答案【詳解】（1）因?yàn)?，且在區(qū)間上為增函數(shù)，所以在上恒成立，即在（1，+∞）上恒成立，所以在上恒成立，所以，即a的取值范圍是（2）由題意知．因?yàn)椋裕?，得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，又已知的單調(diào)遞減區(qū)間為，所以，所以，即．【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，特別要注意：函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上遞增或遞減與函數(shù)的遞增或遞減區(qū)間是的區(qū)別，屬于基礎(chǔ)題．21．解：（1）∵an＝3n－1，∴a1＝1，a2＝3，a3＝9．∵在等差數(shù)列{bn}中，b1＋b2＋b3＝15，∴3b2＝15，則b2＝5．設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比數(shù)列，∴（1＋5－d）（9＋5＋d）＝64，解得d＝－10或d＝2．∵bn>0，∴d＝－10應(yīng)舍去，∴d＝2，∴b1＝3，∴bn＝2n＋1，故anbn＝（2n＋1）·3n－1．（2）由（1）知Tn＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋（2n－1）3n－2＋（2n＋1）3n－1，①3Tn＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋（2n－1）3n－1＋（