大物a2物理第30章

熱力學(xué)第二定律第二十章第三十章

互感、自感以及磁場能量如圖考慮僅包含有一個電容器和一個有數(shù)匝繞線的線圈（通常稱為自感L）。如果初始時電容器充滿電（），那么當開關(guān)S閉合后將發(fā)生什么現(xiàn)象呢？(a)什么也沒有發(fā)生——電容器仍然保持充滿電狀態(tài)。(b)電容器很快放電，最終完全放電（）。(c)回路中有電流通過，直至電容器反向充電，周而復(fù)始。(d)電容器中最初儲存的電能（）轉(zhuǎn)移到線圈當中，并一直保存在線圈中。(e)電容器儲存的一半能量轉(zhuǎn)移到線圈中，并保存在線圈中。開篇問題----請猜一猜§

30-1、互感當線圈1中通有隨時間變化的電流,線圈2中產(chǎn)生了感應(yīng)電動勢。若兩個線圈相對位置保持不變，則通過線圈2的總磁通正比于線圈1中的電流I1；這個比例系數(shù)我們稱之為互感系數(shù)（簡稱互感），定義為其中M12為線圈1相對于線圈2的互感系數(shù)，可以證明，互感由兩個回路的大小、形狀、匝數(shù)以及周圍磁介質(zhì)的性質(zhì)決定，而和線圈中通的電流無關(guān)。相反的，當線圈2中通有隨時間變化的電流I2時,線圈1中也將產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，且由法拉第電磁感應(yīng)定律可知令則互感M的國際單位是亨利（H），其中

例30-1螺線管和線圈

一匝數(shù)為的長直密繞螺線管長，橫截面積為，上面緊緊繞有匝與之絕緣的次級線圈，如圖30-2。假設(shè)螺線管無漏磁（即通電螺線管的磁場僅分布在螺線管內(nèi)部），計算兩者的互感。

圖30-2解題思路：首先確定通電螺線管的磁場。該磁場全部均勻地通過線圈2。已知通電螺線管內(nèi)部的磁場為其中是螺線管單位長度上的線圈匝數(shù)，是螺線管所通電流。解：螺線管密繞，因此通電螺線管的磁場全部通過線圈。則通過線圈2的磁通量為

因此互感系數(shù)為注：此處我們計算的是（即假設(shè)螺線管通電，求線圈相對于螺線管的互感系數(shù)）；如果直接計算的話，將會非常困難。因為，所以我們選擇了簡單的計算來得到。請再次注意，僅和線圈本身的幾何性質(zhì)有關(guān)系，而和通電電流沒有關(guān)系。概念理解例30-2線圈互換

例30-1中當匝數(shù)為N2的次級線圈是放入螺線管內(nèi)部而不是繞在螺線管外面，情況又如何？解答：螺線管內(nèi)部的磁場不變。通過線圈的磁通量為BA，其中A是線圈平面的面積而非螺線管的橫截面積。求解M仍然用相同的公式除了面積A是線圈的面積，求出的M將比例30-1中的小。

M

的存在有利有弊在變壓器中：M

越大，能量損失越小。在電子線路中：M

越大，相互干擾越大?；ジ械膽?yīng)用：變壓器、心臟起搏器等互感的應(yīng)用：變壓器互感現(xiàn)象不僅發(fā)生于繞在同一鐵芯上的兩個線圈之間,且可發(fā)生于任何兩個相互靠近的電路之間。在電力工程和電子電路中，互感現(xiàn)象有時會影響電路的正常工作，這時要設(shè)法減小電路間的互感。練習(xí)A

兩個靠近的線圈互感系數(shù)為330mH(1mH=10-3H)（a）如果線圈1中感應(yīng)電動勢為120V，求線圈2中電流的變化率。（b）如果線圈1中的電流變化率為36A/s，求線圈2中的感應(yīng)電動勢。

練習(xí)B如圖30-3哪個螺線管-線圈系統(tǒng)的互感系數(shù)最大？假設(shè)螺線管均完全相同。

自感現(xiàn)象:當一個線圈（或者螺線管）中電流發(fā)生變化時，則通過該線圈自身的磁通量將發(fā)生變化，從而在同一個線圈中引起感應(yīng)電動勢。感應(yīng)電動勢的方向與磁通量的變化相反（楞次定律）?！?/p>

30-2、自感iRB→通過N匝線圈的磁通量ФB與線圈中的電流成正比，因此定義自感系數(shù)L（簡稱自感）：根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，自感為的線圈中的感應(yīng)電動勢：自感L只與線圈本身的幾何性質(zhì)（如線圈形狀、大小、線圈匝數(shù)等）以及有無鐵磁介質(zhì)有關(guān)。而與回路中的電路沒有關(guān)系！單位：亨利注意：無鐵磁質(zhì)時,自感僅與線圈形狀、磁介質(zhì)及

N

有關(guān)。約瑟夫·亨利約瑟夫·亨利（HenryJoseph1797-1878）,美國科學(xué)家。他是以電感單位“亨利”留名的大物理學(xué)家。在電學(xué)上有杰出的貢獻。亨利在物理學(xué)方面的主要成就是對電磁學(xué)的獨創(chuàng)性研究:①強電磁鐵的制成，為改進發(fā)電機打下了基礎(chǔ)②電磁感應(yīng)現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)，比法拉第早一年③發(fā)現(xiàn)了自感現(xiàn)象自感體現(xiàn)回路產(chǎn)生自感電動勢來反抗電流改變的能力，自感的存在總是阻礙電流的變化，自感是電磁慣性的一種表現(xiàn)。，>ddtI<0ξ0

若：則：ξ與I方向相反，ddtI<0ξ>0若：則：ξ與I方向相同例30-3螺線管自感（a）確定長直密繞的螺線管的自感系數(shù)L，其中螺線管長l

，線圈匝數(shù)N，橫截面積為A。（b）若N=100，l=5.0cm，A=0.30cm2，計算L的值。假設(shè)螺線管中空。

解題思路：要確定自感L，由式30-4可知，我們需要首先確定磁通量。解：（a）通電螺線管內(nèi)部的磁場是一個常數(shù)（忽略邊緣效應(yīng)）：其中

則該磁場通過螺線管本身的磁通量為因此自感（b）因T·m/A，故將數(shù)值代入得H注：實際上部分磁力線會漏出螺線管（如圖28-15），特別是在螺線管末端（邊緣效應(yīng)，漏磁），所以我們計算出的自感表達式只是理想情況。概念理解例30-4導(dǎo)體中感應(yīng)電動勢的方向如圖30-4，電流從左往右流過線圈。（a）如果電流隨時間增大，判斷感應(yīng)電動勢的方向。（b）如果電流隨時間減小，感應(yīng)電動勢的方向又如何？圖30-4解答：（a）由楞次定律我們知道，感應(yīng)電動勢必須反抗磁通量的變化。如果電流增大，則磁通量也增大。感應(yīng)電動勢將反抗磁通量的增大，如果將感應(yīng)電動勢看作一個電源的電動勢，這也意味著該電源電動勢產(chǎn)生的電流（即感應(yīng)電流）將激發(fā)與原磁場方向相反的磁場，所以感應(yīng)電流方向與原電流方向相反。因此線圈中的感應(yīng)電動勢方向與圖30-4（a）中的I方向相反。換句話說，這時的感應(yīng)線圈可以看作在一個是以A端為正極且以B端為負極的電池內(nèi)部（阻礙電流由A端流入）。（b）如果電流減小，那么根據(jù)楞次定律，感應(yīng)電動勢將阻礙磁通量的減小——即感應(yīng)電流的方向要與原電流方向相同。因此線圈中的感應(yīng)電動勢方向與圖30-4（b）中的I方向相同。這種情況我們可以把感應(yīng)線圈看作是在以A端為負極的電池內(nèi)部，從而吸引更多的電流向右邊流動。例30-5同軸電纜確定一同軸電纜單位長度的自感，已知電纜內(nèi)外導(dǎo)體半徑分別為

r1和r2，如圖30-5。假設(shè)導(dǎo)體均為很薄的中空管，故導(dǎo)體內(nèi)部的磁場可忽略。內(nèi)外導(dǎo)體載有大小相同、方向相反的電流。圖30-5同軸電纜：（a）端視圖，（b）側(cè)視圖

解題思路：我們需要求出導(dǎo)體之間的磁通量，兩導(dǎo)體之間磁場的磁感應(yīng)線是以內(nèi)導(dǎo)體為中心的圓（圖30-5a僅畫出了一條磁感應(yīng)線）。根據(jù)安培環(huán)路定理，當內(nèi)導(dǎo)體載有電流I時，離內(nèi)導(dǎo)體中線垂直距離為r處的磁場大小為：在離內(nèi)導(dǎo)體中線垂直距離r處，通過寬dr，長l的長方形（沿著電纜方向，如圖30-5b）的磁通量為解：通過長為的電纜的磁通量因為內(nèi)導(dǎo)體上的電流沿著一個方向流動，而外導(dǎo)體上大小相同的電流則沿著相反的方向，由式30-4，長的電纜的自感為所以單位長度的自感為注意自感僅與線圈幾何因子有關(guān)，而與電流無關(guān)?！?/p>

30-3、磁場的能量當自感為L的自感線圈載有按dI/dt規(guī)律變化的電流I時，外界提供給線圈的功率為又因為，所以故dt時間內(nèi)外界對線圈做的功dW為則當電流由0增大到I時外界所做的總功為外界所做的功將轉(zhuǎn)化為儲存在載流自感線圈中的能量U（這里我們假定線圈載流為0時U=0）由于只有線圈載流時該能量才不為零，因此該能量可看作是儲存在磁場中，稱為磁能?？紤]理想螺線管（忽略邊緣效應(yīng)）的自感以及螺線管內(nèi)部的磁場，因此有考慮到線圈體積為Al，因此可得單位體積的磁能即磁能密度為如果區(qū)域中有鐵磁介質(zhì)，則μ0需要替換成μ。

磁能密度公式雖然是由理想螺線管的磁場推導(dǎo)出來，但可以證明對于任意的磁場都適用。注意：練習(xí)C當自感線圈中載有電流2.5A時，線圈中儲能1.5J，則線圈的自感為：（a）0.48H，（b）1.2H，（c）2.1H，（d）4.7H，（e）19H。重點掌握當一個線圈中通有的電流發(fā)生變化時，會在其近旁的線圈中激發(fā)互感電動勢：互感概念對于